高考专题复习第三节　直线、平面平行的判定与性质

1、第三节直线、平面平行的判定与性质学习要求-公众号：新课标试卷:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a= a,b, ab a a,a ,=b 结论aba=ab提醒(1)在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面内,直线b在平面内,且ab,否则会出现错误.(2)一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行,也可能异面.(3)a的判定定理和性质定理使用的区别:

2、若结论中有a,则要用判定定理,在内找与a平行的直线;若条件中有a,则要用性质定理,找(或作)过a且与相交的平面.2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件= a,b,ab=P,a,b , =a, =b ,a结论aba知识拓展1.与两个平面平行有关的结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.2.三种平行关系的转化(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题过程中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.(2)在应用判定定理与性质定理时

3、,一定要写全定理满足的条件,否则可能是假命题.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.()(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(3)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(4)若直线a与平面内的无数条直线平行,则a.()(5)若,直线a,则a.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(易错题)若平面平面,直线a平面,点B,则在平面内且过B点的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a

4、平行的直线答案A【易错点分析】对空间中平行关系的转化条件理解不透致误.3.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A4.(新教材人教A版必修第二册P143T4改编)如图所示的是一个长方体被一个平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为. 答案平行四边形5.平面平面的一个充分条件是.(填序号) 存在一条直线a,a,a;存在一条直线a,a,a;存在两条平行直线a,b,a,b,a,b;存在两条异面直线a,b,a,b,a,b.答案直线与平面平行的判定与性质角度一

5、直线与平面平行的判定典例1如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1的中点.(1)求证:AD1平面BDC1;(2)求证:BD平面AB1D1.证明(1)D1,D分别为A1C1,AC的中点,四边形ACC1A1为平行四边形,C1D1DA,C1D1=DA,四边形ADC1D1为平行四边形,AD1C1D,又AD1平面BDC1,C1D平面BDC1,AD1平面BDC1.(2)连接D1D,如图.BB1平面ACC1A1,BB1平面BB1D1D,平面ACC1A1平面BB1D1D=D1D,BB1D1D,又D1,D分别为A1C1,AC的中点,BB1=DD1,故四边形BDD1B1为平行四边形

6、,BDB1D1,又BD平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,BD平面AB1D1.角度二直线与平面平行性质定理的应用典例2如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217,G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)求证:GHEF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.解析(1)证明:因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可证EFBC,所以GHEF.(2)如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以P

7、OAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD平面ABCD,所以PO平面ABCD.又平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,所以GK平面ABCD,从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,从而KB=14DB=12OB,即K为OB的中点.再由POGK得GK=12PO,且G是PB的中点,所以GH=12BC=4.由已知可得OB=42,PO=PB2-OB2=68-32=6,所以GK=3.易得EF=BC=8,故四边形GEFH的面积S=GH+EF2·GK=4+82&

8、#215;3=18.名师点评1.判断或证明线面平行的常用方法(1)线面平行的定义;(2)线面平行的判定定理;(3)面面平行的性质.2.利用判定定理判定直线与平面平行的关键关键是找平面内与已知直线平行的直线.先直观判断平面内是否有与已知直线平行的直线,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.(2020江苏扬州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=B1C,O为四边形ACC1A1对角线的交点,F为棱BB1的中点,且AF平面BCC1B1.(1)证明:OF平面ABC;(2)证明:四边形ACC1A1为矩形.证明(1)取AC的中点D,连接OD,

9、BD,如图.因为O为平行四边形ACC1A1对角线的交点,所以O为A1C的中点,又D为AC的中点,所以ODAA1,OD=12AA1,又BB1AA1,且BB1=AA1,所以ODBB1,且OD=12BB1,又F为BB1的中点,所以ODBF,且OD=BF,所以四边形ODBF为平行四边形,所以OFBD,又BD平面ABC,OF平面ABC,所以OF平面ABC.(2)连接CF,如图.因为BC=B1C,F为BB1的中点,所以CFBB1,因为AF平面BCC1B1,BB1平面BCC1B1,所以AFBB1,因为CF平面AFC,AF平面AFC,CFAF=F,所以BB1平面AFC,又AC平面AFC,所以BB1AC,又BB

10、1CC1,所以ACCC1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以四边形ACC1A1为矩形.平面与平面平行的判定与性质角度一平面与平面平行的判定典例3如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)在A1B1C1中,G,H分别是A1B1,A1C1的中点,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,GH与BC能确定一个平面,G,H,B,C,B,C,H,G四点共面.(2)E,F分别为AB,AC的中点,EFBC,EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF

11、平面BCHG.易证A1G􀱀EB,四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG.A1E平面BCHG.A1EEF=E,且A1E,EF平面EFA1,平面EFA1平面BCHG.角度二平面与平面平行性质定理的应用典例4如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中,AF平面ABCD,DE平面ABCD,ADBC,BC=2AD.请在图中作出平面,使得DE,且BF,并证明.解析如图,取BC的中点P,连接PD,PE,则平面PDE即为所求的平面.证明:因为BC=2AD,ADBC,所以ADBP,且AD=BP,所以四边形ABPD为平行四边形,所以ABDP.又AB平

12、面PDE,PD平面PDE,所以AB平面PDE.因为AF平面ABCD,DE平面ABCD,所以AFDE.又AF平面PDE,DE平面PDE,所以AF平面PDE.又AF平面ABF,AB平面ABF,ABAF=A,所以平面ABF平面PDE.又BF平面ABF,所以BF平面PDE,即BF.名师点评证明面面平行的方法(1)面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.1.如图,在三棱柱ABC-A1

13、B1C1中,点D是BC上一点,且A1B平面AC1D,点D1是B1C1的中点,求证:平面A1BD1平面AC1D.证明如图,连接A1C交AC1于点E,连接ED.因为四边形A1ACC1是平行四边形,所以点E是A1C的中点,因为A1B平面AC1D,平面A1BC平面AC1D=ED,所以A1BED,因为点E是A1C的中点,所以点D是BC的中点,又点D1是B1C1的中点,所以D1C1􀱀BD,所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以BD1C1D.又BD1平面AC1D,C1D平面AC1D,所以BD1平面AC1D,因为A1BBD1=B,所以平面A1BD1平面AC1D.2.如图所示,在四棱锥E-A

14、BCD中,ABD为正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求证:BE=DE;(2)若BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.证明(1)取BD的中点O,连接OC,OE.如图.CB=CD,COBD.又ECBD,ECCO=C,BD平面OEC.OE平面OEC,BDOE.又O为BD的中点,直线OE为BD的垂直平分线,BE=DE.(2)取AB的中点N,连接DN,MN.如图.M为AE的中点,MNBE.ABD为等边三角形,N为AB的中点,DNAB.BCD=120°,CD=CB,OBC=30°,CBN=90°,即CBAB,DNCB.DNMN=N,BECB

15、=B,平面MND平面BEC.又DM平面MND,DM平面BEC.平行关系的综合应用典例5如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.(1)求证:AB平面EFGH;(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.解析(1)证明:四边形EFGH为平行四边形,EFHG.HG平面ABD,EF平面ABD,EF平面ABD.又EF平面ABC,平面ABD平面ABC=AB,EFAB,又AB平面EFGH,EF平面EFGH,AB平面EFGH.(2)设EF=x(0<x<4),由(1)知EFAB,CFCB=EFAB=x4.与(1)同理可得CDFG,FGCD=BFBC

16、,则FG6=BFBC=BC-CFBC=1x4,FG=6-32x.四边形EFGH的周长l=2x+6-32x=12-x.又0<x<4,8<l<12,故四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).名师点评利用线面平行或面面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置.对于求线段长度或线段比例的问题,常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.如图所示,平面平面,点A,点C,点B,点D,点E,F分别在线段AB,CD上,且AEEB=CFFD.(1)求证:EF平面;(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为6

17、0°,求EF的长.解析(1)证明:当AB,CD在同一平面内时,由平面平面,平面平面ABDC=AC,平面平面ABDC=BD,知ACBD.AEEB=CFFD,EFBD.又EF,BD,EF平面.当AB与CD异面时,如图所示,设平面ACDH平面=DH,且DH=AC.平面平面,平面平面ACDH=AC,ACDH,四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G,使AGGH=CFFD,连接EG,FG,BH.则AEEB=CFFD=AGGH.GFHD,EGBH.又EGGF=G,BHHD=H,且EG,GF平面EFG,BH,HD平面,平面EFG平面.又EF平面EFG,EF平面.(2)如图所示,连接AD,取AD

18、的中点M,连接ME,MF.E,F分别为AB,CD的中点,MEBD,MFAC,且ME=12BD=3,MF=12AC=2.EMF或其补角为AC与BD所成的角,EMF=60°或120°.在EFM中,由余弦定理得EF=ME2+MF2-2ME·MF·cosEMF=32+22±2×3×2×12=13±6,即EF=7或EF=19.A组基础达标1.若平面截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.0条或2条答案C2.已知平面,直线m,n满足m,n,则“mn”是“m”的()A.

19、充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.(2020四川宜宾叙州第一中学模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E、F、G分别是线段A1C1上的点,且A1E=EF=FG=GC1,则下列直线中与平面A1BD平行的是()A.CEB.CFC.CGD.CC1答案B4.(2020山东潍坊第一中学模拟)若m,n为两条不重合的直线,是两个不同的平面,则下列说法中正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,nm,则nC.若n,n,m,则mD.若,m,则m答案C5.(多选题)(2020江西萍乡模拟)如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则下列结论中正

20、确的是()A.ACBDB.AC截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°答案ABD因为截面PQMN是正方形,所以PQMN,QMPN,则PQ平面ACD,QM平面BDA,所以PQAC,QMBD,由PQQM可得ACBD,故A中结论正确;由PQAC可得AC截面PQMN,故B中结论正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角等于45°,故D中结论正确;因为BDQM,MNAC,所以QMBD=CMCD,MNAC=DMCD,因为DMCM,所以ACBD,故C中结论错误.6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若E

21、F平面AB1C,则EF=. 答案27.如图,平面平面,PAB所在的平面与,分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=. 答案528.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.(1)若BC1平面AB1D1,则A1D1D1C1=; (2)若平面BC1D平面AB1D1,则ADDC=. 答案(1)1(2)1解析(1)如图,取D1为线段A1C1的中点,此时A1D1D1C1=1,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.因为四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.在A1BC1中,因为点O,D1分别为

22、A1B,A1C1的中点,所以OD1BC1.又因为OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,所以BC1平面AB1D1.所以当A1D1D1C1=1时,BC1平面AB1D1.(2)平面BC1D平面AB1D1,且平面A1BC1平面BC1D=BC1,平面A1BC1平面AB1D1=D1O,所以BC1D1O,同理可得AD1DC1.所以A1D1D1C1=A1OOB,A1D1D1C1=DCAD.因为A1OOB=1,所以DCAD=1,即ADDC=1.9.(2020陕西商洛商丹高新学校模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,ABBC,D为AC的中点,AA1=AB=2,BC=3.(1)

23、求证:AB1平面BC1D;(2)求AB1与BD所成角的余弦值.解析(1)证明:如图,连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD.四边形BCC1B1是平行四边形,点O为B1C的中点.D为AC的中点,OD为AB1C的中位线,ODAB1.OD平面BC1D,AB1平面BC1D,AB1平面BC1D.(2)由(1)可知,ODB或其补角即为AB1与BD所成的角,AA1=AB=2,AB1=22,OD=12AB1=2.在RtABC中,D为AC的中点,则BD=AC2=132,同理可得,OB=132.在OBD中,cosODB=OD2+BD2-OB22OD·BD=2613,AB1与BD所成角的余弦值为

24、2613.B组能力拔高10.(多选题)(2020山东实验中学模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为AA1,BC,C1D1的中点,则()A.EFG为等边三角形B.异面直线A1G与C1F所成的角为60°C.平面EFG截正方体所得截面为三角形D.AC平面EFG答案AD如图所示,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,因为E,F,G分别为AA1,BC,C1D1的中点,所以EF=FG=EG=6,所以EFG为等边三角形,故A正确;取AC的中点H,连接GH,A1H,易知GHC1F,所以A1GH就是异面直线A1G与C1F所成的角,因为A1GH是等腰三角形,A1GA1H=G

25、H,所以异面直线A1G与C1F所成的角不是60°,故B不正确;设AB,CC1,A1D1中点分别为K,M,N,连接NG,NE,EK,KF,FM,MG,平面EFG截正方体所得截面为正六边形EKFMGN,故C不正确;EFG是正六边形EKFMGN所在平内的三角形,易知ACKF,AC平面EFG,KF平面EFG,所以AC平面EFG,故D正确.故选AD.11.(多选题)如图,将透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,下面四个命题中正确的是()A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH所在四边形的面积为定值C.棱

26、A1D1始终与水面所在平面平行D.当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值答案ACD根据题图,显然A是正确的,B是错误的.对于C,A1D1BC,BCFG,A1D1FG,且A1D1平面EFGH,FG平面EFGH,A1D1平面EFGH(水面).C是正确的.对于D,水是定量的,设水的体积为V,SBEF·BC=V,即12BE·BF·BC=V,BE·BF=2VBC(定值),即D是正确的.12.(2020湖南长沙一中模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=3,E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,

27、若直线D1P平面EFG,则线段D1P长度的最小值是. 答案72解析如图,连接D1A,AC,D1C,因为E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,所以ACEF,又EF平面ACD1,AC平面ACD1,则EF平面ACD1.同理可得EG平面ACD1,又EFEG=E,EF1EG平面EFG,所以平面ACD1平面EFG.因为直线D1P平面EFG,所以点P在直线AC上.在ACD1中,易得AD1=2,AC=2,CD1=2,所以SAD1C=12×2×22-222=72,故当D1PAC时,线段D1P的长度最小,最小值为7212×2=72.13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分