第二节+多元函数的概念PPT学习教案

1、会计学1第二节第二节+多元函数的概念多元函数的概念2例1设长方体的长、宽、高分别为x,y,z， 则长方形的体积 xyzzyxV )0, 0, 0( zyx 当x,y,z的值分别给定时，按这个公式，V就有一个确定的值与之相对应，这时我们就称V是x,y,z的三元函数. 第1页/共17页3例2在西方经济学中，著名的CobbDouglas生产函数为, LCKy L0，K0分别表示投入的劳力数量和资本数量，这里C,为常数，y表示产量.当K,L的值给定时，y就有一确定值与之对应，因此称y是K,L的二元函数. 以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义。 第2页/共17页4 设设 D 是是平平面面上上的的

2、一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(， 变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 类似地可定义三元及三元以上函数 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 定义, ),(yxfz Dyx ),(第3页/共17页5二元函数的图形通常是一张曲面.第4页/共17页6xyzoxyzsin 再如,图形如右图.2222azyx 例如,球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支:第

3、5页/共17页7解 01|3|222yxyx 22242yxyx所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 求222)3arcsin(),(yxyxyxf 的定义域例3xyo第6页/共17页8设设二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(000yxP的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义, ,如如果果存存在在常常数数A，对对0 , ,0 , ,只只要要 2020)()(0yyxx, ,恒恒有有 定义， Ayxf),(则称函数则称函数),(yxfz 当当),(),(00yxyx时以时以A为极为极限限, ,记为记为 .),(lim),(),(00Ayxfyxyx 第7页/共17

4、页9证证明 .01sin)(lim2222)0 , 0(),( yxyxyx|01sin)( |2222 yxyx|1sin|2222yxyx ，22yx , 0 , ，时时当当 )0()0(022 yx， |01sin)( |2222yxyx证毕例4恒有第8页/共17页10例5求 .lim222)0 , 0(),(yxyxyx 解由基本不等式, |222xyyx 知xyyxyxyx22222 2x 00 ) 0 , 0(),(yx由夹逼定理，.0lim222)0 , 0(),( yxyxyx第9页/共17页11 在在一一元元函函数数的的极极限限中中, ,0 xx 的的方方式式可可以以任任意意

5、；同同理理, ,在在二二元元函函数数的的极极限限中中, ,),(),(000yxPyxP的的方方式式更更为为复复杂杂, ,它它要要求求P以以任任何何方方式式趋趋于于0P时时, , ),(yxf均均趋趋于于A. .因因此此, ,假假如如P以以不不同同的的方方式式趋趋于于0P时时, ,),(yxf趋趋于于不不同同的的极极限限, ,则则说说明明),(yxf当当0PP 时时无无极极限限. . 第10页/共17页12考考察察22),(yxxyyxf 当当)0 , 0(),(yx时时的的极极限限. . 但但如如果果沿沿射射线线)0( kkxy, ,则则 因因此此, ,当当)0 , 0(),(yx时时, ,

6、22yxxy 无无极极限限. . 例6解沿 x 轴考察, ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfyyx沿 y 轴考察, ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfxyx22 )0 , 0(),(limyxxykxyyx 22220limxkxkxx ，012 kk第11页/共17页13定义设设二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(000yxP的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义, ,若若 ，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 则则称称),(yxfz 在在),(00yx处处连连续续. . 一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.例如，函函数数221yxz 在在1| ),( 22 yxyxD 内连续. 第12页/共17页14由由例例 6 知知, , 22yxxy 当当)0 , 0(),(yx时时无无极极限限, , 讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性例7故在故在)0 , 0(处不连续处不连续. . 第13页/共17页15在在)0 , 0(处处连连续续. . 注意比较： 0, 00,),(2222222yxyxyxyxyxf讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性例7第14页/共17页16有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的