高三理科数学复习课件13：81 直线的倾斜角与斜率

1、【考纲下载考纲下载】1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率(1)当直线和当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角轴平行或重合时，直线的倾斜角0.倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围是(2)斜率：倾斜角不是斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是这条直线的斜率，倾斜角是90的直线，斜率不存

2、在的直线，斜率不存在0，180)1(3)斜率公式：当直线斜率公式：当直线l经过两点经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)时，时，l的斜率的斜率k k【思考思考】 所有的直线都存在斜率吗？都有倾斜角吗？所有的直线都存在斜率吗？都有倾斜角吗？ 答案：答案：所有直线都有倾斜角，但不一定有斜率所有直线都有倾斜角，但不一定有斜率(当直线与当直线与x轴垂直，轴垂直， 即倾斜角为即倾斜角为 时，斜率不存在时，斜率不存在)它们的关系是它们的关系是k ktan ， .两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行两条直线平行对于两条不重合的直线对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分

3、别为其斜率分别为k k1，k k2，则有则有l1l2 .特别地，当直线特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时的斜率都不存在时，l1与与l2的关系为的关系为 .(2)两条直线垂直两条直线垂直如果两条直线如果两条直线l1，l2斜率存在，设为斜率存在，设为k k1，k k2，则则l1l2 .k k1k k2平行平行k k1k k212提示：提示：由两直线的斜率之积为由两直线的斜率之积为1，可以得出两直线垂直，反过来，两，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为直线垂直，斜率之积不一定为1.如果如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为另一条

4、直线的斜率为0时，时，l1与与l2互相垂直所以斜率之积为互相垂直所以斜率之积为1是两直线是两直线l1、l2垂直的充分而不必要条件垂直的充分而不必要条件直线直线3x y10的倾斜角大小为的倾斜角大小为()A30 B60 C120 D150解析：解析：k k .120.答案：答案：C1过点过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于的直线的斜率等于1，则，则m的值为的值为()A1 B4 C1或或3 D1或或4解析：解析： 1，m1.答案：答案：A2已知过点已知过点A(2，m)和和B(m,4)的直线与直线的直线与直线2xy10平行，平行，则则m的值为的值为()A8 B0 C2 D10解析：解析：

5、2m8.答案：答案：A4若三点若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则共线，则a的值等于的值等于 _._. 解析：解析： ，解得：，解得：a4. 答案：答案：431.在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率是否存在或倾斜在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率是否存在或倾斜角是否为角是否为 这一特殊情形；这一特殊情形；2求倾斜角求倾斜角的取值范围的一般步骤是：的取值范围的一般步骤是：求出斜率求出斜率k ktan 的取值范围；的取值范围；利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角的取值范围的取值范围 求直

6、线求直线xtan y10( )的倾斜角的倾斜角的取值范围的取值范围思维点拨：思维点拨：要求倾斜角的范围，应先求其斜率的变化范围，要求倾斜角的范围，应先求其斜率的变化范围，再结合倾斜角和斜率的关系求解再结合倾斜角和斜率的关系求解【例例1】解：解：当当0时时，tan 0，直线方程为直线方程为x10，其倾斜角其倾斜角 ；当当 时，直线的斜率时，直线的斜率k ktan (，11，)，借助正切函数在借助正切函数在0，)上的图象可知，上的图象可知， ；综上可知，倾斜角综上可知，倾斜角的取值范围为的取值范围为 已知点已知点A(2，3)、B(3，2)，直线，直线l过点过点P(1,1)且与线段且与线段AB有交点

7、，设直有交点，设直线线l的斜率为的斜率为k k，则，则k的取值范围是的取值范围是()A k k 或或 k k 4 B4 k k C k k 或或k k D k k 4解析解析:由倾斜角范围画出正切函数图象，如图由倾斜角范围画出正切函数图象，如图倾斜角范围应是倾斜角范围应是答案：答案：D变式变式1：运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线位置关系时，要紧运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线位置关系时，要紧紧抓住紧抓住k k 1， k k 2及及b1，b2之间的关系，需要注意的是之间的关系，需要注意的是“有斜率有斜率”这一前这一前提条件，否则会使解题不严谨甚至导致错误提条件，否则会使解

8、题不严谨甚至导致错误 已知直线已知直线l1：ax2y60和直线和直线l2：x(a1)ya210.试判断试判断l1与与l2是否平行是否平行思维点拨：思维点拨：直线直线l2的斜率可能不存在，故应按的斜率可能不存在，故应按l2的斜率是否存在的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论为分类标准进行分类讨论【例例2】解：解法一：解：解法一：当当a1时时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于不平行于l2；当当a0时时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于不平行于l2；当当a1且且a0时，两直线可化为时，两直线可化为l1：y x3，l2：y x(a1)，l1l2 ，解得，解得a1，综上可知，综上可知，a

9、1时，时，l1l2，否则，否则l1与与l2不平行不平行解析：解析：如图所示，过点如图所示，过点B(-3，-2)、P(1,1)的直线斜率为的直线斜率为过点过点A(2，-3)、P(1,1)的直线斜率为的直线斜率为 从图中可以看出，从图中可以看出，过点过点P(1,1)的直线与线段的直线与线段AB有公共点可看做直线绕点有公共点可看做直线绕点P(1,1)从从PB旋转旋转至至PA的全过程的全过程 答案答案：A解法二：解法二：由由A1B2A2B10，得得a(a1)120，由由A1C2A2C10，得得a(a21)160，l1l2 a1，故当故当a1时时，l1l2，否否则则l1与与l2不平行不平行 本例条件不变

10、，若本例条件不变，若l1l2，求，求a值值解：解法一：解：解法一：当当a1时，时，l1：x2y60，l2：x0，l1与与l2不垂直，故不垂直，故a1不成立不成立当当a1时，时，l1：y x3，l2：y x(a1)，由由 1a .解法二：解法二：由由A1A2B1B20，得，得a2(a1)0a .拓展拓展2：解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果功倍的效果【例例3】 若实数若实数x

11、，y满足等式满足等式(x2)2y23，求，求 的最大值与最小值的最大值与最小值解：设解：设 ，即，即 ，如图，如图， 即即 的最大值为的最大值为 即即 的最小值为的最小值为解析：解析：实数实数 x、y 满足满足 表示的区域为图中的阴影部分，表示的区域为图中的阴影部分， 表示阴影部分的任一点与坐标原点连线的斜率易知表示阴影部分的任一点与坐标原点连线的斜率易知A(1,2)， =2， 的范围是的范围是2，+)答案答案：D 若实数若实数x、y满足满足 ，则，则 的取值范围是的取值范围是()A(0,2) B(0,2C(2，) D2，)变式变式3：【方法规律方法规律】1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的

12、取值范围，熟记斜率公式：要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k k ，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)时，根据该公时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率当式可求出经过两点的直线的斜率当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为此时直线的倾斜角为90.2求斜率可用求斜率可用k k tan (90)，其中，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率是分界，遇到斜率

13、要谨记，存在与否需讨论要谨记，存在与否需讨论” 3两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线合的两条直线l1、l2，l1l2 k k 1 k k 2；l1l2 k k 1 k k 21.若有一条若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.【规范解答规范解答】已知直线已知直线 2xsin 2y50，则该直线的倾斜角的变化范围是，则该直线的倾斜角的变化范围是_解析：解析：由题意，得直线由题意，得直线2xsin 2y50的斜率为的斜率

14、为k ksin .又又1sin 1，所以，所以1k k1.当当1k k0时，倾斜角的变化范围是时，倾斜角的变化范围是 ；当当0k k1时，倾斜角的变化范围是时，倾斜角的变化范围是 .故直线的倾斜角的变化范围是故直线的倾斜角的变化范围是 .答案：答案：【易入误区易入误区】解答本题容易出现的错误是认为直线斜率解答本题容易出现的错误是认为直线斜率k k tan 在在0，)上是单调函上是单调函数当已知直线斜率数当已知直线斜率k的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正确利用正切函数的单调性正切函数确利用正切函数的单调性正切函数k k tan 在在0，)上并不是单调的上并不是单调的函数，因此当函数，因此当k的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断开的，的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断开的，如本题就是如本题就是【状元笔记状元笔记】由直线的斜率求其倾斜角的范围问题，一般是：先求出直线的斜率由直线的斜率求其倾斜角的范围问题，一般是：先求出直线的斜率k的取值的取值范围，再利用三角函数的单调性，借助函数的图象，数形结合，确定倾斜角范围，再利用三角函数的单调