高考数学总复习：第3章《三角函数、解三角形》【8】

1、u第八节 正弦定理和余弦定理的应用u主干知识梳理u一、实际问题中的有关概念u1仰角和俯角：u在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)u2方位角：u从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2)u3方向角：u相对于某一正方向的水平角(如图3)u(1)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向u(2)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向u(3)南偏西等其他方向角类似u4坡度：u(1)定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角为坡角)u(2)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)u二、解三角形应用题的一般步骤u

2、1审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；u2根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；u3选择正弦定理或余弦定理求解；u4将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求u 基础自测自评u1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()uA BuC90 D180uBu2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()uA北偏东15 B北偏西15uC北偏东10 D北偏西10uB如图所示，uACB90，u又ACBC，uCBA45，u而30，u90453015.u点A在点B的北偏西15.u4(2014泰

3、州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船每小时航行_海里u 关键要点点拨u解三角形应用题常有以下两种情形u(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解u(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解u典题导入u (2014肇庆模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达

4、的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一点C，从C点可以观察到点A，B；找到一点D，从D点可以观察到点A、C；找到一点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米测量距离问题 u(1)求CDE的面积；u(2)求A，B之间的距离u规律方法u求距离问题要注意：u(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解u(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理u 跟踪训练u1如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度

5、，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB105，CBA45，且AB100 m.u(1)求sin CAB的值；u(2)求该河段的宽度u典题导入u 如图，在坡度一定的山坡A处测u得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与u地平面垂直)对于山坡的斜度为，从Au处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对u于山坡的斜度为，山坡对于地平面的坡角为.u(1)求BC的长；u(2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度测量高度问题 u 规律方法u求解高度问题应注意：u(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；u(2)准确理解题意，分清已知条件

6、与所求，画出示意图；u(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用u典题导入u 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值测量角度问题 u规律方法u1测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义u2在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的

7、问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点 u跟踪训练u3如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD的大小是_u (2014石家庄模拟)已知岛A南偏西u38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇u岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度u向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方u向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该u走私船？【创新探究】运用正、余弦定理解决实际应用问题u【思路导析】根据题意得出示意图，先求BAC利用余弦定理求得BC，利用正弦定理求得ABC，得出结论u【解析】如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，u则BC0.5x，AC5，u依题意，uBAC1803822120，u所以ABC38.u又BAD38，所以BCAD，u故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船u【高手支招】解斜三角形应用题的一般步骤为：u第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图；u第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；u第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型