关于“方程的意义”

1、关于“方程的意义”研读文本： 1.1.“ “含有未知数的等式含有未知数的等式” ” 描述了方程的描述了方程的外部特征外部特征，并，并不是本质特征。不是本质特征。 2.2.方程的本质方程的本质为了求未知为了求未知数，在已知数和未知数之间建数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系，也就是立的一种等式关系，也就是说说，通过建立一种相等关系，求未通过建立一种相等关系，求未知数知数。 3.3.方程由已知数和未知数方程由已知数和未知数共同组成，表达的相等关系共同组成，表达的相等关系是现象、事件中最主要的是现象、事件中最主要的数数量关系量关系。 4. 4.方程是从现实生活到数方程是从现实生活到数学的一个提

2、炼过程，一个用学的一个提炼过程，一个用数学符号数学符号提炼提炼现实生活中的现实生活中的特定关系的过程特定关系的过程。 5.5.方程思想的核心方程思想的核心在于在于建模、建模、化归化归。等号左右两边的两件事。等号左右两边的两件事情在数学上是等价的情在数学上是等价的数学数学建模的本质表现之一。建模的本质表现之一。核心词：（由算术方法向代数方法的思维飞跃）提炼关系提炼关系转化语言转化语言体会等价体会等价 “大问题”教学微格研修 以“倒数的认识”为例深圳市教育科学研究院深圳市教育科学研究院 黄爱华黄爱华 网站：“大问题教学网”“大问题大问题”教学网教学网 参与讨论分享，参与讨论分享，需发邮件需发邮件到

3、到，索，索要注册要注册“邀请码邀请码” 网上检索： 黄爱华博客“心太软”（教学版） 你总是心太软，心太软， 你这样讲解到底累不累？ 独自一个人讲课到铃响。 明知道学生他在怨你， 你任劳任怨地分析这课文， 只不过想好好讲透课文， 可知道学生心里太多勉强。 可学生无法给你满分。 你总是心太软，心太软， 多余的牺牲，你不觉心痛， 把所有问题都自己讲。 你应该不会只想做个“讲师”？ 讲解总是简单，学会太难， 奥，算了吧，就这样改变吧， 不是你的，就不要多讲。 该放就放，再讲也没有用， 铃响了，你还不想停， 傻傻等待，他会学会依赖， 你还要讲几分钟吗？ 你总该为学生想想未来。值得深入思考的几句歌词：你这

4、样讲解到底累不累？明知道学生他在怨你。傻傻等待，他会学会依赖，你总该为学生想想未来。不是你的，就不要多讲。什么是“大问题”教学？“ “大问题大问题” ”教学教学 1.课堂教学中的重要问题 2.数学教育中的基本问题 “大问题” 直指教学内容本质蕴含丰富的数学信息具有极大的探究性能引导深刻理解内容“ “大问题大问题” ”教学教学 1.问题让学习发生 问题导向，鼓励探究2.课堂以学为核心 学生在前，教师在后3.紧扣教学的本质 想大问题，做小事情“ “大问题大问题” ”教学教学 “板块式”教学结构 提出“大问题”（呈现话题） 研究“大问题”（深度对话） 升华“大问题”（共同提炼） 生成“大问题”（适度

5、延伸）以“大问题”为导向的课堂教学步骤 ：第一，建立关系（建立教师与学生、学生与新学知识之间的关系）第二，提出问题（多种方式下，师生共同提出并整理出大问题，整体呈现）第三，尝试探究（学生依据已有的知识经验和课本内容自主或合作学习）第四，展示分享（充分利用黑板、实物展台、墙壁或其他空间展示学生的研究成果，在学生积极主动参与下分享，教师适时追问，引发深层次的对话和碰撞）第五，共同概括（师生围绕“大问题”及“大问题”的解决过程，共同参与梳理和提炼，得出结论）第六，问题延伸（通过学生与学生、学生与教师之间共同设疑解答等多种形式，对知识进行巩固、深化和延伸。提出后续研究的问题） “大问题”教学微格研修

6、课题：倒数的认识倒数的认识（六年级上册）（六年级上册）（人教版教师用书）（人教版教师用书）3. 倒数的认识（第（第2425页）页） 这部分内容是在学习了分数乘法的基础上教学的，主要为后面学习分数除法做准备，因为一个数除以分数的计算方法，归结为乘这个数的倒数。 这部分内容安排了2个例题，教学倒数的意义和求倒数的方法。（人教版教师用书）（人教版教师用书）3. 倒数的认识（第（第2425页）页） 这部分内容是在学习了分数乘法的基础上教学的，主要为后面学习分数除法做准备，因为一个数除以分数的计算方法，归结为乘这个数的倒数。 这部分内容安排了2个例题，教学倒数的意义和求倒数的方法。编写意图：让学生了解倒

7、数的意义，编排了几组乘积为1的乘法算式，通过学生观察、讨论等活动，找出它们的共同特点，导出倒数的定义。教学建议：教学建议： （1）让学生充分观察和讨论，找出算式的共同特点。 （2）给出倒数的定义后，讨论倒数的特点，特别要理解“互为倒数”的含义，即倒数是表示两个数之间的关系，这两个数是相互依存的，倒数不能单独存在。也可以结合判断题，如“73是倒数”对不对？以加深学生认识。 （3）可以让学生根据对倒数意义的理解，说出几组倒数，看学生是否真正理解和掌握。教学建议：教学建议： （1）让学生充分观察和讨论，找出算式的共同特点。 （2）给出倒数的定义后，讨论倒数的特点，特别要理解“互为倒数”的含义，即倒数

8、是表示两个数之间的关系，这两个数是相互依存的，倒数不能单独存在。也可以结合判断题，如“73是倒数”对不对？以加深学生认识。 （3）可以让学生根据对倒数意义的理解，说出几组倒数，看学生是否真正理解和掌握。编写意图：这里是一个图片，教学求倒数的方法。教材先安排找倒数的活动，从而初步体验找倒数的方法。接着总结求倒数的方法。最后提出1和0的倒数的问题，让学生思考讨论得到结论。教学建议：教学建议： （1）通过找倒数的活动，交流探讨方法。 （2）结合教材给出的数据，讨论归纳方法。如35怎样找到它的倒数？ （3）把互为倒数的数提出来，还剩下1和0。提出问题：它们有没有倒数？倒数是多少？组织学生讨论，说出理由

9、。在讨论的基础上归纳：根据倒数的意义，因为11=1，所以1的倒数是1；因为0与任何数相乘都是0，所以0没有倒数。教学建议：教学建议： （1）通过找倒数的活动，交流探讨方法。 （2）结合教材给出的数据，讨论归纳方法。如35怎样找到它的倒数？ （3）把互为倒数的数提出来，还剩下1和0。提出问题：它们有没有倒数？倒数是多少？组织学生讨论，说出理由。在讨论的基础上归纳：根据倒数的意义，因为11=1，所以1的倒数是1；因为0与任何数相乘都是0，所以0没有倒数。课堂教学的“大问题”预设：1.什么是倒数？（意义即乘积是1的两个数；理解互相成为；举例说明；依据意义判断）2.怎么求倒数？（真分数、带分数、整数、

10、小数的倒数求法；板书求倒数的过程；0和1的倒数）“大问题”生成的基本策略： 在学生的雏形问题上提炼（1）建立关系（2）揭示课题（3）通性提问（4）学生表达（5）调控生成（教师调控并将学生的雏形问题引向本课的教学目标上,生成出几个比较成熟的知识点或探索的问题写在黑板上）课堂生成师：看到课题，你想研究什么问题？生1：倒数是一个什么样的数？生2：倒数有什么性质？生3：一个数和它的倒数相乘得到什么结果？生4：整数的倒数是什么？数生5：认识倒数有什么用？“学生在前，教师在后”在前，教师在后主动倾听接纳换位判断调整积极互动启发追问迂回转向课堂课堂“ “小先生小先生” ”常说的四句话：常说的四句话：1.请大

11、家听我说；2.我要特别强调的是：3.大家有什么问题要问我吗？4.感谢大家听我的分享！从凌乱到灵动（张文质） “我们习惯静听的课堂，顺从的课堂，被动的课堂，一旦是开放的课堂，以学为中心的时候，就会很凌乱。但学习一段时间后，会从凌乱到灵动。灵动，就是有了灵气。灵动也意味着，它有方向感，它有秩序感，它有重点的意识。 课堂上，有时前面的问题都解决了，话题已经比较深入了，后来学生再提问题，又变得很浅显，就说明这个学生没有层次感，没有方向感，完全凭着自己的感觉提问，学生自己的感觉不是不重要，但是课堂如果没有发展他，有这样一种方向，有一种往前的纵深度的话，这时学习就有问题，这是一种失败的学习，停留在最浅表的

12、状态。 所有教师要善于利用学生的资源，有时要利用比较薄弱学生的资源，能够解决浅显的易出差错的问题，有时要利用那些先行者，利用他的资源让学习更有深度、更有难度，更有挑战性。 英国的课堂，让学生有一种自我设定的角色，分四个层次。最困难的学生叫做追赶者；再上升一层叫做跟随者；再上位，中上水平的学生叫做奔跑者；顶尖的学生叫做飞翔者。我们要思考这个层次。一个是不同层次的学生需要不同的知识，进行不同的强化，还有就是不同层次的学生需要有前进的目标。”“微格”的“微”即是微小，也可以是微波炉（把一个问题煮透）。“生命化教育大问题教学”课题组秘书陈文芳 教材是什么？是从事教与学的是从事教与学的“范本范本”？是学

13、习活动的是学习活动的“出发点出发点”？ 教材是数学学习的基本素材，教材是数学学习的基本素材， 为学生的数学学习活动提供：为学生的数学学习活动提供： 基本线索基本线索+基本内容基本内容+主要活动主要活动教材是静态的，不能开口说话。教材是静态的，不能开口说话。教材内容精而少。教材内容精而少。（1）相应的主题图）相应的主题图（2）同学间的几句对话）同学间的几句对话（3）教材提出的问题）教材提出的问题“先数出十根小棒，捆成一捆。接着怎么数？”“1个十和1个一合起来是十一。”“读直尺上的数。” 教师不是要简单地将这些静态的结果“教”给学生，而是要将这一“结果”变化为可以使学生参与的数学活动的过程，而这一

14、变化过程的实现就需要我们去“研读教材”。例2教学数的读法小学一年级学生的思维以具体形象思维为主，学生的学习要通过大量的操作活动，使所学的新知识不断内化到已有的认知结构中。因此，本单元教材特别注重使学生通过操作进行学习。例1教学数数，通过让学生数出10根小棒捆成一捆，再接着数到20根，也就是数出另外的10根单根的小棒，把这10根再捆成一捆；突出把十作为一个计数单位，使学生不仅能在10的基础上一个一个地数到20，并且直观地了解1120各数都是由一个十和几个一组成的，这可以为进一步学习数的读法和写法做准备。例1教学数数，通过让学生数出10根小棒捆成一捆，再接着数到20根，也就是数出另外的10根单根的

15、小棒，把这10根再捆成一捆；突出把十作为一个计数单位，使学生不仅能在10的基础上一个一个地数到20，并且直观地了解1120各数都是由一个十和几个一组成的，这可以为进一步学习数的读法和写法做准备。例2教学数的读法，教材注意通过操作，并在数的组成的基础上来教学。学生在用小棒摆数时，突出10根小棒一捆，就是1个十；还有几根小棒，与前面的小捆小棒放在一起就是十几；2捆小棒就是二十。例3教学数序，要求学生把直尺上的数读出来，有助于学生理解20以内数的顺序和大小。在练习十四中，还出现了用直线上的点表示数的习题，要求学生按照数的顺序在（ ）中填上适当的数。用直线上的点表示数，虽然图形本身是直观的，但是对小学

16、生来说还是比较困难的。丰富多彩的生活被浓缩、凝固后，便形成了教材上静态的情境。教师的任务就是要反其道而行之，将教材上静态的情境还原为充满活力的生活片段，并产生数学问题。 教材属于文本课程，只有经过必要的转化之后，教材才能真正实现其作为课程的功能和作用。但教材决不会对课程的实施过程无动于衷或者束手无策，它总是会力求对课程的实施过程施加积极的影响。我们很容易发现，好的教材中总是遍布着一些“活性元素”，而激活这些“活性元素”就能使教学过程充满活力，魅力四射。“大问题”导学策略 探究中呈现 分享中优化 提炼中延伸“大空间大空间”不只是学生有了获不只是学生有了获得研究问题的时空，还包括他得研究问题的时空

17、，还包括他可能拥有讲台，获得自主表达可能拥有讲台，获得自主表达、对话的机会。、对话的机会。我们建议让学生当我们建议让学生当 课堂上的课堂上的“小先生小先生”举例：“认识百分数” 生活中,人们为什么喜欢用百分数？ 百分数的意义是什么？ 百分数和分数比较，有什么相同点和不同点？学生的真切感悟：我们的热情被点燃这个互动十分成功这个互动十分成功我重新定义了数学的意义我重新定义了数学的意义那是在黄老师课堂结束之后我和一个男生偶然相遇的对话。我：刚才这节课你表现很踊跃，感觉怎么样？男孩：很带劲，我的问题都提出来了，我也帮助同伴解决了问题，就是关于百分数的好处，同桌老有疑问，为什么还要有百分数，分数就很好了

18、，我就分析给他听，举了不少例子，当然还有其他问题，没怎么感觉就下课了。 我：为什么喜欢这样的课堂？ 男生（看看我，或许在想这个问题还用问么）：我们都在想问题啊，想要解决老师黑板上的问题，而且老师给我们很多时间自由的说啊，写啊。老师也很亲切，幽默，还请客喝酒（大概是讲酒精度的时候），多有趣啊！这里面都有数学问题，我回去要看瓶子，把这度数讲给我爸爸听，吓吓他！ 为什么圆形的井盖不会掉下去呢？圆中心的一点，叫做圆心圆心。（用字母 0 表示） 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径半径。（用字母 r 表示）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径直径。（用字母 d 表示）odr“爬黑板爬黑板”（数学）（数

19、学）教室外墙的教室外墙的“爬白板爬白板”（英语）（英语）学生讲课学生讲课1 1（物理）（物理）设“大问题”教学四段式结构：1.提出问题 2.探究解决 3.综合运用4.问题延伸 “大问题”教学结构的特点：问题开始问题展开问题结束以“大问题”为导向的课堂教学步骤 ：第一，建立关系（建立教师与学生、学生与新学知识之间的关系）第二，提出问题（多种方式下，师生共同提出并整理出大问题，整体呈现）第三，尝试探究（学生依据已有的知识经验和课本内容自主或合作学习）第四，展示分享（充分利用黑板、实物展台、墙壁或其他空间展示学生的研究成果，在学生积极主动参与下分享，教师适时追问，引发深层次的对话和碰撞）第五，共同概

20、括（师生围绕“大问题”及“大问题”的解决过程，共同参与梳理和提炼，得出结论）第六，问题延伸（通过学生与学生、学生与教师之间共同设疑解答等多种形式，对知识进行巩固、深化和延伸。提出后续研究的问题） 让学生做让学生做“ “小先生小先生” ”，教师该怎么做？，教师该怎么做？1.相信学生能说清楚，把讲台交给他。2.离发言学生远一点，不需要总插嘴。3.回应发言要慢一点，坚持先生后己。4.总结是学生的事情，不越位才到位。“问题是我们的朋友。” 迈克富兰 “我们愿意和朋友们一起研究大问题，解决大问题。黄爱华教育科研专家工作室团队关注我们网上检索： 黄爱华博客改变可以改变的！改变可以改变的！改变可以改变的！改

21、变可以改变的！3. 关于练习六的一些习题的说明和教学建议。关于练习六的一些习题的说明和教学建议。第第2题是一个活动，可以同桌互说，一个人说题是一个活动，可以同桌互说，一个人说出一个数，另一个人说出它的倒数，再交换说。出一个数，另一个人说出它的倒数，再交换说。第第3题通过判断对错的活动，加深对倒数的认题通过判断对错的活动，加深对倒数的认识。识。第（第（1）题，依据倒数的意义进行判断，是对）题，依据倒数的意义进行判断，是对的。的。第（第（2）题，两个数互为倒数，而不是三个数，）题，两个数互为倒数，而不是三个数，所以不对。所以不对。第（第（3）题，）题，0没有倒数，所以不对。没有倒数，所以不对。第（

22、第（4）题，不一定。大于）题，不一定。大于1的假分数的倒数的假分数的倒数一定比这个假分数小，而真分数的倒数比这个一定比这个假分数小，而真分数的倒数比这个真分数大。真分数大。“ “大问题大问题” ”教学教学 问题让学习发生！“ “大问题大问题” ”教学教学研究“大问题”提供“大空间”呈现“大格局”“ “大问题大问题” ”教学教学 1.课堂教学中的重要问题 2.数学教育中的基本问题 （数学精神和数学思维方式）“ “大问题大问题” ”教学教学 呈现“板块式”课堂教学结构 提出“大问题”（探究话题） 研究“大问题”（深度对话） 升华“大问题”（共同提炼） 生成“大问题”（适度延伸）“大问题”教学的关键

23、词： 生命自由 思考独立 主动表达 即时分享 “大问题”教学的核心变革： 表面上看 改变课堂生态 内在追求 改变生命状态 设“大问题” 直指教学内容本质蕴含丰富的数学信息具有极大的探究性能引导学生深刻理解教学内容大问题怎么来？（林炜老师）（林炜老师）提出大问题，首先要研读教学用书。在用心研读文本的基础上，再结合知识结构体系、学生心理发展情况等思考大问题的提法。在实践过程当中，我们不妨借鉴“三W教学法”来初步思考我们可以着手提哪些大问题，进而再进行筛选和优化。 这节课学习什么？（What）； 这个问题怎么学习？（How）； 这个问题为什么要学习？（Why）。按照这个思路，我们对于每一节课，都可以

24、习惯性地先思考这几个问题。“游戏公平”首先能想到： 为什么游戏的规则要公平？ 什么是公平的规则？ 怎样设计一个公平的游戏规则？当然，这只是第一步的思考。有些课在初步思考了以后，还要找准直指本质的概念或突破点，以便在不同的课中有更深入的设计。举例：“认识百分数” 生活中,人们为什么喜欢用百分数？ 百分数的意义是什么？ 百分数和分数比较，有什么相同点和不同点？举例：“认识方程” 什么是方程？什么是方程？ 为什么要学方程？为什么要学方程？ 方程是不是很方便？方程是不是很方便？ 方程就是等式吗？方程就是等式吗？举例：“认识倒数”1.什么是倒数？（乘积是1的两个数；互相成为；举例说明；判断）2.怎么求倒

25、数？（真分数、带分数、整数以及0和1倒数的求法；分类板书）举例：“认识三角形” 如果要你介绍一下你画的三角形，你准备说些什么？ 大家画的三角形一样还是不一样？ 每一条边的长度意味着什么？ 已经确定了一条线段，再确定一个点，就可以确定这个三角形了，这个点的位置不一样，画出的三角形就不一样，是什么不一样呢？举例：“24时记时法” 生活中,已经有了12时记时法，为什么还要用24时记时法？ 今天的课题用“记”好还是用“计”好？六年级圆的认识举例：“圆的认识” 圆形的井盖为什么掉不下去？ 关于直径你有哪些发现和结论？设“大问题”教学准备五步骤： 1.研读文本 2.找关联点 3.抓核心词 4.提大问题 5

26、.设计板书以“认识方程”为例1.研读文本：影响教学观念形成的关键句 1.“含有未知数的等式含有未知数的等式”描述了方程的外部特征，并描述了方程的外部特征，并不是本质特征。不是本质特征。 2.方程用等式表示数量关方程用等式表示数量关系，它由已知数和未知数共系，它由已知数和未知数共同组成，表达的相等关系是同组成，表达的相等关系是现象、事件中现象、事件中最主要的数量最主要的数量关系关系。 3.方程是从现实生活到数方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用学的一个提炼过程，一个用数学符号数学符号提炼提炼现实生活中的现实生活中的特定特定关系的过程关系的过程。 4.方程思想的核心方程思想的核心在于建模、

27、在于建模、化归。化归。 让学生接触现实的问题，学习让学生接触现实的问题，学习建模，学习把日常生活中的建模，学习把日常生活中的自然自然语语言等价地转化为数学语言，得言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关问题。到方程，进而解决有关问题。5.5.方程方程用等号将相互等用等号将相互等价的两件事情联立，等号的价的两件事情联立，等号的左右两边左右两边等价等价；等号左右两边的两件事情在等号左右两边的两件事情在数学上是等价的数学上是等价的数学建数学建模的本质表现之一。模的本质表现之一。200克克300克克 300克克2.找关联点。（一年级课本上的图）3.抓核心词：提炼关系提炼关系转化语言转化语言体会等价体会等价4.提大问题：（1 1）什么是