定积分56反常积分

1、第六节第六节 反常积分（广义积分）反常积分（广义积分）一、无穷限的一、无穷限的反常反常积分积分二、无界函数的二、无界函数的反常反常积分积分(瑕积分）瑕积分）在无穷区间在无穷区间a，)上的广义积分上的广义积分在无穷区间在无穷区间(，b上的广义积分上的广义积分在无穷区间在无穷区间(， )上的广义积分上的广义积分在在(a，b上以上以a为瑕点的广义积分为瑕点的广义积分在在a，b)上以上以b为瑕点的广义积分为瑕点的广义积分在在(a，b)上以上以c为瑕点的广义积分为瑕点的广义积分定定积积分分 badxxf)(有界函数有界函数：有有限限区区间间,ba的的积积分分无无界界函函数数在在有有限限区区间间上上的的积

2、积分分有有界界函函数数在在无无穷穷区区间间上上实实际际应应用用中中往往往往遇遇到到：)()(21背景背景13一、无穷限的反常反常积分 定义定义1 设函数设函数f(x)在区间在区间a，)上连续，取上连续，取ba 如果极限如果极限 称此极限为函数称此极限为函数f(x)在无穷区间在无穷区间a，)上的上的反常反常积分积分，即即dxxfa)( 如果上述极限不存在，函数如果上述极限不存在，函数f(x)在无穷区间在无穷区间a，)上的上的反常反常blimdxxfba)(dxxfa)(记作 ，blimdxxfba)(，积分 就没有意义，dxxfa)(此时称广义积分 发散dxxfa)(这时也称广义积分 收敛；dx

3、xfa)(Oabxy存在，存在，则则 类似地，设函数类似地，设函数f(x)在区间在区间(，b 上连续，取上连续，取a1时，这广义积分收敛，其值为 ；例例1 证明广义积分证明广义积分 (a0)当当p1时收敛，当时收敛，当p 1时时dxxpa1 证证 当当p 1时时，dxxpa1dxxa1 lnaxdxxpa1dxxa1 lnaxdxxpa1dxxa1 lnax当当p1时时，dxxpa1 111apxp11papdxxpa1 111apxp11pap 1-p01-p0) 例4 0dttept解解：011ptpteptep01dtetepptpt.1p1-12pp pttte lim0pttpe1l

4、im pttet lim 01pttdep计计算算是是否否正正确确？?1112dxx问题2)1(1|11112 xdxx为为什什麽麽？!0 附附近近无无界界被被积积函函数数在在点点 x 二、无界函数的广义积分（瑕积分）瑕瑕点点：为为瑕瑕点点。称称是是无无界界间间断断点点（即即的的任任意意邻邻域域内内都都无无界界，在在点点如如果果aaaxf),)(2定定义义称称反反常常积积分分发发散散。，如如极极限限不不存存在在，此此时时也也称称反反常常积积分分收收敛敛。即即上上的的反反常常积积分分，仍仍记记为为在在存存在在，则则称称此此极极限限为为如如果果极极限限，为为瑕瑕点点，取取上上连连续续，点点在在设设

5、 btatbababtatdxxfdxxfdxxfbaxfdxxfatabaxf)(lim)(.)(,()()(lim,()(txOaby 二、无界函数的广义积分（瑕积分）瑕瑕点点：为为瑕瑕点点。称称是是无无界界间间断断点点（即即的的任任意意邻邻域域内内都都无无界界，在在点点如如果果aaaxf),)(2定定义义。 btatbadxxfdxxf)(lim)(txOaby与定积分的记号一致！但是与定积分的记号一致！但是它是瑕积分！它是瑕积分！。否则，称反常积分发散否则，称反常积分发散。存在，则定义存在，则定义如果极限如果极限，取取为瑕点，为瑕点，）上连续，点）上连续，点在在设设类似地，类似地， t

6、abtbatabtdxxfdxxfdxxfbtbbaxf)(lim)()(lim,)(xOa tby发发散散。否否则则，称称反反常常积积分分都都收收敛敛，则则定定义义与与积积分分为为瑕瑕点点，如如果果两两个个反反常常点点外外连连续续，点点上上除除在在设设 babccababccadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfcbcacbaxf)()()()()()()(,)(cabxy定理定理2分发散。分发散。不存在，则称此反常积不存在，则称此反常积若若存在，则反常积分存在，则反常积分如如上的一个原函数，上的一个原函数，在在为为设设)(lim);0()()(lim)()()(lim,()()

7、(0 xFaFbFxFbFdxxfxFbaxfxFaxaxbaax 对反常积分对反常积分 （瑕积分），（瑕积分），牛牛 顿顿莱布尼莱布尼 茨公式同样茨公式同样 适用！适用！所以所以x=a是被积函数的是被积函数的一个无穷间断点一个无穷间断点(瑕点）瑕点） 例4 计算广义积分220 xadxa 解 因为0limax221xa ，adxxa0221.arcsinarcsinarcsinlim2100axaxa|axarcsin0 例 5 讨论广义积分112xdx的收敛性 解 函数21x在区间1，1上除x0外连续，且0limx21x即广义积分012xdx发散，所以广义积分发散，所以广义积分112xdx

8、发散0121dxx因102012112111dxxdxxdxx因011|x.xlimx1)1(0 证明证明 当当q 1时时，当当q1时时，当当q1时时，当当q 1时此广义积分发散时此广义积分发散baqaxdx)(baaxdxbaax )ln( 因此，当q1时此广义积分收敛，其值为q11(ba)1q；baqaxdx)(baaxdxbaqaxdx)(baaxq )(11baqaxdx)(baaxq )(111-q 1-q0baqaxdx)(baaxq )(11q11baqaxdx)(baaxq )(11q11(ba)1q 1-q时时发发散散。时时收收敛敛；当当当当证证明明反反常常积积分分例例110

9、)(6 qqaxdxbaq说明说明: 有时通过换元有时通过换元 , 反常积分和定积分可以互反常积分和定积分可以互相转化相转化 .例如例如 , 1021dxx）令txsin(20dtxxxd111042 10121d122xxxx 102112)()d(xxxx)1(xxt 令令 022dtt.)(031xxdx求求反反常常积积分分例例 03)1(xxdx解解：tx 0232)1(2dtttt 0232)1(12dtt. 2cos2secsec2202032 ududuuuuttan内容小结内容小结 1. 反常积分反常积分积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界定积分的极限定积分的极限

10、2. 两个重要的反常积分两个重要的反常积分 apxxd baqaxx)(d1p1p)0( a baqxbx)(d1q,1)(1qabq 1q,)1(11 pap.1)2(1)2(,ln131010 dxxxdxxx）（。计计算算下下列列瑕瑕积积分分。例例为瑕点，为瑕点，）解：）解：（0 x11010)2(lnlnxxddxxx.)2(ln 210 xxCxxCxxxdxxxx)2(ln2ln1ln10| )1ln(2dxxxx)2(lnlim2 20 xxx. 4) 2(lnlim0 xxx2102lnlimxxx0)2(lim210 xx为为瑕瑕点点，解解：1121210 xdxxx.)()(21tx .20arctan1arctan2|arctan2)1(2)1(21)2(110102012110 tdttdttdxxxxt.)510261dxxx（。计计算算瑕瑕积积分分例例。（所所以以，因因（解解：6.2).|1,|2,|1,)1)102610101032103106510610361026122