第五章线性系统的频域分析

1、第五章控制系统的频域分析第五章控制系统的频域分析频率特性分析法是分析线性系统的工程实用方频率特性分析法是分析线性系统的工程实用方法。法。频率响应频率响应系统对不同频率正弦输入信号的稳态响系统对不同频率正弦输入信号的稳态响 应。应。频率特性频率特性系统的频率响应与对应频率的正弦输入系统的频率响应与对应频率的正弦输入 信号之间幅值及相位的关系。信号之间幅值及相位的关系。 系统的频率特性可以反映系统的稳态性能、稳系统的频率特性可以反映系统的稳态性能、稳定性、暂态性能。定性、暂态性能。 用频率特性研究控制系统性能的方法称为控制用频率特性研究控制系统性能的方法称为控制系统的频域分析方法系统的频域分析方法

2、 第五章控制系统的频域分析第五章控制系统的频域分析 用频域法分析线性系统的优点：用频域法分析线性系统的优点：控制系统各个环节的频率特性可以方便获得，控制系统各个环节的频率特性可以方便获得，可以用曲线表示，使得可以用曲线表示，使得分析和设计可以用图解的方分析和设计可以用图解的方式进行。式进行。频率特性频率特性物理意义明确物理意义明确，可用实验方法确定稳，可用实验方法确定稳定系统的频率特性。对于某些对于对象机理了解不定系统的频率特性。对于某些对于对象机理了解不充分的系统具有重要意义。充分的系统具有重要意义。3 .3 .可方便、直观地可方便、直观地分析多个参数变化对系统性能分析多个参数变化对系统性能

3、的影响，的影响，并能大致指出改善系统性能的途径。并能大致指出改善系统性能的途径。4.4.频域设计可以频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制的要求兼顾动态响应和噪声抑制的要求。频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:40不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数

4、。5-1 频率特性的概念一正弦稳态响应与频率特性的定义一正弦稳态响应与频率特性的定义 我们通过正弦稳态响应来介绍我们通过正弦稳态响应来介绍电路的频率特性的概念电路的频率特性的概念电路的传递函数为1111)()()(12sRCssUsUsG设输入设输入tUumsin11其拉氏变换为其拉氏变换为2211)(sUsUm则输出的拉氏变换为2ujsCjsBsAsUssUssUmm/1/1/111)(22122125-1 5-1 频率特性的概念频率特性的概念)()(12/1121122jsejsejUsUjjmm求拉氏反变换，得)sin(112212212tUeUumtm其中arctg暂态分量稳态分量5-

5、1 5-1 频率特性的概念频率特性的概念电路的频率响应为电路的频率响应为)sin(1lim2212tUumt)11sin(111jtjUm电路的频率特性为电路的频率特性为)()(11)(jeAjjG式中式中arctan)11()(1111)(22jjA为幅频特性为相频特性为相频特性备注备注（）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性（）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移（）已知系统的传递函数，令，可得系统的频率特性。（）频率特性包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质js 频率特性二频率特性与传递函数的关系二频率特性与传递函数的关系我们知道我们知道5-

6、1 频率特性的概念频率特性的概念零状态)()()(sRsCsGjsdtetrsRdtetcsCstst00)()()()(其中 频率特性二频率特性与传递函数的关系二频率特性与传递函数的关系对零状态响应应有对零状态响应应有5-1 频率特性的概念频率特性的概念0)(00)(0)(00)(ttrttrttcttcjsdtetrsRdtetcsCstst)()()()(故有 频率特性二频率特性与传递函数的关系二频率特性与传递函数的关系若若C(s)和和R(s)的收敛域包含虚轴的收敛域包含虚轴5-1 频率特性的概念频率特性的概念时，上式收敛则js 为付氏变换即有dtetrjRdtetcjCtjtj)()(

7、)()()()()(jRjCjG 频率特性小结：频率特性与传递函数的关系小结：频率特性与传递函数的关系当当G(s) 的收敛域包含虚轴时，系统的频率特性是的收敛域包含虚轴时，系统的频率特性是零状态响应与输入的付氏变换之比。零状态响应与输入的付氏变换之比。5-1 频率特性的概念频率特性的概念)()()(jRjCjG频率特性)()()(sRsCsG传递函数js sjjjj)(频率特性可看作频率特性可看作是传递函数的特是传递函数的特例，例，传递函数可看作传递函数可看作频率特性的推广。频率特性的推广。 频率特性小结：频率特性与传递函数的关系小结：频率特性与传递函数的关系当当G(s) 的收敛域包含虚轴时，

8、系统的频率特性是的收敛域包含虚轴时，系统的频率特性是零状态响应与输入的付氏变换之比。零状态响应与输入的付氏变换之比。5-1 频率特性的概念频率特性的概念)()()(jRjCjG频率特性)()()(sRsCsG传递函数js 频率特性可以通频率特性可以通过实验获得，这过实验获得，这为研究系统提供为研究系统提供了很大方便了很大方便sjjjj)(5-1 频率特性的基本概念系统模型间的关系系统模型间的关系 频率特性三频率特性的数学表示三频率特性的数学表示1 1、幅频特性和相频特性、幅频特性和相频特性G(jG(j) )一般是一个复数，可以写为一般是一个复数，可以写为5-1 频率特性的概念频率特性的概念)(

9、)()()()(AejGjGj相频特性幅频特性)()(A 频率特性三频率特性的数学表示三频率特性的数学表示1 1、幅频特性和相频特性、幅频特性和相频特性例绘制例绘制 RC电路电路 的幅频和相的幅频和相频特性，频特性，其中其中jjG11)(sRC1解：arctgA)(11)(22，5-1 频率特性的概念频率特性的概念描点后可得RC电路的频率特性图列表 频率特性三频率特性的数学表示三频率特性的数学表示2 2、幅相频率特性图、幅相频率特性图又称极坐标图，乃魁斯特图用描点法绘制又称极坐标图，乃魁斯特图用描点法绘制例2绘制惯性环节的幅相频率绘制惯性环节的幅相频率特性，其中特性，其中jjG11)(s 1解

10、：解：arctgA)(11)(22，5-1 频率特性的概念频率特性的概念描点后可得惯性环节的幅相频率特性图列表3、对数频率特性图（伯德图） 控制系统工作的频率范围很宽，且增益范围很广，用直接计算A()、 ()方式绘方式绘图，图，不太方便。 控制系统一般要求在低频段要求对频率特性的绘制细致一些，高频段可以粗一些。这样采用对数坐标比较方便。 对数频率特性对数频率特性分为对数幅频特性L()和相频特性()三频率特性的数学表示三频率特性的数学表示3 3、对数频率特性图（伯德图）、对数频率特性图（伯德图）1 1）对数幅频特性）对数幅频特性L() 对数幅频特性的横坐标为对数幅频特性的横坐标为lglg 纵坐标

11、为纵坐标为20lgA ()，单位为，单位为dB备注：备注： 横坐标以横坐标以10倍倍单位（单位（10倍频）倍频）为均匀刻度，即为均匀刻度，即 lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg10k=k 纵坐标以纵坐标以20dB为均匀刻度，即为均匀刻度，即 dBAAAA20)()(lg2010)()(2121时，3 3、对数频率特性图（伯德图）、对数频率特性图（伯德图）2 2）对数相频特性）对数相频特性 () 对数相频特性的横坐标为对数相频特性的横坐标为lglg 纵坐标纵坐标() 例例3 3绘制惯性环节的伯德图，绘制惯性环节的伯德图，其中其中jjG11)(s1惯性环节的对数幅频特性为22221lg

12、2011lg20)(lg20)(AL（单位分贝，记为dB）相频特性为相频特性为arctg)(3 3、对数频率特性图（伯德图）、对数频率特性图（伯德图）伯德图中的对数幅频特性用近似曲线方法绘制。 b.当时，（在半对数坐标系中是直线方程，斜率为-20dB/dec,dec表示10倍频程）1lg20)(La.当时，（在半对数坐标系中是和横轴重合的水平线）101lg20)(L-20dB/decc. 称为惯性环节的转折频率，水平线和斜率为20dB/dec的直线在该处连接。1惯性环节 近似曲线和精确曲线的最大误差发生在处，为1dB32lg201lg20122相频特性可用描点方法绘制，其特点是曲线关于奇对称。

13、)51(，13 3、对数频率特性图（伯德图）、对数频率特性图（伯德图）备注：对数频率特性的优点备注：对数频率特性的优点 可以双重展宽频带可以双重展宽频带 低频时，可以将频率划分得很细，便于细致分析稳态性能低频时，可以将频率划分得很细，便于细致分析稳态性能 高频时，将高频段以高频时，将高频段以1010倍频程拉近，便于看出变化趋势。倍频程拉近，便于看出变化趋势。 对常见频率特性可以通过叠加得到综合结果，作对常见频率特性可以通过叠加得到综合结果，作图方便图方便 )(lg20)(),(lg20)(2211ALAL)()()(lg20)()()()(2121LLALAAA，小结：频域特性的概念小结：频域

14、特性的概念频率响应频率响应系统对不同频率正弦输入信号的稳系统对不同频率正弦输入信号的稳态响态响 应。应。频率特性频率特性系统的频率响应与对应频率的正弦输入系统的频率响应与对应频率的正弦输入 信号之间幅值及相位的关系。信号之间幅值及相位的关系。 系统的频率特性可以反映系统的稳态性能、稳系统的频率特性可以反映系统的稳态性能、稳定性、暂态性能。定性、暂态性能。 用频率特性研究控制系统性能的方法称为控制用频率特性研究控制系统性能的方法称为控制系统的频域分析方法系统的频域分析方法 频率特性频率特性与传递函数的关系频率特性与传递函数的关系当当G(s) 的收敛域包含虚轴时，系统的频率特性是的收敛域包含虚轴时

15、，系统的频率特性是零状态响应与输入的付氏变换之比。零状态响应与输入的付氏变换之比。小结频率特性的概念频率特性的概念)()()(jRjCjG频率特性)()()(sRsCsG传递函数js sjjjj)(频率特性可看作频率特性可看作是传递函数的特是传递函数的特例，例，传递函数可看作传递函数可看作频率特性的推广。频率特性的推广。小结 频率特性的概念系统模型间的关系系统模型间的关系 频率特性频率特性的数学表示频率特性的数学表示1 1、幅频特性和相频特性、幅频特性和相频特性G(jG(j) )一般是一个复数，可以写为一般是一个复数，可以写为小结 频率特性的概念频率特性的概念)()()()()(AejGjGj

16、相频特性幅频特性)()(A 频率特性频率特性的数学表示频率特性的数学表示2 2、幅相频率特性图、幅相频率特性图又称极坐标图，乃魁斯特图用描点法绘制又称极坐标图，乃魁斯特图用描点法绘制小结频率特性的概念频率特性的概念)()()()()(AejGjGj频率特性的数学表示频率特性的数学表示3 3、对数频率特性图（伯德图）、对数频率特性图（伯德图）1 1）对数幅频特性）对数幅频特性L() 对数幅频特性的横坐标为对数幅频特性的横坐标为lglg，以以10倍倍单位单位（10倍频）倍频）为均匀刻度为均匀刻度 纵坐标为纵坐标为20lgA ()，单位为，单位为dBdBAAAA20)()(lg2010)()(212

17、1时，小结频率特性的概念频率特性的概念2 2）对数相频特性）对数相频特性 ( () ) 对数相频特性的横坐标为对数相频特性的横坐标为lglg 纵坐标纵坐标( () )对数频率特性的优点对数频率特性的优点 可以双重展宽频带可以双重展宽频带 低频时，可以将频率划分得很细，便于细致低频时，可以将频率划分得很细，便于细致分析稳态性能分析稳态性能 高频时，将高频段以高频时，将高频段以1010倍频程拉近，便于看倍频程拉近，便于看出变化趋势。出变化趋势。 对常见频率特性可以通过叠加得到综合结果，对常见频率特性可以通过叠加得到综合结果，作图方便作图方便 小结 频率特性的概念频率特性的概念5-2 典型环节的频率

18、特性典型环节的频率特性 我们上一节介绍了频率特性的概念，绘制控制系统的频率特性是进行频域分析的基础。 控制系统通常由典型环节经过级联、并联、反馈等连接方式组合而成，所以要了解控制系统的频率特性，首先要掌握典型环节的频率特性。 熟练掌握各种典型环节的频率特性，对于绘制反馈控制系统的开环频率特性很有帮助。对控制系统的频域分析具有重要的意义。5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 常见的典型环节有ssGssGKsG1)()()(积分微分比例1)(11)(ssGTssG一阶微分惯性12)(121)(2222TssTsGTssTsG二阶微分二阶振荡sesG)(延迟一一. .比例环节比例环节比例环节

19、的传函为常数，它的特点是其输出能够无失真和无滞后地复现输入信号5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性0)(lg20)()(KLKjG对数幅频特性为一直线一一. .比例环节比例环节二微分环节二微分环节90)(lg20)()()(2LejjGssGj它的输出量是输入量对时间的微分三积分环节三积分环节 ssG1)(2)(1)(11)(2AejjGj2相频特性恒为成反比幅频特性与上式表明，积分环节的它的输出量是输入量对时间的积分频率特性90)(lg201lg20)(L转折点转折点三积分环节三积分环节对数频率特性对数频率特性四惯性环节四惯性环节jTjG11)(22221lg2011lg20)(lg

20、20)(TTALarctgT)(误差曲线误差曲线四惯性环节四惯性环节四惯性环节四惯性环节幅相图222211111)(TTjTjTjG222)21()(21)(QP)()(jQP五一阶微分环节)(2211)(1)(jejjGssGarctgLA)(1lg20)(1)(2222六振荡环节六振荡环节1212)(22222TssTsssGnnn时间常数阻尼比，自然振荡角频率TTn1我们只讨论欠阻尼情况，因为过阻尼可分解成两个惯性环节)(22)(211)(jeATTjjG六、振荡环节 1、伯特图22222212)(211)(TTarctgTTA222221lg20)(lg20)(TTAL121)(22T

21、ssTsG在低频段（），T10)(, 1)(LA在高频段（），T1)lg(40)(,1)(22TLTA 可见低频段渐近线为过0dB的水平线，高频段渐进线是一条斜率为40dB/dec的直线T1交接频率为222221lg20)(lg20)(TTAL六、振荡环节六、振荡环节 1、伯特图、伯特图对数幅频特性对数幅频特性在转折频率附近，实际幅频特性与渐近线之间存在较大的误差。)2lg(202)(1 lg20)(22nnnnnnL时2098.1344. 4092. 21 . 5)()(05. 01 . 03 . 05 . 07 . 09 . 0LdB谐振峰称之为迅速增大，形成峰值，时，可见，)(3 . 0

22、L六、振荡环节六、振荡环节 1、伯特图、伯特图对数幅频特性对数幅频特性六、振荡环节六、振荡环节 1 1、伯特图、伯特图对数幅频特性对数幅频特性 振荡环节的对数幅频特性，可以在渐近线的基础上，根据书上误差校正曲线进行修正六、振荡环节六、振荡环节 1 1、伯特图、伯特图对数幅频特性对数幅频特性相频特性采用描点方式六、振荡环节六、振荡环节 1 1、伯特图、伯特图相频特性相频特性2212)(TTarctg00180)(90)(0)(0n六、振荡环节六、振荡环节 1 1、伯特图、伯特图相频特性相频特性21)(0)(0jjGjGn六振荡环节六振荡环节 2、幅相图、幅相图nnjTjTjG2)(1 1211)

23、(222）（1215 . 00)(时，当jG2 2、幅相图、幅相图七、二阶微分环节TjTjGTssTsG21)(1012)(2222222222222212)(21 lg20)(21 )(TTarctgTTLTTA可见，二阶微分环节对数频率特性和振荡环节正好关于横轴对称，可以非常方便地绘出频率特性七、二阶微分环节八滞后环节八滞后环节jsejGesG)()(相位滞后角与 成正比。越大，相位滞后随的增长越快0)(lg20)()(, 1)(ALA小结小结 典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节ssGssGKsG1)()()(积分微分比例1)(11)(ssGTssG一阶微分惯性12)(121)(

24、2222TssTsGTssTsG二阶微分二阶振荡sesG)(延迟小结小结 典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节ssGssGKsG1)()()(积分微分比例小结小结 典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节1)(11)(ssGTssG一阶微分惯性小结小结 典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节121)(22TssTsG二阶振荡小结小结 典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节sesG)(延迟5-3 控制系统开环频率特性的绘制控制系统是由典型环节组成的，熟悉了典型环节的特性，就不难绘制控制系统的开环频率特性了一各型别系统开环幅相频率特性的特点一各型别系统开环幅相频率特性的特点

25、)1)(1 ()(21sTsTKsG0型系统幅相频率特性)1)(1 ()(21jTjTKjG2212221212211 )1(）（）（TTTTTTjTTK)(1)1(180)(, 0)()()0()0(21210TTjTTjGjGAKjGA幅相频率特性特点：特点：（） =0，曲线起始于正实轴的（，）点（） ，曲线沿(nm)90的方向趋近于坐标原点其中n为传递函数分母阶次，m为分子阶次)1)(1 ()(21jTjTKjG型系统型系统)1()(ssKsG)1()(jjKjG)(0)()(2)0(0()0(jGAjGA）221KjK)(212arctgK型系统)1()(jjKjG特点：（）时，是一条

26、平行于虚轴，趋向无穷远的直线090)(,)(A的方向趋近于坐标原点（曲线沿）（0018090)90)()(, 0)(,2mnmnA型系统型系统)1()(2ssKsG)1()()(2jjKjG)()()1()(222arctgKA)1 ()1 (22222KjK型系统型系统)1()()(2jjKjG特点：（），是一条和实轴平行伸向无穷远的直线0180)(,)(A幅相频率特点的方向趋于原点。曲线沿0027090)(,90)()(, 0)(,)2(mnmnA4 4 一般一般NyquistNyquist图的绘制思路图的绘制思路)()()(jejGjG 绘制系统的乃氏图时，必须写出开环系统的相位绘制系统

27、的乃氏图时，必须写出开环系统的相位表达式和幅频特性表达式表达式和幅频特性表达式m1nii 1K(s1)G(s)H(s)s(Ts1)m1nii 1K(j1)G(j )H(j )(j )(jT1) m221n22ii 1K1A( )T1 mni1i 1( )90arctanarctanT 4 4 一般一般NyquistNyquist图的绘制思路图的绘制思路1 1）、确定幅相曲线的起点和终点）、确定幅相曲线的起点和终点可得低频段乃氏图：可得低频段乃氏图：0( 0 )( 0 )lim()vKG jH jj （1）起点（低频段）：）起点（低频段）：m1nii 1K(j1)G(j )H(j )(j )(j

28、T1) （）终点（高频段）：（）终点（高频段）：此时，这时频率特此时，这时频率特性与分子分母多项式阶次之差有关。分析可得性与分子分母多项式阶次之差有关。分析可得如下结论：如下结论：nm limj0nmG limj2Gnm KImRe0v 1v 2v 3v GH平面3mn2mn1mn终点处幅值：终点处幅值：终点处相角终点处相角：3 3）. . 开环幅相特性曲线的变化规律开环幅相特性曲线的变化规律 分子上有时间常数的环节，幅相特性的相位超前，曲线向分子上有时间常数的环节，幅相特性的相位超前，曲线向逆时针方向变化逆时针方向变化分母上有时间常数的环节，相位滞后，幅相特性曲线向顺分母上有时间常数的环节，

29、相位滞后，幅相特性曲线向顺时针方向变化时针方向变化令实部等于令实部等于0，求出，求出 代入虚部，得到与虚轴的交点。代入虚部，得到与虚轴的交点。（）曲线与实轴交点（）曲线与实轴交点：令虚部为，：令虚部为，2 2）、确定乃氏图与实轴、虚轴交点）、确定乃氏图与实轴、虚轴交点 Imj0G g或或 ggj0, 1,Gkk （）乃氏图与虚轴交点的求取：（）乃氏图与虚轴交点的求取： 求出求出代入实部，即得到与实轴的交点；代入实部，即得到与实轴的交点；例：开环系统的频率特性为例：开环系统的频率特性为 试绘制该系统的极坐标图试绘制该系统的极坐标图解解: : 确定乃氏曲线与实轴、虚轴交点；确定乃氏曲线与实轴、虚轴

30、交点；曲线与实轴交点：曲线与实轴交点：令令 ImG(jImG(j )H(j)H(j )=0 )=0 求出求出 =10=10代入频率特性的实部得代入频率特性的实部得ReG(jReG(j1010)H(j)H(j1010)=-0.4)=-0.4，乃氏图与负实轴的交点为乃氏图与负实轴的交点为(-0.4,j0)(-0.4,j0)。曲线与虚轴交点：曲线与虚轴交点：令令ReG(jReG(j )H(j)H(j )=0)=0，求出，求出 =。表明幅相特性曲线只在坐标原点处与虚轴相交。表明幅相特性曲线只在坐标原点处与虚轴相交。 10j10.210.05Gjjj 小结 绘制控制系统开环幅相图应注意如下问题绘制控制系

31、统开环幅相图应注意如下问题 幅相图的起点 0型，起于实轴（K，j0)处 I I型，起于虚轴（ReG(0)，-j)处 IIII型，起于实轴（-, jImG(0)处 幅相图的终点 n-m=1,沿-900方向趋于原点 n-m=2,沿-1800方向趋于原点 n-m=3,沿-2700方向趋于原点 幅相图穿越实轴和虚轴点 幅相图穿越单位圆对应的角度和角频率二系统伯德图的绘制二系统伯德图的绘制 设开环系统由n个典型环节串联组成)()()()(,)()()()()()()()()()()(21)()(1)(21211njnjjnnAAAAeAeAeAjGjGjGjGsGsGsGsGn5-3 控制系统开环频率特

32、性的绘制)()()()()()()()(2121nLLLLn二系统伯德图的绘制二系统伯德图的绘制 可见，当开环系统由若干典型环节串联组成时，其对数幅频特性和相频特性分列为各典型环节的对数幅频特性和相频特性之和 因此绘制系统开环对数频率特性的方法之一，就是画出各环节的对数频率特性，然后相加例例1 1)1)(1 ()(21jjKjG21222221)(1lg201lg20lg20)(arctgarctgKL22212211)(KA例例2 264)(05. 01)21 ()5 . 01 (4)(2jjjjjjG1.为避免差错，必须将为避免差错，必须将 化成如上标准形式，化成如上标准形式，即典型环节频

33、率特性的乘积。即典型环节频率特性的乘积。写出幅频特性、对数幅频特性和相频特性表达式写出幅频特性、对数幅频特性和相频特性表达式)(jG22222)05. 0()641 ()2(1)5 . 0(14)(A)641 (05. 02905 . 0)()05. 0()641 (lg20)2(1lg20lg20)5 . 0(1lg204lg20)(222222arctgarctgarctgL22222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20lg20)5 . 0(1lg204lg20)(L)641 (05. 02905 . 0)(2arctgarctgarctg比例环节：， 20lg4=12dB积

34、分环节：lg201j2.分析组成系统的典型环节，并按转折频率从大到小的顺序列出)641 (05. 02905 . 0)()05. 0()641 (lg20)2(1lg20lg20)5 . 0(1lg204lg20)(222222arctgarctgarctgL5 . 01, 2,211111转折频率j21, 5 . 0,5 . 01222转折频率j81, 2 . 0,81,64)(05. 0113332jj惯性环节：一阶微分环节：振荡环节：选定伯德图各坐标轴的比例尺，和频率范围，选定伯德图各坐标轴的比例尺，和频率范围，一般取最低频率为最小转折频率的一般取最低频率为最小转折频率的1/10左右，最

35、左右，最高频率为最大转折频率的倍左右，注意，高频率为最大转折频率的倍左右，注意，轴轴是对数刻度，最低频率不可能取作是对数刻度，最低频率不可能取作在取最低频率为在取最低频率为0.1，最高频率为，最高频率为100 从低频到高频画出对数幅频特性的渐近线从低频到高频画出对数幅频特性的渐近线1低频渐近线低频渐近线斜率为斜率为-20vdB/dec-20vdB/dec的直线，其中的直线，其中v v为积分环节的个数，为积分环节的个数，在处，渐近线通过在处，渐近线通过20lgK20lgK1dBL12)(, 1lg20lg20)(, 0KL本例中，本例中，v=1, 20lg4=12dB,v=1, 20lg4=12

36、dB,作斜率为作斜率为-20dB/dec-20dB/dec的直线且有的直线且有 0.1 0.5 1 12dBL()22222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20)5 . 0(1lg20lg204lg20)(L 0.1 0.5 1 2 12dBL()在最小转折频率处，渐近线在最小转折频率处，渐近线斜率由斜率由-20dB/dec-20dB/dec变为变为-40dB/dec-40dB/dec，这是惯性环节这是惯性环节 起作用的结果起作用的结果5 . 01211j22222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20)5 . 0(1lg20lg204lg20)(L 0.1 0.5

37、1 12dBL()当频率高于转折频率当频率高于转折频率 时，时，一阶微分环节一阶微分环节 将起作用，渐近线斜将起作用，渐近线斜率从率从-40dB/dec-40dB/dec变为变为- -20dB/dec.20dB/dec.22251j822222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20)5 . 0(1lg20lg204lg20)(L 0.1 0.5 1 12dBL()考虑振荡环节的作用，在考虑振荡环节的作用，在 处，渐近处，渐近线的斜率将有线的斜率将有-40dB/dec-40dB/dec的改变，形成斜率为的改变，形成斜率为- -60dB/dec60dB/dec的渐近线的渐近线. .28

38、8322222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20)5 . 0(1lg20lg204lg20)(L 4必要时，按误差校正曲线，对渐近线进行修必要时，按误差校正曲线，对渐近线进行修正，得到精确的对数幅频特性。正，得到精确的对数幅频特性。5根据各环节的相频特性，可以绘制系统的相根据各环节的相频特性，可以绘制系统的相频特性频特性190124127130122)(5 .在分析和设计系统时，往往对对数幅频在分析和设计系统时，往往对对数幅频特性曲线与特性曲线与轴交点频率轴交点频率称剪切频率附近称剪切频率附近的相频特性比较感兴趣因此也可以在附的相频特性比较感兴趣因此也可以在附近取几个频率点，代

39、入的表达式，用解近取几个频率点，代入的表达式，用解析的方法求出相频特性的几个点低频段和析的方法求出相频特性的几个点低频段和高频段均可按的变化趋势画出如此例高频段均可按的变化趋势画出如此例有有c)()(小结：绘制L()的步骤 1、绘制低频渐近线lg20lg20)(, 0KLKLlg20)(, 1decdB/20斜率为decdBdecdBIII/40/2000斜率小结：绘制L()的步骤2、找出转折频率3、从高到低依次在转折频率处变化渐近线斜率decdBTdecdBTdecdBdecdBlkji/401/201/401/201二阶振荡一阶惯性二阶微分一阶微分斜率变化转折频率环节小结：绘制L()的步骤

40、4、对与横轴相交频率附近的转折频率点，根据需要进行修正。三最小相位系统与非最小相位系统三最小相位系统与非最小相位系统 具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角变化范围最小。最小相位名称由此得到。角变化范围最小。最小相位名称由此得到。 如果系统开环传递函数在复平面s的右半面既没有极点、也没有零点，则称该系统为最小相位系统最小相位系统。反之，则称为非非最小相位系统最小相位系统。1 1、最小相位系统的定义、最小相位系统的定义5-3 控制系统开环频率特性的绘制211212,11)(,11)(TTjTjTjGSTSTSGaajTjTjGSTSTSGab12121

41、1)(,11)(三最小相位系统与非最小相位系统三最小相位系统与非最小相位系统例如，设a和b两个系统的传递函数和频率特性分别为: 相频特性却不同,分别为:2121arctanarctan)(arctanarctan)(TTTTba 这两个系统的幅频特性是相同的,即：2221)1(120lg)1(120lg)(TTL三最小相位系统与非最小相位系统三最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统的伯德图最小相位系统和非最小相位系统的伯德图 1、最小相位系统的幅频特性和相频特性之间有着确定的最小相位系统的幅频特性和相频特性之间有着确定的单值关系。单值关系。因此，可以由最小相位系统的幅频特性得

42、出系统因此，可以由最小相位系统的幅频特性得出系统的传递函数。的传递函数。 然而，对于非最小相位系统而言，上述关系是不成立的。 2、最小相位系统的零极点均在左半平面，非最小相位稳定最小相位系统的零极点均在左半平面，非最小相位稳定系统的极点均在左半平面，但是有右半平面的零点。一般我们系统的极点均在左半平面，但是有右半平面的零点。一般我们所说非最小相位系统是指这一类系统。所说非最小相位系统是指这一类系统。 这一类非最小相位系统的逆系统是不稳定系统。这一类非最小相位系统的逆系统是不稳定系统。 3、 含有滞后环节或含有滞后环节或不稳定环节的系统，也属于非最小相不稳定环节的系统，也属于非最小相位系统位系统

43、。说明说明: :例例 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，某最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，试确定其开环传递函数。试确定其开环传递函数。解解 由图可见，开环传递函数包含由图可见，开环传递函数包含有比例环节、积分环节、两个惯有比例环节、积分环节、两个惯性环节性环节 设开环传递函数的形式为) 181)(11 . 01()()(sssKsHsG由图可见20lg020lg1lg10K 所以K K=10=10。因此，所求开环传递函数) 1125. 0)(110(10)()(ssssHsG 20lg20 lg1lg1020K 例 2 有二个单位反馈系统，开环传递函数分别为比较它们对数频率特性

44、解：中含有滞后环节，为非最小相位系统sesKsGsKsG1)(,1)(1211)(2sG3 .57)(1)()(1)(1221211212arctgKAarctgKA)(L)(090)(1decdB/20)(2115-4频域稳定性判据 劳斯判据：可以根据系统的闭环特征方程确定系统的稳定性。 前提：必须知道系统的数学模型 特点：一般得到的是绝对稳定性信息频域稳定性判据（Nyquist判据)： 可以根据开环频率特性G(j)H(j)判断系统的稳定性。 特点：（1 1）既可以通过模型判断，又可通过物理）既可以通过模型判断，又可通过物理测量判断，便于使用测量判断，便于使用 （2 2）不但可以分析系统的稳

45、定性，还可用于系）不但可以分析系统的稳定性，还可用于系统的综合统的综合5-4频域稳定性判据 一、开环极点与闭环极点的关系一、开环极点与闭环极点的关系 设控制系统的开环传递函数可以写为设控制系统的开环传递函数可以写为的多项式均为、其中，ssNsMsNsMsHsG)()()()()()(的根开环极点：的根开环零点：0)(0)(sNsM5-4频域稳定性判据 一、开环极点与闭环极点的关系一、开环极点与闭环极点的关系 设设N(sN(s) )的阶次为的阶次为n n，M(sM(s) )的阶次为的阶次为m m，当为单位反，当为单位反馈系统时，闭环传递函数馈系统时，闭环传递函数求出闭环传递函数的极点由0)()(

46、)()()()()(1)()()(1)()(sNsMsMsNsMsNsMsNsMsGsGs5-4频域稳定性判据 一、开环极点与闭环极点的关系一、开环极点与闭环极点的关系 说明：如果是非单位反馈系统，可以分析得出，说明：如果是非单位反馈系统，可以分析得出，分母多项式不会改变，既闭环系统的极点不变。分母多项式不会改变，既闭环系统的极点不变。)()()()(1)()()()(1)()(sNsNsMsMsNsMsHsGsGsHGHGGG)()()()()()()()()()(sMsNsMsNsMsMsNsNsMsNGHHGHGGH5-4频域稳定性判据 一、开环极点与闭环极点的关系一、开环极点与闭环极点

47、的关系 做一辅助函数做一辅助函数)()()()()(1)()(1)(sNsMsNsNsMsHsGsF开环传函极点的极点闭环传函极点的零点则：)()(sFsF 可见，可见，F(s)既可以反映开环极点的特性，又可既可以反映开环极点的特性，又可以反映闭环极点的特性，我们就是利用这个关系来以反映闭环极点的特性，我们就是利用这个关系来推断系统的稳定性的推断系统的稳定性的5-4频域稳定性判据 一、开环极点与闭环极点的关系一、开环极点与闭环极点的关系 备考：备考：环特征多项式之比为闭环特征多项式与开)(sF1)()()()(差常数与开环传递函数个的零点和极点均为sHsGsFnsF5-4频域稳定性判据二幅角原

48、理和二幅角原理和NyquistNyquist稳定判据稳定判据1、幅角原理)()()(00sFsssFssF即射，均可以找到唯一的映对任一非奇异时，当的实有理函数是设平面上连续变动也在平面连续变动时，在当)()(00sFsFss5-4频域稳定性判据二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist稳定判据稳定判据1、幅角原理必须非奇异）上（注意在运动时平面一条闭合曲线沿当)(0sFss的像为我们称，平面上对应的封闭曲线对应一定可以得到)(sF5-4频域稳定性判据二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist稳定判据稳定判据幅角原理幅角原理圈以顺时针方向绕原点转将沿转一周时沿顺时针方向绕则

49、当个极点个零点和的平面上包围了在若NsFspzsFs)()(pzN二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist稳定判据稳定判据2 2、奈魁斯特稳定判据、奈魁斯特稳定判据闭环系统稳定的充分必要条件：系统的特征根都具有负实部，或均在左半s平面。( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H s 5-4频域稳定性判据我们知道：F F( (s s)=1+G(S)H(S)=1+G(S)H(S)具有如下特点： F(s)的零点是系统的闭环极点； F(s)的极点是开环极点；因此闭环系统稳定条件为：因此闭环系统稳定条件为：F(s)的零点均具有负实部，或者说F(s)的所有零点都不在s

50、平面的右半平面。 为了将幅角定理应用于频率域判定闭环系统的稳定性，选取s平面上的封闭曲线使之包围整个s右半平面,称奈奎斯特回线，简称乃氏回线。由两部分构成：（1）沿虚轴自下而上的直线1（从s= -j到s= +j）；（2）右半平面上半径为无穷大的半圆2.二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist稳定判据稳定判据2 2、奈魁斯特稳定判据、奈魁斯特稳定判据1：s=j2 : s=Rej(R, :/2-/2二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist稳定判据稳定判据2 2、奈魁斯特稳定判据、奈魁斯特稳定判据当当s s沿沿顺时针转顺时针转1 1圈时，圈时，F(sF(s) )沿沿 绕原点顺

51、时针绕原点顺时针转N圈N=Z-P 或或 Z=N+PP P为开环传递函数在右半平面上的极点为开环传递函数在右半平面上的极点。当当Z=0Z=0时，系统稳定时，系统稳定， （1 1） P=0P=0时，系统开环稳定，时，系统开环稳定，此时此时 N=0N=0 , ,即即 不包围原点不包围原点时，系统稳定时，系统稳定； （2 2）P0P0, ,系统在右半平面有系统在右半平面有P P个极点，个极点，此时此时 N = -P ，即，即 逆时针绕原点转逆时针绕原点转P P圈时圈时，系统稳定，系统稳定F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s) =F(s)-1故：故：映射曲线映射曲线F(sF(s) ) 绕绕F(s

52、F(s) )平面原点平面原点(0(0，0)0)逆时针转一圈，就相当于逆时针转一圈，就相当于G(s)H(sG(s)H(s) )绕绕(-1,j0)(-1,j0)点逆时针旋点逆时针旋转转1 1周。周。于是可以根据于是可以根据G(s)H(sG(s)H(s) ) 映映射曲线的运动状况判断系统射曲线的运动状况判断系统的稳定性。的稳定性。 （1 1） 1段段ImRe1 GH 0 ImRe G s H s( (- -1 1, ,j j0 0) )1 1平平面面 1 G s H s G s H s平平面面此时此时 s=js=j，代入代入G G(s)H(s(s)H(s) )中，中，令令=-=-，可逐点绘出，可逐点

53、绘出G(jG(j）H(jH(j) ) 。（即。（即开环频率特性曲线，亦称开环频率特性曲线，亦称奈奎斯特曲线）奈奎斯特曲线） （2 2） 2段段此段中此段中R=R=, ,相当于相当于ss，由，由于于nmnm，所以，所以 1( )( )n mKG s H ss 当当mnm0, 0, 所以开环无右极点，所以开环无右极点，p=0, p=0, 且曲线不包围且曲线不包围(-(-1,j0) 1,j0) 点，故系统稳定。点，故系统稳定。) 12)(1(14)()(2sssssHsG，V=2， 乃氏曲线顺时针包乃氏曲线顺时针包围围(-1,j0)点点2周，周，N=2，故故 z=N+P=2，例3所以系统不稳定，有两

54、个闭环极点在右半面说明说明1 1）奈奎斯特曲线总是对称于实轴，因此实际过程中一般可）奈奎斯特曲线总是对称于实轴，因此实际过程中一般可以仅画出一半以仅画出一半2 2）奈奎斯判据：若）奈奎斯判据：若=-=-变化时，变化时，G(jw)H(jwG(jw)H(jw) )逆时针逆时针绕绕(-1(-1，j0)j0)点点N N周，则周，则N = P-ZN = P-Z，即右半平面的闭极点数为，即右半平面的闭极点数为z=P-N ,z=P-N ,若若P=NP=N则稳定。则稳定。若只画一半，则包围圈数若只画一半，则包围圈数N=P/2 N=P/2 时，时，稳定稳定3 3）开环串有）开环串有v v个积分环节时，个积分环节

55、时， =0-0=0-0+ +时，时， G(jG(j)H(j)H(j) )从从0_0_经经0 0到到0+0+以顺时针方向以无穷大半径的圆绕过以顺时针方向以无穷大半径的圆绕过vv若仅画出若仅画出=0=0，则则=0-0=0-0+ +映射曲线应以映射曲线应以R=R=为半径从为半径从=0=0顺时针转过顺时针转过 vv/2./2. 4 4）实际上，做乃氏曲线时，总是先有）实际上，做乃氏曲线时，总是先有0+ 0+ 的位置，故一般的位置，故一般是从是从=0=0+ +的位置，逆时针补画的位置，逆时针补画vv/2/2。四、根据四、根据BodeBode图判断系统的稳定性图判断系统的稳定性1 1、开环频率特性的乃氏图

56、与伯德图之间的关系、开环频率特性的乃氏图与伯德图之间的关系1)、 乃氏图上乃氏图上| |G G( (j j) )H H( (j j)|=1)|=1的单位圆与对数幅频特性图的单位圆与对数幅频特性图中的中的0dB0dB线相对应。线相对应。 单位圆内的部分，相当于单位圆内的部分，相当于L() 0的部分，即的部分，即0dB 以上。以上。2) 、乃氏图中的负实轴对应于伯德图上相频特性的乃氏图中的负实轴对应于伯德图上相频特性的-180-180度线。度线。 5-4频域稳定性判据2 2、奈奎斯特图上频率特性曲线穿越的概念、奈奎斯特图上频率特性曲线穿越的概念如果开环频率特性曲线起始或终止于如果开环频率特性曲线起

57、始或终止于(-1, (-1, j j0)0)点左侧负实轴，点左侧负实轴，称为称为半次穿越半次穿越，记为，记为N N+=1/2+=1/2或或N N-=1/2-=1/2。随着随着增加，乃氏曲线逆时针（自上而下）穿过负实轴时，增加，乃氏曲线逆时针（自上而下）穿过负实轴时，伯德图上相频特性必然自下而上穿越伯德图上相频特性必然自下而上穿越-180度线，因此称为度线，因此称为正穿正穿越越，记为，记为N+；反之称为；反之称为负穿越负穿越， N- 。 乃氏判据关心的是乃氏判据关心的是GHGH回线是否包围回线是否包围(-1,j0) (-1,j0) 点，故应考虑点，故应考虑(- (-,-1) ,-1) 之间的一段

58、负实轴的穿越情况，即考虑之间的一段负实轴的穿越情况，即考虑L(L() 0) 0时的穿时的穿越情况越情况 。 将极坐标图上的穿越点转换到对数坐标图上将极坐标图上的穿越点转换到对数坐标图上：沿频率沿频率w w增加方向，相频特性曲线自下而上穿过增加方向，相频特性曲线自下而上穿过-线称为正线称为正穿越，反之称为负穿越，如图所示。穿越，反之称为负穿越，如图所示。2()0ZPNN式中式中P P为开环不稳定极点的个数，为开环不稳定极点的个数，Z Z为闭环不稳定特征根的个数。为闭环不稳定特征根的个数。 闭环系统稳定的充要条件是，闭环系统稳定的充要条件是，当当由由变到变到时，在时，在L(L()0)0的频段内，的

59、频段内，相频曲线穿越相频曲线穿越-线的次数（正穿越与线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为负穿越次数之差）为P/2P/2，为右半为右半平面的开环极点个数平面的开环极点个数。即即3 3、采用对数频率特性的奈奎斯特判据描述、采用对数频率特性的奈奎斯特判据描述 若开环系统稳定（即最小相位系统），则闭环系统稳若开环系统稳定（即最小相位系统），则闭环系统稳定的充要条件是定的充要条件是相频曲线正、负穿越相频曲线正、负穿越-180-180度线的次数等于零度线的次数等于零。用伯德图判别系统的稳定性用伯德图判别系统的稳定性例5) 1()()(ssKsHsG解：解：作系统作系统伯德图伯德图因为在的因为在的频段内，相

60、频特性频段内，相频特性 不穿不穿越线按照乃氏稳定越线按照乃氏稳定判据系统是稳定的判据系统是稳定的0)(L)(180系统开环频率特性靠近系统开环频率特性靠近(-1,j0)点的程度表征了系统的相点的程度表征了系统的相对稳定性。距离对稳定性。距离(-1,j0)点越远，闭环系统的相对稳定性越高。点越远，闭环系统的相对稳定性越高。稳定裕量：稳定裕量：开环频率特性开环频率特性G G(j (j) )H H(j (j) )与与(-1, j0)(-1, j0)点的远近程度，点的远近程度，可用来表示闭环系统的稳定程度。也称稳定裕度。可用来表示闭环系统的稳定程度。也称稳定裕度。系统的稳定裕量用相角裕度相角裕度和增益