欧拉法-改进欧拉法-斐波那契法原理及流程图

1、精选优质文档-倾情为你奉上1欧拉法求微分方程方法说明(Euler)法是解常微分方程初值问题 (4.1) 最简单的数值方法，其具体做法是，将区间a，b进行N等分：，步长.并将式(4.1)写成等价的积分形式（4.2）再对式(4.2)右端积分用矩形公式计算，则有, (4.3)在式(4.3)右端取，舍去余项。则得,作为的近似值。在式(4.3)右端取，舍去余项，则得y2=y1+hf（x1，y1）作为的近似值一般地，在式(4.3)右端取舍去余项，则得(4.4)作为的近似值式(4.4)为法计算公式我们知道微分方程的解是平面上的一族积分曲线，这族曲线中过点的积分曲线就是初值问题式(4.1)的解欧拉法的几何意义

2、是，过点引斜率为的积分曲线的切线，此切线与直线的交点为，再过点引以为斜率的切线与直线的交点为，依此类推，从出发，作以为斜率的切线，此切线与直线交点为于是便得到过点的一条折线，见图4.1过的积分曲线则用此折线来代替因此，这种方法亦称折线法 图4.1 例：用欧拉法求微分方程欧拉法流程图如下:x0+h=>x1y0+h*f(x0,y0)=>y1n=1输出x1,y1n=1+nx1=> x0y1=> y0结束n=N ?读入x0,y0,b,h开始计算N=fix(b-x0)/h)欧拉法程序如下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=0.1;x0=0;y0=1;N=(x2-x1)/

3、h;%要计算的次数x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n);endX=xY=y2 改进欧拉法求微分方程方法说明 由于欧拉法采用矩形公式计算积分产生较大截断误差改进法(又称改进折线法)是采取梯形公式来计算式(4.3)右端积分，则有 （5.1）在式(5.1)右端取，舍去余项，则得将作为的近似值在式(5.1)右端再取，舍去余项，则得将作为的近似值一般地，在式(5.1)右端取，舍去余项则得(5.2)将作为的近似值式(5.2)为改进法计算公式流程图如下：例：用改进欧拉法求微分方程改进欧拉法程序如下：c

4、lear;clc;x1=0;x2=1;h=0.1;x0=0;y0=1;p(1)=0;N=(x2-x1)/h;x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n); p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1); y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1)/2;endX=xY=y3斐波那契法求极值方法说明斐波那契法原理类似于黄金分割法，只是搜索区间的缩短率不再采用黄金分割数0.618。如图7.1所示，只要在a,b内取两点x1,x2,并计算出f(x1),f(x2),通过比较，可将区

5、间a,b缩短为a,x2或x1,b。因为新的区间内包含一个已经计算过函数值的点，所以再从其中取一个试点，又可将这个新区间再缩短一次，不断地重复这个过程，直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精确度为止。图7.1 现在的问题是，怎样选取试点，在保证同样精确度的情况下使得计算f(x)函数值的次数最少？在计算函数值的次数一定的情况下，最初区间与最终区间的长度之比可作为取点方式优劣的一个标准。计算n次函数值，如何取点使最终区间最小？或者最终区间长度为1，计算n次函数值，初始区间最多为多长？为此，引入Fibonacci数列： F0=F1=1 Fn=Fn-1+Fn-2 , n2 表7.1系 所以当试点个数n确定之后，最初的两个试点分别选为: