第1讲补充量纲分析

1、数学建模数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践量纲分析的方法量纲分析的方法物物理理量量的的

2、量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L, M, T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲221rmmkf 加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量 ， =1(=L0M0T0)2.1 量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm

3、)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量纲纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作rA rank若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式

4、两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系系例：单摆运动例：单摆运动)1 (321glmt 321glmt lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间之间有关系式有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式的量纲表达式glt2对比对比33212TLMT120033210002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量0)(F量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲