第04章_第二讲+第五章部分

1、4.6 机械能守恒定律机械能守恒定律质点系动能定理：质点系动能定理：exinkkABAAEE其中：其中：inin,n-consin,consAAAin,n-conspp()ABAEEexin,n-consBAAAEE系统机械能增量系统机械能增量机械能：机械能：kpEEE若若exin,n-cons0AA则则kpEEconst机械能守恒定机械能守恒定律律4.7 守恒定律的意义守恒定律的意义守恒定律与对称性有关守恒定律与对称性有关动量守恒动量守恒空间平移对称性空间平移对称性角动量守恒角动量守恒空间转动对称性空间转动对称性能量守恒能量守恒时间平移对称性时间平移对称性 4.10 流体的稳定流动流体的稳定

2、流动1. 理想流体理想流体不可压缩、无粘滞性、稳定流动不可压缩、无粘滞性、稳定流动2. 理想流体的连续性方程理想流体的连续性方程1122SSvv流速与横截面积成反比流速与横截面积成反比4.11 伯努利方程伯努利方程1l1h1v1SO2h2S2l2v111111Wp SlpV 122222Wp SlpV 由连续性方程有由连续性方程有12VV 令流体密度为令流体密度为r r流体质量流体质量mVr在在t 时间内系统机械能变化时间内系统机械能变化2222111122Emm ghmm ghvv2222111122ghghVrrrrvv由系统机械能守恒，有由系统机械能守恒，有12WWE 21 2pghco

3、nstrrv伯努利方程伯努利方程6 刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 当物体自身线度当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围与所研究的物体运动的空间范围r相比不相比不可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体的空间方位时，我们可以引入刚体模型。的空间方位时，我们可以引入刚体模型。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。的质点系。质点模型基本上只能表征物体的平动特征。质点模型基本上只能表征物体的平动特征。平动和转动是

4、刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂运动都可以看成平动与转动的合成。运动都可以看成平动与转动的合成。本节讨论转动中最简单的运动本节讨论转动中最简单的运动定轴转动。定轴转动。第五章第五章 刚刚 体体7 刚体：在外力作用下，形状和大小都不刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体发生变化的物体( (任意两质点间距离保持任意两质点间距离保持不变的特殊质点组不变的特殊质点组) )刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 刚体是理想模型刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的刚体模型是为简化问题引进的说明：说明：8 刚体平动刚体平动

5、 质点运动质点运动 平动：刚体中所平动：刚体中所有点的运动轨迹都保有点的运动轨迹都保持完全相同持完全相同 特点：各点运动特点：各点运动状态一样，如：状态一样，如：V、a 等都相同等都相同9转动：分定轴转动和非定轴转动转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动刚体的平面运动 10刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成11沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动一一 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方

6、向方向: 右手螺旋方向右手螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)r.d12角加速度角加速度t dd 刚体定轴转动刚体定轴转动( (一维转动一维转动) )的转动的转动方向可以用角速度方向可以用角速度的正、负来表示的正、负来表示. .00zz13( (1) ) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；平面； ( (2) ) 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；,a, v定轴转动的特点定轴转动的特点 ( (3) ) 运动描述仅需一个角坐标运动描述仅需一个角坐标14二二 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体绕定轴作匀变速转动刚体绕定轴作匀变速转动质

7、点匀变速直线运动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度当刚体绕定轴转动的角加速度=常量常量时，刚体做匀变速转动时，刚体做匀变速转动15三三 角量与线量的关系角量与线量的关系tervte2ntraran2tereratddtt22ddddavrtana16例例 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度角速度 ，经，经300 s 后，其转速达到后，其转速达到 18 000 rmin- -1 转子的角加速度与时

8、间成转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？正比问在这段时间内，转子转过多少转？00解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct17当当 t =300 s 时时11srad600minr00018322srad7530060022tc2215021tct221ct18由由2150ddtt得得tttd150d020在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022Nrad4503t19Pz*OFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 M 用来描述力对刚体的用来

9、描述力对刚体的转动作用转动作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF20zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 F 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩zFF21O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）刚体内作用力和反作用力的力矩刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消互相抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM22 例例1 有一大型水坝高有一大

10、型水坝高110 m、长、长1 000 m ,水深水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所，水面与大坝表面垂直，如图所示示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩 .QyOxyOhxL23 解解 设水深设水深h，坝长，坝长L，在坝面上取面积，在坝面上取面积元元 ，作用在此面积元上的力，作用在此面积元上的力yLAdd ypLApFdddyOhxyAdydQyOxL24)(0yhgppr令大气压为令大气压为 ，则，则 0pyLyhgpAPFd)(dd0rhyLyhgpF00d)(r代入数据，得代入数据，得

11、N1091. 510FyOhxyAdyd2021gLhLhprL25QyOyydFdhFyMdd 对通过点对通过点Q的轴的力矩的轴的力矩FdyLyhgpFd)(d0rhyLyhgpyM00d)(r3206121LhgLhpr代入数据，得：代入数据，得：mN1014212 .M26质点系对轴的角动量定理质点系对轴的角动量定理如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。)sin(iiiiizvmrdtdM 式中式中 ri 为为 i 质点到质点到

12、 z 轴的距离，轴的距离， i 是是 vi 与与 ri 间的夹角。间的夹角。若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度 作圆周运动，作圆周运动，则这时则这时, 1sin2iiiirv 且则有则有)(2iiizrmdtdM 为简单记只讨论沿为简单记只讨论沿z轴的角动量定理轴的角动量定理这时组成质点系的这时组成质点系的n个质点位于个质点位于z轴的转动平面内，于是有轴的转动平面内，于是有27将其与线动量将其与线动量相比相比vmp2iirmI若令若令 m 表示物体的平动惯性，则表示物体的平动惯性，则 I 表示转动惯性，故将表示转动惯性，故将 2iirmI命名为

13、对轴的转动惯量，命名为对轴的转动惯量，（式中（式中 ri 为为 mi 到轴的距离）到轴的距离）IrmLii2则有转动惯量的引入转动惯量的引入 即：即：若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度 作作圆周运动，则这时系统对轴的角动量为圆周运动，则这时系统对轴的角动量为IL dtIdrmdtdMiiiz)(2此时质点系对轴的角动量定理为此时质点系对轴的角动量定理为28 转动惯量计算举例：转动惯量计算举例： 转动惯量的单位：千克转动惯量的单位：千克米米2（kgm2）转动惯量的计算转动惯量的计算对于单个质点对于单个质点 2mrI 质点系质点系 niiirmI1

14、2dVrdmrImmr22若物体质量连续分布，若物体质量连续分布，29解解(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直转轴通过棒的中心并与棒垂直22dIx dmx dx2222112llIdIx dxml例如图所示，求质量为例如图所示，求质量为m，长为，长为l的均匀细棒的转动惯量：的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直转轴通过棒一端并与棒垂直.lm在棒上任取一质元，其长度为在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴，距轴O的距离为的距离为x，设棒的线密度，设棒的线密度(即即单位长度上的质量单位长度上的质量)为为 ，则该质元的质量，则该质

15、元的质量dmdx.该质元对中心该质元对中心轴的转动惯量为轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为30(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为22013lIx dxml由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.31解解(1)求质量为求质量为m，半径为，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量的圆环对中心轴的转动惯量.如图如图2.36(a)所所示，在环上任取一质元，其质量为示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为，该质元到转轴的距离为R

16、，则该质，则该质元对转轴的转动惯量为元对转轴的转动惯量为考虑到所有质元到转轴的距离均为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为，所以细圆环对中心轴的转动惯量为dmRdI2222mmIdIR dmRdmmR例设质量为例设质量为m m，半径为，半径为R R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量. .32则整个圆盘对中心轴的转动惯量为则整个圆盘对中心轴的转动惯量为232dIr dmr dr320122RIdIr drmR (2)求质量为求质量为m，半径为，

17、半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许整个圆盘可以看成许多半径不同的同心圆环构成多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如处取一小圆环，如图图 (b)所示，其面积为所示，其面积为dS2rdr，设圆盘的面密度，设圆盘的面密度(单位面积上的质量单位面积上的质量) 则小圆环的质量则小圆环的质量dmdS2rdr，该小圆环对中心轴的转动惯，该小圆环对中心轴的转动惯量为量为2mR以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量不同转动惯量不同.33(2)质量元的选取：质量元的选取：)(dldxdm或线分布线