高中数学求值域的10种方法

1、求函数值域的十 种方法一一直直接接法法 （观观察察法法） ：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1求函数1yx的值域。【解析】0 x ，11x ，函数1yx的值域为1,)。【练习】1求下列函数的值域：32( 11)yxx ；xxf42)(；1xxy；112 xy，2 , 1 , 0 , 1x。4【参考答案】 1,5；2,)；(,1)(1,)； 1,0,3。4二二配配方方法法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2( )( )( )F xafxbf xc的函数的值域问题，均可使用配方法。例 2求函数242yxx （ 1,1x ）的值域。【解析】2242(2)6y

2、xxx 。11x ，321x ，21(2)9x，23(2)65x ，35y 。函数242yxx （ 1,1x ）的值域为 3,5。例 3求函数)4, 0(422xxxy的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)(4)(2xfxxxf配方得：)4, 0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4, 0)(xf，从而得出：0,2y。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(xf。例 4若, 42yx0, 0yx，试求yxlglg的最大值。【分析与解】本题可看成第一象限内动点( , )P x y在直线4

3、2yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lglglglg (42 )lg 2(1)2xyxyxyyyy而，y=1 时，yxlglg取最大值2lg。【练习】2求下列函数的最大值、最小值与值域：142xxy；4 , 3, 142xxxy； 1 , 0, 142xxxy；5 , 0, 142xxxy；xxxy422，4 ,41x；223yxx。56【参考答案】 3,)； 2,1； 2,1； 3,6；736,4；0,256三三反反函函数数法法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的

4、值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5求函数12xxy的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2，故函数的值域为(,2)(2,)。【练习】1求函数2332xyx的值域。2求函数axbycxd，0,dcxc 的值域。【参考答案】122(, )( ,)33；(,)(,)aacc。四四分分离离 变变量量法法：适用类型 1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例 6：求函数125xyx的值域。解：177(25)1

5、12222525225xxyxxx ，72025x，12y ，函数125xyx的值域为1 |2y y 。适用类型 2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(xfky(为k常数)的形式。例 7：求函数122xxxxy的值域。分析与解分析与解：观察分子、分母中均含有xx 2项，可利用分离变量法；则有22221 111xxxxyxxxx 21113()24x 。不妨令：)0)()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf从而,43)(xf。注意：在本题中若出现应排除0)(xf，因为)(xf作为分母.所以4( )0,3g x故1 ,31y。另解另解：观察知道本题中分子较为简

6、单，可令222111xxtxxxx ，求出t的值域，进而可得到y的值域。【练习】1求函数132222xxxxy的值域。【参考答案】110(2,3五五、换换元元法法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元三角换元。例 8：求函数212yxx的值域。解：令12tx（0t ），则212tx，22151()24yttt 。当12t ，即38x 时，max54y，无最小值。函数212yxx的值域为5(, 4。例

7、 9：求函数221 (1)yxx的值域。解：因21 (1)0 x，即2(1)1x。故可令1cos,0, x ，1cossincos11cosy21)4sin(2。4544,0，2sin()124，02sin() 1 124 故所求函数的值域为21 , 0。例 10.求函数34221xxyxx的值域。解：原函数可变形为：222121211xxyxx 可令 X=tan，则有222221sin2 ,cos11xxxx11sin2cos2sin424y 当28k时，max14y当28k时，min14y 而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41 例 11. 求函数(sin1)(cos1)yxx，

8、,12 2x 的值域。解：(sin1)(cos1)yxxsincossincos1xxxx令sincosxxt，则21sin cos(1)2xxt2211(1)1(1)22yttt 由sincos2sin()4txxx且,12 2x 可得：222t 当2t 时，max322y，当22t 时，3242y 故所求函数的值域为32 3,2422。 例 12. 求函数245yxx的值域。解：由250 x，可得|5x 故可令5cos,0, x 5cos45sin10sin()44y05444当4时，max410y当时，min45y故所求函数的值域为：45,410六六、判判别别式式法法：把函数转化成关于x

9、的二次方程( , )0F x y ；通过方程有实数根，判别式0 ，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xcya xb xc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例 13：求函数2231xxyxx的值域。解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y 时，此方程无解；当1y 时，xR，2(1)4(1)(3)0yyy ，解得1113y，又1y ，1113y函数2231xxyxx的值域为11 |13yy七七、函函数数的的单单调调性性法法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 14：求函数12yxx的值域。解：当x增大

10、时，12x随x的增大而减少，1 2x随x的增大而增大，函数12yxx在定义域1(, 2上是增函数。1111 2222y ，函数12yxx的值域为1(, 2。例 15. 求函数11yxx 的值域。解：原函数可化为：1x1x2y令1, 121xyxy，显然21y,y在, 1 上为无上界的增函数所以21yyy在, 1 上也为无上界的增函数所以当 x=1 时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222显然0y ，故原函数的值域为2, 0(适用类型 2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减原理：同增异减）例 16：求函数)4(log221xxy的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层

11、函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：2( )4 ( ( )0)t xxx t x 配方得：2( )(2)4( )0,4)t xxt x 所以（由复合函数的单调性（同增异减）知：), 2y。八八、利利用用有有界界性性：一般用于三角函数型，即利用 1 , 1cos,1 , 1sinxx等。例 17：求函数cossin3xyx的值域。解：由原函数式可得：sincos3yxxy，可化为：21sin ()3yx xy即23sin ()1yx xyxRsin () 1,1x x 即23111yy 解得：2244y故函数的值域为22,44注：该题还可以使用数形结合法。coscos0sin3sin3

12、xxyxx，利用直线的斜率解题。例 18：求函数1 212xxy的值域。解：由1 212xxy解得121xyy，20 x，101yy，11y 函数1 212xxy的值域为( 1,1)y 。九、图像法（数形 结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 19：求函数|3|5|yxx的值域。解：22|3|5|822xyxxx (3)( 35)(5)xxx ，|3|5|yxx的图像如图所示，由图像知：函数|3|5|yxx的值域为8,) 例 20. 求函数22(2)(8)yxx的值域。解：原函数可化简

13、得：|2|8|yxx上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2），( 8)B 间的距离之和。由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时，|2|8| | 10yxxAB当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，|2|8| | 10yxxAB85-3oyx故所求函数的值域为：10, 例 21. 求函数2261345yxxxx的值域。解：原函数可变形为：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx上式可看成 x 轴上的点( ,0)P x到两定点(3,2),( 2, 1)AB 的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，22min|(32)(2 1)43yAB，故所求函数的值域为

14、43,例 22. 求函数2261345yxxxx的值域。解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点) 1 , 2(B 到点)0 , x(P的距离之差。即：|yAPBP由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有22| |(32)(2 1)26APBPAB即：2626y（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有| |26APBPAB综上所述，可知函数的值域为：(26,26例 23、：求函数xxycos2sin3的值域.

15、分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212xxyyk，将原函数视为定点(2，3)到动点)sin,(cosxx的斜率，又知动点)sin,(cosxx满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：3326,3326y点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例 24求函数xxy11的值域。分析与解答：令xu1，xv1，则0, 0vu，222 vu，yvu，原问题转化为 ：当直线yvu与圆222 vu在直角坐标系uov的第一象限有公共

16、点时，求直线的截距的取值范围。由图 1 知：当yvu经过点)2, 0(时，2miny；当直线与圆相切时， 2222maxOCODy。所以：值域为22 y 2 2OVUABCDE十十：不不等等式式法法：利用基本不等式32,3abab abcabc( , ,)a b cR，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 25. 求函数2211(sin)(cos)4sincosyxxxx的值域。解：原函数变形为：222222222211(sincos)sincos1sec3tancot32 tancot5yxxxxces

17、 xxxxxx 当且仅当tancotxx即当4xk时()kz，等号成立故原函数的值域为：5,) 例 26. 求函数2sin sin2yxx的值域。解：4sin sincosyxxx24sincosxx42222222316sincos8sinsin(22sin)8(sinsin22sin)/36427yxxxxxxxx当且仅当22sin22sinxx，即当22sin3x 时，等号成立。由26427y 可得：8 38 399y故原函数的值域为：8 3 8 3,99十十一一、 多多种种方方法法综综合合运运用用： 例 27. 求函数23xyx的值域。解：令2(0)txt，则231xt（1）当0t 时，211112tyttt，当且仅当 t=1，即1x 时取等号，所以102y（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：10,2注：先换元，后用不等式法 例 28. 求函数234241212xxxxyxx的值域。解：24324241 21212xxxxyxxxx2222111xxxx令tan2x，则22221cos1xx21sin12xx2