微分方程式的建立与求解ppt课件

1、主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n n 阶线性时不变系统的描画阶线性时不变系统的描画求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法一物理系统的模型许多实践系统可以用线性系统来模拟。许多实践系统可以用线性系统来模拟。假设系统的参数不随时间而改动，那么该系统可假设系统的参数不随时间而改动，那么该系统可以用线性常系数微分方程来描画。以用线性常系数微分方程来描画。二微分方程的列写根据实践系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实践系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑对于电

2、路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络构造决议的电压电流约束关系网络拓扑约束：由网络构造决议的电压电流约束关系,KCL，KVL。三n 阶线性时不变系统的描画 一个线性系统，其鼓励信号 与呼应信号 之间的关系，可以用以下方式的微分方程式来描画)(te)(tr)

3、(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 假设系统为时不变的，那么假设系统为时不变的，那么C，E均为常数，此方均为常数，此方程为常系数的程为常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决议。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决议。四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。分析系统的方法：列写方程，求解方程。 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求解解零零输输入入

4、应应零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程: ,:求解方程时域经典法就是：齐次解求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。特解。 ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn01111011112-2 系统微分方程及其经典解系统微分方程及其经典解任何任何LTI延续时间系统，延续时间系统，n阶一元常系数微分方程普通式为：阶一元常系数微分方程普通式为：全解全解=齐次解齐次解 + 特解特解)()()(trtrtrfn001111radtdradtrdadtrdnnnnn通

5、解普通式为：通解普通式为：tce00111aaannn特征方程为：特征方程为：经典法求解该方程：经典法求解该方程：齐次解齐次解rn(t)是齐次方程的通解：是齐次方程的通解：该一元该一元n次方程的次方程的n个特征根为：个特征根为：)2, 1(,21nin自然频率固有频率讨论通解的方式：讨论通解的方式：1 i为互异实根：为互异实根：nitiniectr1)(2 1有有k重根：重根：nkjtjikkitinjectectr111)(其中其中1为为k重根，重根， j为单根为单根特解的方式：根据鼓励查表特解的方式：根据鼓励查表2-1得得rf(t)全解的方式：全解的方式：)()()(trtrtrfn求系数

6、Ci,cj例例1：求齐次解：求齐次解：)()(6)(5)(tetrtrtr解：解：该微分方程的特征方程为：该微分方程的特征方程为：0652解得特征根：解得特征根：3,221ttnecectr3221)(齐次解为：齐次解为：例例3：求齐次解：求齐次解：)()(4)(4)(tetrtrtr解：解：20442, 12二重根二重根ttnectectr2221)(例：方程为：例：方程为：)(2)()(2)(3)(tetetrtrtr假设鼓励为：假设鼓励为：2)(tte求其特解求其特解 rf(t).查表查表2-1得对应的特征解为：得对应的特征解为：0122)(AtAtAtrf)(),(),(trtrtrf

7、ff)(),(tete代入原微分方程得：代入原微分方程得：2012212222)( 2)2( 32ttAtAtAAtAA2012122222)232()26(2ttAtAAtAAtA等式两边同次幂系数相等：等式两边同次幂系数相等：122023222622210012122AAAAAAAAA22)(2tttrf0t例例5：方程为：方程为：)(2)()(2)(3)(tetetrtrtr求：求： 当当1)0(, 1)0(,)(2rrtte时的全解时的全解解：解： 特征方程为特征方程为2, 1023212所以齐次解为：所以齐次解为：ttnecectr221)(与例一样：与例一样：22)(2tttrf所

8、以全解所以全解22)(2221ttecectrtt其一阶导为：其一阶导为：222)(221tecectrttt=0时时 初值代入：初值代入：12)0(21ccr122) 0 (21ccr2, 121cc0222)(22ttteetrtt全解全解:1 齐次解：其方式与鼓励齐次解：其方式与鼓励e(t)无关，仅依赖于系统无关，仅依赖于系统本身特征本身特征自在呼应或固有呼应，系数自在呼应或固有呼应，系数ci，cj与鼓励有关与鼓励有关2 特解的方式：由鼓励信号决议特解的方式：由鼓励信号决议强迫呼应强迫呼应齐次解：由特征方程齐次解：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解方式写出齐次解方式 nktkkA1e 留意重根情况处置方法。留意重根情况处置方法。特特 解：根据微分方程右端函数式方式，设含待定系解：根据微分方程右端函数式方式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。经典法的例题kA全全 解：齐次解解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。特解，由初始条件定出齐次解。 我们普通将鼓励信号参