2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)

1、2020 年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|x26x+50，B=x|y=，AB=（）A1，+）B1，3C（3，5D3，52命题“若 x，y 都是偶数，则 x+y 也是偶数”的逆否命题是（）A若 x+y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B若 x+y 是偶数

2、，则 x 与 y 都不是偶数C若 x+y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数D若 x+y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数3若执行如图的程序框图，输出 S 的值为 6，则判断框中应填入的条件是（）Ak32？ Bk65？ Ck64？ Dk31？4下列函数中在上为减函数的是（   ）Ay=2cos2x1By=tanxCDy=sin2x+cos2x

3、5采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的 32 人中，编号落入区间1，450的人做问卷 A，编号落入区间451，750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（）A7B9C10D156已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A6B7若A6B20C3  D的展开式中的常数项为 a，则C8 

4、;  D24的值为（   ）8若函数 y=2x 图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数 m 的最大值为（）A1BC2D9已知数列an的通项公式 an=5n，其前 n 项和为 Sn，将数列an的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前 3 项，记bn的前 n 项和为 Tn，若存在 mN*，使对任意 nN*，总有 SnTn+ 恒成立，

5、则实数  的取值范围是（）A2 B3 C 3 D210已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由 2 个 和 3 个 排成一列而成记，Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）ABC若  ，则 Smin 与| |无关 DS 有 5 个不同的值11设，若对任意的正实数 x，y，都存在以 a，b，c为三边长的三角形，则实数&

6、#160;p 的取值范围是（）A（1，3） B（1，2CD以上均不正确12已知 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，不同两点 P，Q 在椭圆 C 上，且关于 x 轴对称，设直线 AP，BQ 的斜率分别为 m，n，则当取最小值时，椭圆 C 的离心率为（）ABCD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13已知复数，则|z|=14ABC&

7、#160;中，BC=，AC=2ABC 的面积为 4，则 AB 的长为15已知圆 x2+y24x+2y+5a2=0 与圆 x2+y2（2b10）x2by+2b210b+16=0 相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足 x+y=x+y，则 b=16给出下列命题：（1）设 f（x）与 g（x）是定义在 R 上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|g（x1）+g（x2）|恒成立，且 f（x）为奇函数，则 g（x）也是奇函数；（2

8、）若x1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，且函数 f（x）在 R上递增，则 f（x）+g（x）在 R 上也递增；（3）已知 a0，a1，函数 f（x）=，若函数 f（x）在0，2上的最大值比最小值多 ，则实数 a 的取值集合为；（4）存在不同的实数 k，使得关于 x 的方程（x21）2|x21|+k=0 的根的个数为 2 个、4个、5 个、8 个则所有正确命题的序号为三、解答

9、题：本大题共 5 小题，其中有 3 道选做题选做一道，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前 n 项和为 Sn，常数 0，且 a1an=S1+Sn 对一切正整数 n 都成立（）求数列an的通项公式；（）设 a10，=100，当 n 为何值时，数列的前 n 项和最大？18如图，在多面体 ABCDE 中，DB平面 ABC，AE DB，A

10、BC 为等边三角形，AE=1，BD=2，CD 与平面 ABCDE 所成角的正弦值为（1）若 F 是线段 CD 的中点，证明：EF平面 DBC；（2）求二面角 DECB 的平面角的余弦值19某学校有 120 名教师，且年龄都在 20 岁到 60 岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，

11、结业考试成绩也互不影响年龄分组A 项培训成绩优秀人数B 项培训成绩优秀人数20，30）301830，40）362440，50）12950，6043（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为 40 的样本，求从年龄段20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段20，30）和30，40）内各抽取 1 人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为 X，求 X 的概率分布和数学期望20已知抛物线方程为 x2=2py（p0），其焦点为 F，点 O

12、60;为坐标原点，过焦点 F 作斜率为k（k0）的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点 M（1）求；（2）设直线 MF 与抛物线交于 C，D 两点，且四边形 ACBD 的面积为，求直线 AB的斜率 k21已知函数 f（x）=ex（lnx2k）（k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与 y 轴

13、垂直（1）求 f（x）的单调区间；（2）设，对任意 x0，证明：（x+1）g（x）ex+ex2请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22选修 41：平面几何如图 AB 是O 的直径，弦 BD，CA 的延长线相交于点 E，EF 垂直 BA 的延长线于点 F（I）求证： DEA= DFA；（II）若 EBA=30°，EF=，EA=2AC，求 AF 的

14、长23已知曲线 C 的极坐标方程是 =2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 L 的参数方程是（t 为参数）（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程；（2）设点 P（m，0），若直线 L 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|PA|PB|=1，求实数 m 的值24函数 f（x）=（1）求函数 f（x）的定义域 

15、;A；（2）设 B=x|1x2，当实数 a、b（BRA）时，证明：|2020 年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|x26x+50，B=x|y=，AB=（   ）A1，+）B1，3C（3，5D3，5【考点】交集及其运算【分析】分别求出集合 A、B，从而求出 AB 即可【解答】解：集

16、合 A=x|x26x+50=x|1x5，B=x|y=x|x3，AB=3，5，故选：D2命题“若 x，y 都是偶数，则 x+y 也是偶数”的逆否命题是（）A若 x+y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B若 x+y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 x+y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数D若 x+y 不是偶数，则 x 

17、与 y 都不是偶数【考点】四种命题间的逆否关系【分析】若命题为“若 p 则 q”，命题的逆否命题为“若非 q，则非 p”，而 x，y 都是偶数的否定应为 x 与 y 不都是偶数【解答】解：若命题为“若 p 则 q”，命题的逆否命题为“若非 q，则非 p”，所以原命题的逆否命题是“若 x+y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数”故选 C3若执行如图

18、的程序框图，输出 S 的值为 6，则判断框中应填入的条件是（）Ak32？ Bk65？ Ck64？ Dk31？【考点】程序框图【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=6，可得判断框内应填入的条件【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：Sk第一次循环log233第二次循环log23log344第三次循环log23log34log455第四次循环log23log34log45log566第五次循环log23log34log45log56log677第六次循环log23log34log45log56log67log788第

19、七次循环log23log34log45log56log67log78log899第 61 次循环log23log34log45log56log626363第 62 次循环log23log34log45log56log6263log6364=log264=664故如果输出 S=6，那么只能进行 62 次循环，故判断框内应填入的条件是 k64故选：C4下列函数中在上为减函数的是（   ）Ay=2cos2x1By=tanxCDy=sin2x+cos2x【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根

20、据基本初等函数的图象与性质，对选项中函数的单调性进行分析、判定即可【解答】解：对于 A，y=2cos2x1=cos2x，在上是先减后增，不满足题意；对于 B，y=tanx，在（对于 C，y=cos（2x，  ）和（  ，）=sin2x，在）上都是增函数，不满足题意；上为减函数，满足题意；对于 D，y=sin2x+cos2x=sin（2x+），在            上先减后增，不满足题意故选：C

21、5采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的 32 人中，编号落入区间1，450的人做问卷 A，编号落入区间451，750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（）A7B9C10D15【考点】系统抽样方法【分析】由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项、以 30 为公差的等差数列，求得此等差数列的通项

22、公式为 an=9+（n1）30=30n21，由 45130n21750 求得正整数 n 的个数【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项、以 30 为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为 an=9+（n1）30=30n21由 45130n21750 解得 15.7n25.7再由 n 为正整数可得16n25，且 nz，故做问卷 B 的人数为 10，故选：C6已知某几

23、何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A6BC3D【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求解几何体的条件即可得出答案【解答】解：由三视图判断几何体是底面半径为 1，高为 6 的圆柱被截掉分开，相等的 2 部分，V=故选：C×12×6=3，7若A6B20C8的展开式中的常数项为 a，则               的值为（

24、   ）D24【考点】二项式定理的应用【分析】利用二项式定理求得 a=2，再求定积分求得要求式子的结果【解答】解：根据=2 +x3+ =（2+x+x2）（1 +x23x+3 ，   ）故展开式中的常数项为 a=23+3=2，则故选：A=   （3x21）dx=（x3x）  =82=6，8若函数 y=2x 图象上存在点（x，y）满足约束条件为（）A1BC2D【考点】简单线性规划【分析】由题意作图象，从而结合图

25、象可知 2m1，从而解得【解答】解：由题意作图象如下，则实数 m 的最大值，结合图象可知，函数 y=2x 图象与 y=3x 的交点 A（1，2），则 2m1，故 m；故选：D9已知数列an的通项公式 an=5n，其前 n 项和为 Sn，将数列an的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前 3 项，记bn的前 n 项和为 Tn，若存在 mN*，使对任意&#

26、160;nN*，总有 SnTn+ 恒成立，则实数  的取值范围是（）A2 B3 C 3 D2【考点】数列的求和【分析】通过 an=5n 可求出 Tn=8（1）、Sn=      ，利用 4Tn8 及 Sn10，结合题意可知 108+，进而计算可得结论【解答】解：an=5n，a1=4，a2=3，a3=2，a4=1，则 b1=a1=4，b2=a3=2，b3=a4=1，数列bn是首项

27、为 4、公比为 的等比数列，Tn=4Tn8，又Sn=8（1   ），=        ，当 n=4 或 n=5 时，Sn 取最大值 10，存在 mN*，使对任意 nN*，总有 SnTn+ 恒成立，108+，即 2，故选：D10已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由 2 个 和 3 个 排成一列而成

28、记，Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）ABC若  ，则 Smin 与| |无关 DS 有 5 个不同的值【考点】平面向量数量积的运算【分析】依题意，可求得 S 有三种结果，可判断错误；进一步分析有 S1S2=S2S3=，即 S 中最小为 S3，再对 A、B、C 逐一分析得答案【解答】解：xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由 2 个 a&

29、#160;和 3 个 b 排列而成，S 可能情况有以下三种：，S1S2=S2S3=S 中最小为 S3，             ，故 D 错误；=                  ，若，则 

30、;Smin=S3=若  ，则 Smin=，与，A，B 错误；无关，与    有关，故 C 正确故选：C11设，若对任意的正实数 x，y，都存在以 a，b，c为三边长的三角形，则实数 p 的取值范围是（）A（1，3） B（1，2CD以上均不正确【考点】基本不等式；简单线性规划【分析】由基本不等式可得 a，c2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2+2       

31、，且           2   ，且               ，由此求得实数p 的取值范围【解答】解：对于正实数 x，y，由于=，c=x+y2，且三角形任意两边之和大于第三边，+2+，且2，且解得 1p3，故实数 p 的取值范围是（1，3），故选：A12

32、已知 A，B 分别为椭圆+2      的左、右顶点，不同两点 P，Q 在椭圆 C 上，且关于 x 轴对称，设直线 AP，BQ 的斜率分别为 m，n，则当取最小值时，椭圆 C 的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设 P（x0，y0），则 Q（x0，y0），=A（a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，=+=，令 =t1，则 f（t）=+2

33、lnt利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：设 P（x0，y0），则 Q（x0，y0），=             A（a，0），B（a，0），则 m=，n=，mn=，=+=，令=t1，则 f（t）=+2lntf（t）=+1+t =，可知：当 t=ln2时，函数 f（t）取得最小值      =   +&#

34、160; +          2ln  =2  +1 =   故选：D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13已知复数，则|z|=【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：复数=i1，则|z|=故答案为：，14ABC 中，BC=，AC=2AB

35、C 的面积为 4，则 AB 的长为4 或【考点】余弦定理；三角形中的几何计算【分析】利用三角形的面积公式，求出AB 的长，可得 cosC=±，利用余弦定理可求【解答】解：BC=4=，AC=2， ABC 的面积为 4，cosC=±，AB2=或 AB2=16，AB=4；=32，AB=   AB 的长为 4 或故答案为：4 或15已知圆 x2+y24x+2y+5a2=0 与圆

36、0;x2+y2（2b10）x2by+2b210b+16=0 相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足 x+y=x+y，则 b=【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】把点 A、B 的坐标分别代人圆 O1，化简得 2（x1x2）=y1y2；再把点 A、B 的坐标代人圆 O2，整理得 b（y2y1）=（b5）（x1x2）；由以上两式联立即可求出 b 的值【解答】解：根据题意，把点 A（x1，y1），B（x2，y2）分别代人圆 O1，得；+

37、4x1+2y1+5a2=0，4x2+2y2+5a2=0，并化简得，2（x1x2）=y1y2；同理，把点 A、B 的坐标代人圆 O2，整理得，b（y2y1）=（b5）（x1x2）；把代人，化简得 2b=（b5），解得 b= 故答案为： 16给出下列命题：（1）设 f（x）与 g（x）是定义在 R 上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|g（x1）+g（x2）|恒成立，且 f（x）为奇函数，则 g（x）也是奇函数；（2）若x1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|g（

38、x1）g（x2）|成立，且函数 f（x）在 R上递增，则 f（x）+g（x）在 R 上也递增；（3）已知 a0，a1，函数 f（x）=，若函数 f（x）在0，2上的最大值比最小值多 ，则实数 a 的取值集合为；（4）存在不同的实数 k，使得关于 x 的方程（x21）2|x21|+k=0 的根的个数为 2 个、4个、5 个、8 个则所有正确命题的序号为（1）、（2）、（4）【考点】函数单调性的判断与证明；函数

39、奇偶性的判断（【分析】 1）利用|f（x1）+f（x2）|g（x1）+g（x2）|恒成立，设 x2=x1，|f（x1）+f（x1）|g（x1）+g（x1）|恒成立，根据 f（x）是奇函数，即可得出结论；（2）利用函数单调性的定义，即可得出结论；（3）分 0a1 和 a1 时加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在0，2上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于 a 的方程，求出满足条件的实数 a 的值；（4）对 k&#

40、160;的值分类讨论，将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论【解答】解：对于（1），|f（x1）+f（x2）|g（x1）+g（x2）|恒成立，令 x2=x1，则|f（x1）+f（x1）|g（x1）+g（x1）|恒成立，f（x）是奇函数，|f（x1）f（x1）|g（x1）+g（x1）|恒成立，g（x1）+g（x1）=0，g（x1）=g（x1），g（x）是奇函数，（1）正确；对于（2），设 x1x2，f（x）是 R 上的增函数，f（x1）f（x2），|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|恒成立，f（x1）f（x2）g（x1

41、）g（x2）f（x2）f（x1），h（x1）h（x2）=f（x1）f（x2）+g（x1）g（x2）f（x1）f（x2）+f（x2）f（x1），h（x1）h（x2）0，函数 h（x）=f（x）+g（x）在 R 上是增函数，（2）正确；对于（3），当 a1 时，函数 f（x）=在0，2上的最大值为 f（1）=a，最小值为 f（0）=1 或 f（2）=a2；当 a1= 时，解得 a= ，此时 f（2）= 1，满足题意，当 a（a2）

42、=0 时，2=0 不满足题意，a= ；当 0a1 时，在0，1上，f（x）=ax 是减函数；在（1，2上，f（x）=x+a 是减函数，f（0）=a0=11+a，函数的最大值为 f（0）=1；而 f（2）=2+a1+a=f（1），所以函数的最小值为 f（2）=2+a，因此，2+a+ =1，解得 a= （0，1）符合题意；综上，实数 a 的取值集合为 ，（3）错误；对于（4），关于 x 的方程（x21）2|x21|+k=

43、0 可化为（x21）2（x21）+k=0（x1或 x1）（）或（x21）2+（x21）+k=0（1x1）（）当 k= 时，方程（）有两个不同的实根±即原方程恰有 4 个不同的实根；当 k=0 时，原方程恰有 5 个不同的实根；，方程（）有两个不同的实根±  ，当 k= 时，方程（）的解为±，±，方程（）的解为±，±，即原方程恰有 8 个不同的实根；当 k=2 

44、;时，方程化为（|x21|+1）（|x21|2）=0，解得|x21|=2 或|x21|=1（不合题意，舍去）；所以 x21=±2，解得 x21=2，即 x=±，方程有 2 个实数根；所以存在不同的实数 k，使得关于 x 的方程（x21）2|x21|+k=0 的根的个数为 2 个、4个、5 个、8 个，命题（4）正确；综上，正确的命题是（1）、（2）、（4）故答案为：（1）（2）、（4）三、解答题：本大题共 5 小题，

45、其中有 3 道选做题选做一道，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前 n 项和为 Sn，常数 0，且 a1an=S1+Sn 对一切正整数 n 都成立（）求数列an的通项公式；（）设 a10，=100，当 n 为何值时，数列的前 n 项和最大？【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和（【分析】 I）由题意，n=1 时，由已知可知 a1（a12）=0，分类讨论

46、：由 a1=0，及 a10，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由 a10 且 =100 时，令，则                   ，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解（I）当 n=1 时，a1（a12）=0若取 a1=0，则 Sn=0，an=SnSn1=0an=0（n1）若 a10，

47、则，当 n2 时，2an=，两式相减可得，2an2an1=anan=2an1，从而可得数列an是等比数列an=a12n1=综上可得，当 a1=0 时，an=0，当 a10 时，（II）当 a10 且 =100 时，令由（I）可知bn是单调递减的等差数列，公差为lg2b1b2b6=当 n7 时，数列的前 6 项和最大018如图，在多面体 ABCDE 中，DB平面 ABC，AE DB，ABC 为等边三角形，AE

48、=1，BD=2，CD 与平面 ABCDE 所成角的正弦值为（1）若 F 是线段 CD 的中点，证明：EF平面 DBC；（2）求二面角 DECB 的平面角的余弦值（【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】 1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可（【解答】 1）证明：取 BC 的中点为 M，连接 FM，则可证 AM平面 BCD，四边形 

49、AEFM为平行四边形，所以 EF AM，所以 EF平面 DBC；（2）解：取 AB 的中点 O，连结 OC，OD，则 OC平面 ABD， CDO 即是 CD 与平面ABDE 所成角，设 AB=x，则有，得 AB=2，取 DE 的中点为 G，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OG 为 

50、;z 轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：BF平面 DEC，又取平面 DEC 的一个法向量 =（，1，2），设平面 BCE 的一个法向量 =（1，y，z），由，由此得平面 BCE 的一个法向量 =（1，2），则 cos ， =所以二面角 DECB 的平面角的余弦值为，19某学校有 120 名教师，且年龄都在 20 岁到 60 岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图

51、如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响年龄分组A 项培训成绩优秀人数B 项培训成绩优秀人数20，30）301830，40）362440，50）12950，6043（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为 40 的样本，求从年龄段20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段20，30）和30，40）内各抽取 1 人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为 X，求&#

52、160;X 的概率分布和数学期望（【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】 1）由频率分布直方图能求出从年龄段20，30）抽取的人数（2）由频率分布直方图能求出全校教师的平均年龄（3）由题设知 X 的可能取值为 0，1，2分别求出相应的概率，由此能求出 X 的概率分布列和数学期望【解答】解：（1）由频率分布直方图知，0.35×40=14（2）由频率分布直方图得：全校教师的平均年龄为：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×

53、;0.1=35（3）在年龄段20，30）内的教师人数为 120×0.35=42（人），从该年龄段任取 1 人，由表知，此人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率为B 项培训结业考试成绩优秀的概率为，此人 A、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为在年龄段30，40）内的教师人数为 120×0.4=48（人），从该年龄段任取 1 人，由表知，此人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率为B 项培训结业考试成绩优秀的概率为，此人 A、B&#

54、160;两项培训结业考试成绩都优秀的概率为由题设知 X 的可能取值为 0，1，2，X 的概率分布为X012PX 的数学期望为20已知抛物线方程为 x2=2py（p0），其焦点为 F，点 O 为坐标原点，过焦点 F 作斜率为k（k0）的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点 M（1）求；（2）设直线 MF 与抛物线交于 C，D 两点，且四边形

55、0;ACBD 的面积为，求直线 AB的斜率 k【考点】抛物线的简单性质（【分析】 1）设出直线 AB 的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求值；（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|AB|，|CD|，求得四边形 ABCD的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得 k 的值【解答】解：（1）设直线 AB 方程为联立直线 AB 与抛物线方程，得 x22pkxp2=0，则 x1+x

56、2=2pk，x1x2=p2，可得=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+ ）（kx2+ ）=（1+k2）x1x2+  （x1+x2）=（1+k2）（p2）+（2）由 x2=2py，知+  2pk= p2；，可得曲线在 A，B 两点处的切线的斜率分别为，即有 AM 的方程为，BM 的方程为，解得交点则，知直线 MF 与 AB 相互垂直由弦长公式知，|AB|=用代 k 得，=2p（1+k2），四边形

57、 ACBD 的面积，依题意，得的最小值为，根据的图象和性质得，k2=3 或     ，即或21已知函数 f（x）=ex（lnx2k）（k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与 y 轴垂直（1）求 f（x）的单调区间；（2）设，对任意 x0，证明：（x+1）g（x）ex+ex2【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程（【分析】 1）求出 f（x）的导

58、数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证成立，从而证明，设 F（x）=1xlnxx，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）因为，由已知得，所以，设，则，在（0，+）上恒成立，即 k（x）在（0，+）上是减函数，由 k（1）=0 知，当 0x1 时 k（x）0，从而 f'（x）0，当 x1 时 k（x）0，从而 f'（x）0综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+）（2）因为 x0，要证原

59、式成立即证成立，现证明：对任意 x0，g（x）1+e2 恒成立，当 x1 时，由（1）知 g（x）01+e2 成立；当 0x1 时，ex1，且由（1）知 g（x）0，设 F（x）=1xlnxx，x（0，1），则 F'（x）=（lnx+2），当 x（0，e2）时，F（x）0，当 x（e2，1）时，F（x）0，所以当 x=e2 时，F（x）取得最大值 F（e2）=1+e2所以 g（x）F（x）1+e2，即 0x1 时，g（x）1+e2综上所述，对任意 x0，g（x）1+e2令 G（x）=exx1（x0），则 G'（x）=ex10 恒成立，所以 G（x）在（0，+）上递增，G（x）G（0）=0 恒成立，即 exx+10，即当 x1 时，有：；当 0x1 时，由式，综上所述，x0 时，故原不等式成立成立，请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22选修 41：平面几