高等数学第一章 第1节 函数.

1、1第一章第一章 函数与极限函数与极限2一、集合:二、函数概念三、映射三、映射四、函数的特性四、函数的特性五、反函数五、反函数六、基本初等函数六、基本初等函数七、复合函数七、复合函数 初等函数初等函数映射与函数第一节3具具有有特特定定性性质质xxM 有限集有限集无限集无限集一.集合:、集合、集合19 , 2 , 1 , 01 M如如),( 1222yxyxM如如、集合间的关系：、集合间的关系：2）子集；）子集；（1）集合相等；）集合相等；（2）空集；）空集；（34）集合运算：）集合运算：（4BxAxxBA且且如如BxAxxBA或者或者、常用数的集合：、常用数的集合：3N-自然数集自然数集Z-整数

2、集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN54.4.区间与记号区间与记号: :.,baRba且且,bxaxba闭区间：闭区间：oxaboxab开区间：),(bxaxba6),bxaxba,(bxaxba半开区间：半开区间：),xaxa),(bxxb无限区间),(Rxx75.5.邻域邻域: :.,0 且且是两个实数是两个实数与与设设a),( aU记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxaU即即:邻域邻域的去心的的去心的点点 a. ),( axxaU0,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aa

3、xxa)(aa86.6.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量.9二、函数概念引例引例匀速直线运动:),0ttvs圆的面积与半径的关系：),(,02rrA 定义：定义：是两个变量，是两个变量，和和设设yx是一个给定的数集，是一个给定的数集，D按按照照一一定定法法则则变变量量如如果果对对于于每每个个数数yDx,它它对对应应，总总有有唯唯一一确确定定的的数数值值和和的函数，的函数，是是则称则称

4、xy10)(xfy 记作记作称称为为定定义义域域；的的取取值值范范围围称称为为自自变变量量，Dxx函数的二要素函数的二要素: : （1 1）定义域；）定义域；（2 2）对应法则）对应法则说明：说明：xysin如如的函数，的函数，是是xy), 0定定义义域域为为.,11值值域域为为.cos)(,sin)(221xxgxxf如如).()(xgxf11例例1 1. . 求下列函数的定义域:;)(21112xxy解解,021xx由由故定义域为),(),(),11112D12)(lg)(arccos)(xxy2112解解 因11 x021x即20 x21x故定义域为),210D13 (1) 符号函数符号

5、函数010001xxxxy当当当当当当sgn3、几个特殊的函数举例、几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn),(D定定义义域域,101W值值域域图形：图形：14(2) 取整函数取整函数: y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线53如如, 03, 1 8, 88 . 3. 4),(D定定义义域域ZW 值域值域图形：图形：表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数15（3）分段函数）分段函数函函数数。用用几几个个式式子子表表示示的的一一个个010122xxxxxf,)(,例如例如12 xy12 xy),(D定定义义域域 )

6、( 2f, 3)(3f. 516例例2 2.)3(,212101)(及及定定义义域域求求函函数数设设 xfxxxf解解231213013xxxf)(212101xxxf)(122231xx, :13 D故故17三、映射、映射的定义1、定义1存在一个是两个非空集合，如果、设YX, fxXf，按照法则中每个元素，使得对法则为与之对应，则称中有唯一确定的元素在fyY记作的映射到从,YX,:YXf其中即下）的像，并记作（在映射称为元素),(xffxy),(xfy 下）的一个原像；（在映射称为元素fyx;,XDDfXff即的定义域，记作称为映射集合18的值域，的集合称为映射中所有元素的像所组成fX)()

7、(),(XxxfXfRXfRff即或记作：从映射定义中，需注意:) 1 ( 映射构成的三要素,X定义域,YRf值域; f对应法则是唯一的，是唯一的，的像的像元素元素任任yxXx,)(2,)(,:12xxfRRf设例RYRRDfff但是一个映射，,sin)(,1 , 12,2 :2xxff设例 1 , 1,2,2ffRDf是一个映射，;；YRf也不一定反之不一定19、定义2,YRYXff若的映射到集合是从集合设YXfXyY到为则称中某元素的像都是中任一元素即,上的映射或满射；),()(,2121xfxfxxX它们的像中任意两个不同元素若对;的单射到为则称YXf映射（或双射）。为一一则称既是单射，

8、又是满射，若映射ff,)(,:12xxfRRf设例既非单射，又非满射；,sin)(,1 , 12,2 :2xxff设例一一映射）；既是单射，又是满射（20映射又称为算子；上的泛函；的映射称为到数集若从非空集XYX上的变换；到它自身的映射称为若从非空集XX上的函数；称为定义在的映射到数集）若从实数集（或其子集XYX用映射定义函数：上为定义在，则称映射设数集DRDfRD:的函数，通常简记为,),(Dxxfy.,称为定义域称为函数称为自变量Dyx21：定义3有的单射，即对每个到是设,fRyYXf.)(yxfXx，适合唯一的于是可定义一个,gXRf的新映射到从即,:XRgf,)(,)(yxfxxygR

9、yf满足这里，规定对每个,1ffg的逆映射，记作称为这个映射.,11XRRDfff值域其中定义域由此知：；只有单射才存在逆映射,)(,:12xxfRRf设例不存在逆映射；,sin)(,1 , 12,2 :2xxff设例22,sin)(,1 , 12,2 :2xxff设例逆映射 1 , 1,arcsin)(1xxxf,1 , 11fD其定义域.2,21fR值域4定义设有两个映射,:1YXg,:2ZYf,21YY 其中,)(ZxgfXx，则对任构成的复合映射，和此映射称为映射fg即记作,gf ,:ZXgf.),()(Xxxgfxgf由定义知：23的定义域内；的值域必须在）（fg1一定有意义。有意义

10、并不表示）（fggf23例,2,2,sin)(xxxg;1 , 1,1)(2uuufxxxfxgfxgfcossin1)(sin)()(224四、函数的特性,)(,成立成立有有若若MxfXxMDX01函数的有界性函数的有界性:）上有界，）上有界，在（在（如如22xxycos）上有界，）上有界，在（在（ 2112xy ）上无界。）上无界。，在（在（ 10.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf252函数的单调性函数的单调性:,Ixx21当21xx 时,),()(21xfxf若若上的单调增加函数；上的单调增加函数；为为称称Ixf)(, )()(21xfxf若若上的单调减少函

11、数；上的单调减少函数；为为称称Ixf)(单增单增如如3xyxy,?2xy 263函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD)()(xfxfyx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf27有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD)()(xfxf;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 28偶函数偶函数如如242xxxgxxf)(,cos)()ln()(,ln)(,)(11123231xxxfxxxfxxf均为奇函数均为奇函数xxxfcos)(非奇非偶非奇非偶294函数的周

12、期性函数的周期性:通常说周期函数的周期是指其最小正通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期,0lDx)()(xflxf使使为周期函数。为周期函数。称称)(xfxo2y2xysin如如30五、反函数五、反函数)()(yxxfy 所所确确定定的的函函数数由由).(xy 也也可可记记作作为为12 xy如：如：,21yx反函数：反函数：;21xy也可写成：也可写成：xey ,ln yx 反函数：反函数：.ln xy 也可写成：也可写成：31)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数说明：说明：对称；对称；图形关于图形关于）原函数与其反函数的）原函数与其反函数的（x

13、y 1单单调调增增（减减），）若若（)(2xfy ）。其其反反函函数数也也单单调调增增（减减32六、基本初等函数六、基本初等函数1.幂函数幂函数)( 是是常常数数 xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 332.指数函数指数函数),(10aaayxxay xay)(1)1( a)1 , 0( xey 343.对数函数对数函数),(log10aaxyaxylnxyalogxya1log)(1a)0 , 1( 354.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysinxysin36xycosxycos余弦函数余弦函数37正切函数正切函数xytanxytan38xycot余切函数余切函数xy

14、cot39正割函数正割函数xysecxysec40 xycsc余割函数余割函数xycsc415.反三角函数反三角函数xyarcsinxyarcsin反反正正弦弦函函数数42xyarccosxyarccos反反余余弦弦函函数数4322xyarctanxyarctan反反正正切切函函数数44 以上幂函数以上幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数三角函数和反三角函数统称为和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xarcycot反余切函数反余切函数xarcycot45七、复合函数七、复合函数 初等函数初等函数1.复合函数复合函数,uy 设设,21xu21xy定义定义: 设设函函数数)

15、(ufy 的的定定义义域域fD, 而而函函数数)(xu 的的值值域域为为 Z, 若若 ZDf, 则则称称函函数数)(xfy 为为x的的复复合合函函数数. ,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y46注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu)arcsin(22xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,cot2xy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次

16、四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.47例例1 1).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求设设0102112解解,)(时时当当110 x , 0 x或或,)(12 xx ;20 x, 0 x或或,)(112 xx ; 1x11)(),()(,)()(xxxexfx48,)(时时当当120 x , 0 x或或,)(12 xx ;2x, 0 x或或,)(112 xx ; 01x综上所述综上所述.,)(212001122122xxxxxexexfxx 492111P习题16),

17、4)(2(15,13, 6),9)(8)(7)(6)(4(4作业作业50八、双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex 双曲正弦双曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(:D偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数xey21 xey 2151xxxxeeeexxx coshsinhtanh双曲正切双曲正切奇函数奇函数,),(: D有界函数有界函数,52双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 532.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(: D.),(内单调增加内单调增加在在;sinh xy 反反双双曲曲正正弦弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy54.), 1内单调增加内单调增加在在), 1 : D y反反双双曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y55.11ln21xx )1 , 1(: D奇函数奇函数,.)1 , 1(内单调增加内单调增加在在 y反反双双曲曲正正切切tanha