数值分析试卷及答案

1、模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分，共30分)1 .有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.15232 .设 A 210 , x 4 ,则 | A| = , 11x111 =14223.已知y=f (x)的均差(差商)一r 14 一15 一fX0,X1,X2 , fX1,X2,X3 , fX2,X3,X4339115'8f Xo,X2,X3-,那么均差 fX4,X2,X3 =34.已知n=4时NewtonCotes求积公式的系数分别是:C04)-,C1(4) -,c24)2，则904515(4)35 .解初始值问题y f(X，y)的改进的Euler方法是 阶方法;yd) v。6

2、.求解线性代数方程组5X1 3x2 0.1x32为 6x2 0.7x332的高斯塞德尔迭代公式为X12x2 3.5x3 1r(0)r(1)若取 x (1, 1,1),则 x .7 .求方程X f(x)根的牛顿迭代格式是 8 . l 0(x), 11 (x),L , ln(x)是以整数点X0, 9,L ,Xn,为节点的Lagrange插值基函数，则 nXk1 j(Xk)=.k 09 .解方程组 Ax b的简单迭代格式x(k 1) Bx(k) g收敛的充要条件是 10 .设f (-1) 1, f (0) 0, f (1) 1, f (2) 5 ,则f (x)的三次牛顿插值多项式为 ,其误差估计式为

3、 .二、综合题(每题10分，共60分)1 .求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足：p(1) 15, p(1) 20, p (1) 30 p(2) 57, p(2) 72.112.构造代数精度取图的形式为°xf(x)dx A0f(一) Af(1)的求积公式，并求出其代数精度.3.用Newton法求方程x ln x 2在区间(2,)内的根，要求Xk Xk 110 8Xk1152015 714.用最小二乘法求形如 y a bx2的经验公式拟合以下数据:192530385.用矩阵的直接三角分解法解方程组20X1501x23.43x31706试用数值积分法建立求解初值问题1 03x47y

4、f (x,y)的如下数值求解公式y(0) V。yn 1h 一 一一yn 1 ( fn 14 fnfn 1),其中 fif (x，y)i n 1, n, n 1三、证明题 (10分)设对任意的x ,函数f(x)的导数f (x)都存在且0m f (x) M ,对于满足的任意Mxk 1xkf (xk)均收敛于*f (x) 0 的根 x .、填空题5; 2. 8, 9 ;3.91一；154.£ 5.456.7.10.x(k 1)xk 11)1)xk(3(2(13x2k)0.仅3k)/52x(k 1)0.7x3k)/6 ,$1)2x2k 1)*2/7xk f(xk).5(xk)8.xj； 9.

5、(B) 1；1-x, 6()(x1)x(x1)(x 2)/24(1,2)二、综合题1 .差商表:p(x) 1520( x 1)其他方法:设 p(x)115202281154230257722577(x215(x 1)15 20(x 1) 15(x 1)2332341) (x 1) (x 2) 5 4x 3x 2x x7(x 1)3 (x 1)3(ax b)令 p(2) 57 , p (2) 72,求出 a 和 b.2 .取f(x) 1,x,令公式准确成立，得:A0 A , A0 A2 2f(x)x2时，公式左右公式的代数精度2.Ao1.4； f(x)x3时，公式左5243.此方程在区间(2,)

6、内只有一个根S,而且在区间(2, 4)内。设f(x)x ln x 21，、1则f (x) 1 , f (x) , Newton法迭代公式为xx2xk 1xkxk ln xk 21 1/xkxk(1lnxk)xk 1k 0,1,2,取 x0 3,得 s x4 3.146193221。4.span1,x2 , AT12121212 , yT192530 3819.0 32.3 49.0 73.3解方程组AT ACATy,其中ATA433303330 34160821020u22u23u24u33u341u44解得：C1.416650.0504305所以 a 0.9255577, b 0.05010

7、25.5.解设102010101l2111243l31l3210103141142143由矩阵乘法可求出火和ljl41 l42l4310 10110201 020u22u23u24101u33u3421u442121l32l21l31解下三角方程组有 y15, y23,y3y1y2y3V4y44.5317x1再解上三角方程组X2X3X4得原方程组的解为X11,x21 ， X32,X42.6 解初值问题等价于如下形式y(X)y(Xn 1)Xn 1f (X, y(X)dX ，取 X Xn 1,有 y(Xn 1)y(Xn1)Xn 1利用辛卜森求积公式可得yn 1X f(X, y(X)dX，Xn 1h

8、yn 1 ( fn 1 4 fnfn 1) .3三、证明题证明将f(X)0写成f (X) (X),由于 (X) Xf(X)f (X),所以|(X)| |1 f (X)| 1所以迭代格式XkXkf(Xk)均收敛于f (X)*0的根X .模拟试卷(二)一、填空题(每小题 3分，共30分)1.分别用和作数e的近似值，则其有效位数分别有 位和 位；2 .设A3 .对于方程组13，则网1 =12X1 5x2 1 , Jacobi迭代法的迭代矩阵是G,=10x1 4x2 34.设 f(x) x 3 5 x 3用矩阵的LDLT分解法解方程组3 5 9 x2 9 17 x3 x 1,则差商 f 0,1, 2,

9、3=, f 0, 1, 2, 3,4 =1 2-5 .已知A,则条件数Cond (A)0 116 .为使两点的数值求积公式1f(x)dx f(x0) f(x1)具有最高的代数精确度，则其求积基点应为x0=, 为=7 .解初始值问题yf (x, y)近似解的梯形公式是 yk 1y(x0) Vo8 .求方程f (x) 0根的弦截法迭代公式是 9 .计算积分 ；&x，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ,用辛 卜生公式计算的结果是 10 .任一非奇异矩阵 A的条件数Cond(A) =,其Cond (A)一定大于等于 二、综合题(每题10分，共60分)1证明方程1 x sinx在区间

10、0,1有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过1- 4、_、八，10近似解，问要迭代多少次？22已知常微分方程的初值问题：dy x,一，1 x 1.2dx y,y(1) 2101630试用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长 h 0.2.xy14用取小一乘法求一个形如 y 的经验公式，使匕与下列数据拟合a bx12,试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代3x 0.4 y 0.4z5设方程组 0.4x y 0.8z 0.4x 0.8y z法的收敛性。46 按哥法求矩阵A 111132的按模最大特征值的近似值，取初始向量23x（1,0,0）T ,迭代两步求得近似值即可.

11、三、证明题 （10分）证明：又一切 k 1,2,L , xk且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛已知求的迭代公式为:、填空题7.8.6, 7 ; 2. 9, JR; 3h_yk f (xk,yk) f (xk21,xk 1xkf(xk)f (xk) f (xk 1)2.5yk 1);(xk xk2.5 ; 4. 1, 0; 5. 9;6.A1 A二、综合题1 解令 f(x) 1 x sinx,则 f(0) 10, f(1) sin11 cosx 0故1 x sin x在区间0,1*内仅有一个根x .利用二分法求它的误差不超过14,，10的近似解，则|xk2V* I 11 x 2k 1210

12、 4-4ln10解此不等式可得k 0ln 213.2877所以迭代14次即可.2、解:ki f(xo, yo) 0.5, k2 f(xi,yo hki) 0.571429, hy1 y0 -(K k2) 2 0.1 (0.5 0.571429) 2.10714293 3 53解设3 5 95 9 171l211l31l321d11 l21 l31d21l32d31利用矩阵乘法可求得d13, d2 2, d3 2, I21 1,3l311 321%解方程组 1 1 y25V33 2 110416 倚 y 10, y2 6, y -,3051 13x1再解方程组 12x21x3d1110d26得

13、x11, x21,d3 1432.4 解令Y1、，,，、，一,则Y a bx容易得出正规方程组 y5 9a9 17.8 b16.97135.39022.0535, b 3.0265 .故所求经验公式为2.05353.0265x0.4 0.4(1)由于 fj( ) 0.40.83 0.960.2560.4 0.8fj( 1)1 0.98 0.256 0, fJ( 2)8 1.96 0.256 0所以fj( ) 0在(2, 1)内有根i且| i| 1,故利用雅可比迭代法不收敛2(2 0.8320.128)0.4 0.4(2) 由于 fG( )0.40.80.40.8所以（G） 0.832 ,故利用

14、高斯赛德尔迭代法收敛6 解 因为 x(0)1,0,0T ,故 Px(0) P 1,且 y Ax(0)4, 1,1T,(1) max(y)4.从而得9 9.,4 4xy/Py P 1, ；：T,yAx g4 42(2)/ 9max(y ) 2.三、证明题证明：由于xk 11 a一函).a, k 0,1,2,L2 xk故对一切k , xk7a,又 迎11 (1-a2)1(1 1) 1xk2xk2所以xk 1 xk,即序列xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛模拟试卷（三）一、填空题（每小题3分，共30分）1 .设a 2.40315是真值x 2.40194的近似值，则a有位有效位数，相对误差限2 .

15、若用二分法求方程 f （x） 0在区间1,2内的根，要求精确到第 3位小数，则需要对分 次。3 .有n个节点的高斯求积公式的代数精度为 次.4 .设（x） x a（x2 5）,要使迭代格式xk1（xk）局部收敛到x*J5,则a的取值范围是5 .设线性方程组 Ax = b有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的扰动相对误差蝉,就一定能保证解的相对误差剪 ；岫|x|6.给定线性方程组9x1X2x1 5x2则解此线性方程组的Jacobi迭代公讨是, Gauss-Seidel 迭代公式是nb7 .插值型求积公式Ak f (xk)f (x)dx的求积系数之和是ak 08 .数值求解初值问

16、题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 9 .已知函数f(0.4) 0.411, f (0.5) 0,578 , f (0.6) 0.697 ,用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式 x2的系数是2 1 010 .设A 1 2 a ,为使A可分解为A = LLT ,其中L是对角线元素为正的下三角0 a 2矩阵，则a的取值范围是。二、综合题(每题10分，共60分)1 .用Newton法求方程x In x2在区间(2,)内的根，要求xkxk 1xk10 8.2 .设有方程组 及 b,其中A1 2b 132 3,已知它有解1213 , 0 1果右麻?有小扰动| §b| 10，试估计由此引起

17、的解的相对误差。2 ,3.试用Simpson公式计算积分e1/xdx的近似值，并估计截断误差14 .设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数，试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式P3(x),使其满足P3(0) 0,P3(1) 1,F3 (1) 3,P3(2) 1,并写出误差估计式。2105 . A 121 ,给出用古典Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代运算。012.、升 y' y 0、，2 h n 、，、一6 .用梯形方法解初值问题y y ,证明其近似解为 y 工 ，并证明当h 0y(0) 12 h时，它收敛于原初值问题的准确解y ex。三、证明题 (10分)若 f

18、(x)aixi有n个不同的实根，证明1n k nxji1 f(为)0, 1 an,、填空题1.3,0.510-3;2. 10;3.2n-1 ； 4.1 -55.cond(A);6.(k 1)1(k 1)2(8(4x2k)/9 x1(k)/5,k 0,1 ,L(k1(k21)1)7.b a;8._5O(h ); 9.;10 .二、综合题1.此方程在区间(2,)内只有一个根s ,则 f'(x) 1f''(x)(8(4x2k)/9x1(k 1)/5a ,3而且在区间(2, 4)1,Newton法迭代公式为 x20；,k 0,1L内。设 f (x) x ln x 2xk1 xk

19、xk ln xk 21 1/xkxk(1 lnxk)xk0,1,2,x43.146193221。2.解 A 11.5 , Cond (A)122.5 ,由公式|改FlCond(A)件，有bIMx22.51 10 621.6875 10 52 32 ,93.e1/xdx161(e 4e1/1.5e1/2) 2.0263, f 127 x3624、1/x)e x xmax f(4) (x)1 x 2f (4)(1) 198.43,截断误差为 R2(2 1)5 max2880 1 x 2f (4)(x)0.068904.由所给条件可用插值法确定多项式5 3P3(x), P3(x)-x7x2(由题意可

20、设 R(x) f (x) P3(x)2k(x)x(x 1) (x 2)为确定待定函数 k(x),作辅助2 一 一函数：g(t) f (t) P3(t) k(x)t(t 1) (t 2),则g(t)在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有5个零点t x, t 0,1,2 (t 0为二重零点)，反复应用罗尔定理，知至1少有一个零点 (0,3),使g()0 ,从而得k(x) f (4) ( ) o故误差估计式为 4!1 . (4)2R(x) -f(4)( )x(x 1)2(x 2),(0,3)。4!5.首先取i 1, j 2 ,因cot 20 ,故有一，于是 cos sin 41221V Vo o

21、1 2120 -,21 2 01-2 1-2 2o 3 1-21 o 1-2o o 11-21-201比1 二。0 1212 12 10Twool代1正上衣。V 1-21-20h6.梯形公式为 yn 1 yn 2 f (Xn, yn) f(Ki,yni),由 f (x, y) y ,得 h/yn 1yn 2"n Yn l)，所以yn 1 (Q)yn (Q)2yn 1 L(2)n 1y。 (22)n 1,用上述梯形公式以步2 h 2 h2 h 2 h长h经n步计算得到yn ,所以有hn x ,所以2 h n 2 h ( lim ynlim()hm()h 0 n h 0V 2 h h 0

22、 2 h三、证明题n个不同的实根由于 f(x)api有 ni 1f(x) an(x Xi)(X x2)L (x xn) anWn(x)，于是n knk/ n kn Xj nxj1 nxji 1 f (Xj) i 1 anwn(Xj)an i 1 wn(Xj)n kk n Xj i己 g(X) x ,贝U i 1 f (Xj)1 n g(Xj)an i 1 wn(Xj)gX1,X2,L ,Xn, an nXk再由差商与导数的关系知i 1 f (Xj)0,0 k n 2an模拟试卷(四)一、填空题(每小题 3分，共30分)248,1 . 为了减少运算次数，应将算式y 1 -2- -4一2 一8一3

23、改写2x 3 (2x 3)(2x 3)为,为减少舍入误差的影响，应将算式9 J80改写为2. A_、i，*. *3.设在x g(x)的根x附近有连续的二阶导数，且g' (x ) 1,则时迭代过程Xk1 g(Xk)是线性收敛的，则当 时迭代过程Xk 1g(Xk)是平方收敛的。Ka 10,“Ak c4 .设A,则当a满足 时，有lim Ak 00 1k5 .用列主元消去法解线性方程组Ax = b时，在第k- 1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元a(k 1) ,使得af 1)。6 .已知函数 f(0) 1, f(1) 3 , f(2) 7,则 f0,1=, f0,1,2= , f(x)的 二

24、次牛顿插值多项式7 .求解方程f(x) 0 ,若f(X) 0可以表成X (X),则用简单迭代法求根，那么 (X)满足,近似根序列x1,x2,L , xn,L 一定收敛。n8. n 1点插值型数值积分公式Akf(xk)k 0f (x)dx的代数精度至少是不超过 次。2x，、一、y y9 .写出初值问题y 在0,1上欧拉计算格式 y(0) 1y f (x, y)1,、10 .解初始值问题，' 力的梯形方法是阶方法y(xo)v。二、综合题(每题10分，共60分)1 .证明方程x3 x 1 0在区间1 , 2内有唯一根x*,用牛顿迭代法求 x*(精确至3位小数)。x1x2x3 32 .用列主元

25、消去法解线性方程组 x13x22x32;2 为2 x2x313.给定数据x=0,1,2,3,对应函数值分别为y=1,3,2,4 ,求三次拉格朗日或牛顿插值多项21 04.设有矩阵A1 21 用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特01 2征向量(注：求迭代4次即可)25.用改进的Euler方法求初值问题y y , (0 x 1,取步长 h 0.1).y(0) 16 .给定数据 f(0.1) 5.1234, f (0.2) 5.3053, f(0.3) 5.5684 ,求一次最小二乘拟合多项式。三、证明题 (10分)设线性方程组为a11*a12x2 b1 , a11a220a21x1 a

26、22x2 b2(1) 证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；(2) 当同时收敛时，比较它们的收敛速度。、填空题,1，11. u , y (8u-4)u 2)u 1,= ； 2. 6, 6;2x 39 、803.g' (x ) 0, g' (x ) 0, g''*(X )0; 4.1；5.max aik k i n(k 1)6. 2, 1,7.'(x) L 1; 8. n ,2n 1；9.yn 1ynh(yn生)yn10.v。 1二、综合题1.令f(x)X 1,f '(x) 3x2 10, f(x)在(1 2严

27、格单增又 f(1)1,f(2)5,f(x)在(12上有唯一根;由牛顿迭代公式Xk 1XkXk3 Xk 13xJ 1取 X0=得 1.2, 1,34217,1.325, 1,32472, 1,32472, 1,32472或取X01., 1.5, 1,34783,1.3252, 1,32472, 1,32472,所以 x*1.32472.(A,b)11132211221113221322042,51,522111113020,52,52.51.5X1X2X35/45/43. N3(x)2x 3/ 2 x (x1)(X 1) (X2) x34.55.5x或 L3(x)3 2x 4,5 x 5,5x 14.取 U0(1,1,1T ,由乘骞法得,V1 = Au。= (1,0,1)T，U1= (1,0,1)T,V2 = AU1 =(2,-2,2)TU2=(1,1,1)TV3 = Au 2 = (3,-4,3) , u3=(0,75,1, 0,75