第26--28届全国中学生物理竞赛复赛试卷(修改)(含评分标准及答案)

1、第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷一、填空（问答）题（每题5分，共25分）1有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示。这种分布的静电场是否可能存在？试述理由。 × × × × ×× × × × × ×× × × × × ×× 。 × × × × ××2海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆，近日点到太阳中

2、心的距离为0.914天文单位（1天文单位等于地日间的平均距离），则其近日点速率的上限与地球公转（轨道可视为圆周）速率之比约为（保留2位有效数字） 。3用测电笔接触市电相线，即使赤脚站在地上也不会触电，原因是 ；另一方面，即使穿绝缘性能良好的电工鞋操作，测电笔仍会发亮，原因是 。4在图示的复杂网络中，所有电源的电动势均为E0，所有电阻器的电阻值均为R0，所有电容器的电容均为C0，则图示电容器A极板上的电荷量为 。5如图，给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度，使之开始运动。一学生利用角动量定理来考察此木块以后的运动过程：“把参考点设于如图所示的地面上一点O，此时摩擦力f的力矩为0，从而地面木块的角

3、动量将守恒，这样木块将不减速而作匀速运动。”请指出上述推理的错误，并给出正确的解释： 。二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA上某点P施加一竖直向下的力F，令，求桌面对桌腿1的压力F1。三、（15分）1一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。 。2若不考虑

4、太阳和其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体，它们的质量分别为M和m，月心-地心间的距离为R，万有引力恒量为G。学生甲以地心为参考系，利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到月球相对于地心参考系的加速度为；学生乙以月心为参考系，同样利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到地球相对于月心参考系的加速度为。这二位学生求出的地-月间的相对加速度明显矛盾，请指出其中的错误，并分别以地心参考系（以地心速度作平动的参考系）和月心参考系（以月心速度作平动的参考系）求出正确结果。四、（20分）火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度T1、压强p1的炽热高压气体在燃烧室内源

5、源不断生成，并通过管道由狭窄的喷气口排入气压p2的环境。假设燃气可视为理想气体，其摩尔质量为，每摩尔燃气的内能为u=cVT（cV是常量，T为燃气的绝对温度）。在快速流动过程中，对管道内任意处的两个非常靠近的横截面间的气体，可以认为它与周围没有热交换，但其内部则达到平衡状态，且有均匀的压强p、温度T和密度，它们的数值随着流动而不断变化，并满足绝热方程（恒量），式中R为普适气体常量，求喷气口处气体的温度与相对火箭的喷射速率。五、（20分）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合

6、，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为，式中为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）。观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。六、（20分）两惯性系S与S初始时刻完全重合，前者相对后者沿z轴正向以速度v高速运动。作为光源的自由质点静止于S系中，以恒定功率P向四周辐射（各向同性）光子。在S系中观察，辐射偏向于光源前部（即所谓的前灯效应）。1在S系中观察，S系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内。

7、求该圆锥的半顶角。已知相对论速度变换关系为 式中ux与ux分别为S与S系中测得的速度x分量，c为光速。2求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量。七、（20分）1设想光子能量为E的单色光垂直入射到质量为M、以速度V沿光入射方向运动的理想反射镜（无吸收）上，试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子能量E。可取以下近似：，其中c为光速。2.若在上述问题中单色光的强度为，试求反射光的强度（可以近似认为光子撞击镜子后，镜子的速度仍为V）。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积的光子的能量。八、（20分）惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的

8、。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。当负电中心与原子核不重合时，若以x表示负电中心相对正电荷（原子核）的位移，当x为正时，负电中心在正电荷的右侧，当x为负时，负电中心在正电荷的左侧，如图1所示。这时，原子核的正电荷对荷外负电荷的作用力f相当于一个劲度系数为k的弹簧的弹性力，即f=kx，力的方向指向原子核，核外负电荷的质量全部集中在负电中心，此原子可用一弹簧振子来模拟。今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，相距为R，原子核正电荷的电荷量为q，核外

9、负电荷的质量为m。因原子间的静电相互作用，负电中心相对各自原子核的位移分别为x1和x2，且|x1|和|x2|都远小于R，如图2所示。此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。众所周知，孤立谐振子的能量E=mv2/2+kx2/2是守恒的，式中v为质量m的振子运动的速度，x为振子相对平衡位置的位移。量子力学证明，在绝对零度时，谐振子的能量为h/2，称为零点振动能，h为普朗克常量，为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量，与两个相距足够远的（可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的）惰性气体原子的能量差，并

10、从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。可利用当|x|<<1时的近似式(1+x)1/21+x/2-x2/8，(1+x)-11x+x2。第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷题号一二三四五六七八九总分得分阅卷复核本卷共九题，满分160分。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后结果的不能得分。有数字计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。把填空题答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程。一、(15分)蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器(见图)。若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小

11、。设重力加速度。1试设计一个包含十个单摆的蛇形摆(即求出每个摆的摆长)，要求满足：(a)每个摆的摆长不小于，不大于； (b)初始时将所有摆球由平衡点沿轴正方向移动相同的一个小位移()，然后同时释放，经过后，所有的摆能够同时回到初始状态。2在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速度首次全部为零所经过的时间为 。二、(20分)距离我们为L处有一恒星，其质量为M，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T，摆动范围的最大张角为。假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作周期运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量所满足的方程。若光年，年，毫角秒，(为太阳质量)，则此行星的质量和它运动的轨道半径各为多

12、少？分别用太阳质量和国际单位AU(平均日地距离)作为单位，只保留一位有效数字。已知1毫角秒角秒，1角秒度，1AU，光速。三、(22分)如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为，半径为R，螺距，可绕竖直的对称轴无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计。一质量也为的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动。首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态。然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴转动。求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为时，螺旋环转动的角速度和小球对环作用力的大小。四、(12分)如图所示，一质量为、电荷量为()的粒子做角速度为、半径为

13、R的匀速圆周运动。一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为()，在导线上通有随时间变化的电流。时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为。若粒子做圆周运动的向心力等于电流的磁场对粒子的作用力，试求出电流随时间的变化规律。不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响。长直导线电流产生的磁场的磁感应强度表示式中的比例系数已知。五、(20分)如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为Q和-Q(Q>0)，半径分别为R和，小球面与大球面内切于C点，两球面球心和的连线MN沿竖直方向。在MN与两球面的交点B、O和C处各开有足够小的孔，因小孔损失的电荷量忽略不计。有一质量为，带电荷量为

14、()的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛。设静电力常量为，重力加速度为。1要使质点为从A点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少？2要使质点从A点上抛后能够到达O点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？六、(20分)由单位长度电阻为的导线组成如图所示的正方形网络系列。时，正方形网络边长为L；时，小正方形网络的边长为；时，最小正方形网络的边长为。当、2、3时，各网络上A、B两点间的电阻分别为多少？七、(15分)地球上的能量从源头上说来自太阳辐射。到达地面的太阳辐射(假定不计大气对太阳辐射的吸收)一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收。被吸收的部分最终转换成为地球热辐射(红外

15、波段的电磁波)。热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃-玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率J与表面的热力学温度T的四次方成正比，即，其中是一个常量。已知太阳表面温度，太阳半径，地球到太阳的平均距离。假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为。1如果地球表面对太阳辐射的平均反射率，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？2如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为，其余部分的反射率为。问冰雪覆盖面占

16、总面积多少时地球表面温度为。八、(20分)正午时太阳的入射光与水平面的夹角。有一座房子朝南的墙上有一个直径的圆窗，窗口中心距地面的高度为H。试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进入窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进入采光装置前2倍的平行光。可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为，透镜的透射率为，忽略透镜表面对光的反射。要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置。试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件。九、(16分)已知粒子1和粒子2的静止质量都是，粒子1静止，粒子2以速

17、度与粒子1发生弹性碰撞。1若碰撞是斜碰，考虑相对论效应。试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角。若不考虑相对论效应结果又如何？2若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度。解答一、参考解答：1以表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一，即 （Ni为正整数） （1） (1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.由(1)可得，各单摆的摆长 （2）依题意，由此可得 （3） 即 （4）i12345678910li/m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.472因此，第i个摆

18、的摆长为 （5） 2评分标准：本题15分第1小问11分（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分第2小问4分二、参考解答：设该恒星中心到恒星行星系统质心的距离为，根据题意有 （1）将有关数据代入（1）式，得又根据质心的定义有 （2）式中为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有 （3） 由（2）、（3）两式得 （4）若考生用表示行星到恒星行星系统质心的距离，从而把(2)式写为，把(3)式写为，则同样可得到(4)式，这也是正确的. 利用（1）式，可得 （5）（5）式就是行星质量所满足的方程可以把(5)试改写成下面的形式 （6）因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引

19、力定律可得 （7）注意到，由（6）和（7）式并代入有关数据得 (8) 由（8）式可知 由近似计算可得 （9） 由于小于1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即 （10）代入有关数据得 （11）评分标准：本题20分（1）式2分，（2）式3分，（3）式4分，（5）式3分，（9）式4分，（11）式4分三、参考解答：解法一图1hqm一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有 （1）可得：， （2）设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为，则环上每一质

20、量为的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u表示， （3）该小质元对转轴的角动量 整个螺旋环对转轴的角动量 （4）小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为，则小球在水平面内作圆周运动的速度为 （5） 沿竖直方向的速度 （6）对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0，系统对转轴的角动量守恒，故有 （7）由（4）、（5）、（7）三式得： （8） 在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有 （9）由（3）、（5）、（6）、（9）四式得： （10）解（8）、（10）二式，并利用（2）式得 （11） （12）由

21、（6）、（12）以及（2）式得 （13） 或有 （14）（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度 （15）若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为，则有 （16）由（11）和（16）式得 （17）（17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度 （18）CRm图2小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力，在图1所示的薄片平面内，方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力的反作用力向心力在水平面内，方向指向转轴C，如图2所示、两力中只有对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定理有 （19）由（4）、（18）式并注意到得 （20）而 （21）由以上有关

22、各式得 （22）小球对螺旋环的作用力 （23）评分标准：本题22分 （1）、（2）式共3分，（7）式1分，（9）式1分，求得（11）式给6分，（20）式5分，（22）式4分，（23）式2分解法二图1hqm一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有： （1）可得： ， （2）螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成在考

23、察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为的位置时，设小球相对薄片斜边的速度为，沿薄片斜边的加速度为薄片相对地面向左移动的速度为，向左移动的加速度为就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为，则有 （3）而就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为，则有 （4）小球位于斜面上的受力情况如图2所示：重力，方向竖直向下，斜面的支持力，方向与斜面垂直，以薄片为参考系时的惯性力，方向水平向右，其大小 （5） 由牛顿定律有 （6） （

24、7） （8）解（5）、（6）、（7）、（8）四式得 （9） （10） （11）利用（2）式可得 （12） （13） （14）由（4）式和（14）式，可得螺旋环的角加速度 （15）若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为，则此时螺旋环的角速度 （16）因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度 （17）故有 （18） 由（15）、（16）、（17）、（18）、以及（2）式得 （19） 小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供，向心力位于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图2中的纸面垂直，亦即与垂直向心力的大小 （20）式中是小球相对

25、地面的速度在水平面内的分量.若为小球相对地面的加速度在水平面内的分量，则有 （21）令为在水平面内的分量，有 （22）由以上有关各式得 （23）小球作用于螺旋环的力的大小 （24）由（13）、（23）和（24）式得 （25）评分标准：本题22分（1）、（2）式共3分，（9）或（12）式1分，（10）或（13）式5分，（11）或（14）式1分，（19）式6分，（23）式4分，（25）式2分dRqwtOxyi四、参考解答：以v表示粒子的速率，以B表示电流i产生磁场的磁感应强度，根据题意粒子作圆周运动的向心力为粒子受到的磁场洛仑兹力，因此有 （1）而 （2）由（1）、（2）两式得 （3）如图建立坐标

26、系，则粒子在时刻的位置， （4）取电流的正方向与y轴的正向一致，设时刻t长直导线上的电流为，它产生的磁场在粒子所在处磁感应强度大小为 （5）方向垂直圆周所在的平面.由（4）、（5）式，可得 （6）评分标准：本题12分OCABRRQMqN图1（3）式4分，（4）式2分，（5）式4分，（6）式2分五、参考解答：1质点在应作减速运动（参看图1）设质点在A点的最小初动能为，则根据能量守恒，可得质点刚好能到达B点的条件为 （1）由此可得: （2）2 质点在的运动有三种可能情况：i质点在作加速运动（参看图1），对应条件为 （3）此时只要质点能过B点，也必然能到达O点，因此质点能到达O点所需的最小初动能由（

27、2）式给出，即 （4）若（3）式中取等号，则最小初动能应比（4）式给出的略大一点ii质点在作减速运动（参看图1），对应条件为 （5）此时质点刚好能到达O点的条件为 （6）由此可得 OCABRRQMqDxN图2 （7）iii质点在之间存在一平衡点D（参看图2），在质点作减速运动，在质点作加速运动，对应条件为 （8）设D到O点的距离为，则 （9）即 （10）根据能量守恒，质点刚好能到达D点的条件为 （11）由（10）、（11）两式可得质点能到达D点的最小初动能为 （12）只要质点能过D点也必然能到达O点，所以，质点能到达O点的最小初动能也就是（12）式（严格讲应比（12）式给出的略大一点）评分标准

28、：本题20分第1小问5分求得（2）式给5分rLrLrLrLAB图1第2小问15分算出第i种情况下的初动能给2分；算出第ii种情况下的初动能给5分；算出第iii种情况下的初动能给8分，其中（10）式占3分六、参考解答：时，A、B间等效电路如图1所示， A、B间的电阻AB图2 （1）时，A、B间等效电路如图2所示，A、B间的电阻 （2）由（1）、（2）两式得 (3)AB图3时，A、B间等效电路如图3所示，A、B间的电阻 （4）由（3）、（4）式得 （5）评分标准：本题20分（1）式4分，（3）式6分，（5）式10分七、参考解答：根据题意，太阳辐射的总功率太阳辐射各向同性地向外传播设地球半径为，可以

29、认为地球所在处的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率为 （1）地球表面反射太阳辐射的总功率为设地球表面的温度为，则地球的热辐射总功率为 （2）考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等，有 （3）由以上各式得 （4）代入数值，有 （5）2当地球表面一部分被冰雪覆盖后，以表示地球表面对太阳辐射的平均反射率，根据题意这时地球表面的平均温度为利用（4）式，可求得 （6）设冰雪覆盖的地表面积与总面积之比为x，则 （7）由（6）、（7）两式并代入数据得 （8）评分标准：本题15分第1小问11分（1）式3分，（2）式1分，（3）式4分，

30、（4）式2分，（5）式1分第2小问4分（6）式2分，（8）式2分八、参考解答：H南图1M方案一：采光装置由平面镜M和两个凸透镜L1、L2组成透镜组置于平面镜M后面，装置中各元件的相对方位及光路图如图1所示L1、L2的直径分别用D1、D2表示，其焦距的大小分别为f1 、f2两透镜的距离 （1）直径与焦距应满足关系 （2）设射入透镜L1的光强为，透过透镜L1的光强为，考虑到透镜L1对光的吸收有 （3）从透镜L1透出的光通量等于进入L2的光通量，对应的光强与透镜的直径平方成反比，进入L2的光强用表示，即 故有 （4）透过L2的光强，考虑到（3）式，得 （5）由于进入透镜L1的光强是平面镜M的反射光的

31、光强，反射光是入射光的，设射入装置的太阳光光强为，则 代入（5）式有 （6） 按题设要求 代入（6）式得 从而可求得两透镜的焦距比为 （7）L2的直径应等于圆形窗户的直径W，即，由（2）式得 （8）由图可知，平面镜M参与有效反光的部分为一椭圆，其半短轴长度为 （9）H南图2MW半长轴长度为 （10）根据装置图的结构，可知透镜组的光轴离地应与平面镜M的中心等高，高度为评分标准：本题20分作图8分（含元件及其相对方位，光路），求得（7）、（8）两式共10分，（9）、（10）式共2分方案二：采光装置由平面镜M和两个凸透镜L1、L2组成，透镜组置于平面镜M前面，装置中各元件的相对方位及光路图如图2所示

32、 对透镜的参数要求与方案一相同 但反射镜M的半短轴、半长轴的长度分别为 评分标准：参照方案一H南图3WM方案三、采光装置由平面镜M和一个凸透镜L1、一个凹透镜L2组成，透镜组置于平面镜M后面（也可在M前面），装置中各元件的相对方位及光路图如图3所示有关参数与方案一相同，但两透镜的距离 m0v1v2v0m00a如果平面镜放在透镜组之前，平面镜的尺寸和方案一相同；如果平面镜放在透镜组之后，平面镜的尺寸和方案二相同评分标准：参照方案一九、参考解答：1假设碰撞后球1和球2的速度方向之间的夹角为（见图），则由能量守恒和动量守恒可得 （1） （2）其中， 由（1）、（2）式得 （3） （4）由（3）、（4

33、）式得 （5） （6）即为锐角在非相对论情况下，根据能量守恒和动量守恒可得 （7） （8）对斜碰，的方向与的方向不同，要同时满足（1）和（2）式，则两者方向的夹角 （9） 即为直角2根据能量守恒和动量守恒可得 （10） （11）令，则有：，代入（10）、（11）式得 （12） （13） 解（12）、（13）两式得 （14）或 （15）即 ， （16） （或，不合题意）第28届全国中学生物理竞赛复赛试题一、 （20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，

34、经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角P=72.0°。已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×1011Nm2/kg2，太阳质量mS=1.99×1030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为A，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为C，两杆的质量均为m，长度均为l。1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为，求CD杆与墙面夹角应该满足的条件（用及已知量满足

35、的方程式表示）。2、若A=1.00，C=0.866，=60.0°。求系统平衡时的取值范围（用数值计算求出）。三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。一半径为R，质量为M的薄壁圆筒，其横截面如图所示，图中O是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为的小球，正常情况下，绳绕在圆筒

36、外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为0。若要使卫星减慢或者停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，解除小球与卫星的联系，于是卫星转动停止。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q处。1、 求当卫星角速度减至时绳拉直部分的长度l；2、 求绳的总长度L；3、 求卫星从0到停转所经历的时间t。四、（20分）空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，在此区域建立直角坐标系O-xyz，如图所示，匀强电场沿x

37、方向，电场强度，匀强磁场沿z方向，磁感应强度，E0、B0分别为已知常量，分别为x方向和z方向的单位矢量。1、有一束带电量都为+q、质量都为m的粒子，同时从Oyz平面内的某点射出，它们的初速度均在Oyz平面内，速度的大小和方向各不相同，问经过多少时间这些粒子又能同时回到Oyz平面内。2、现在该区域内再增加一个沿x方向随时间变化的匀强电场，电场强度，式中，若有一电荷量为正q、质量为m的粒子，在t=0时刻从坐标原点O射出，初速度v0在Oyz平面内，试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用，也不考虑变化的电场产生的磁场。五、（15分）半导体pn结太阳能电池是根

38、据光生伏打效应工作的。当有光照射pn结时，pn结两端会产生电势差，这就是光生伏打效应。当pn结两端接有负载时，光照使pn结内部产生由负极指向正极的电流即光电流，照射光的强度恒定时，光电流是恒定的，已知该光电流为IL；同时，pn结又是一个二极管，当有电流流过负载时，负载两端的电压V使二极管正向导通，其电流为，式中Vr和I0在一定条件下均为已知常数。1、在照射光的强度不变时，通过负载的电流I与负载两端的电压V的关系是I=_。太阳能电池的短路电流IS=_，开路电压VOC=_，负载获得的功率P=_。2、已知一硅pn结太阳能电池的IL=95mA，I0=4.1×109mA，Vr=0.026V。则

39、此太阳能电池的开路电压VOC=_V，若太阳能电池输出功率最大时，负载两端的电压可近似表示为，则VmP=_V。太阳能电池输出的最大功率Pmax=_mW。若负载为欧姆电阻，则输出最大功率时，负载电阻R=_。六、（20分）图示为圆柱形气缸，气缸壁绝热，气缸的右端有一小孔和大气相通，大气的压强为p0。用一热容量可忽略的导热隔板N和一绝热活塞M将气缸分为A、B、C三室，隔板与气缸固连，活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气，气缸的左端A室中有一电加热器。已知在A、B室中均盛有1摩尔同种理想气体，电加热器加热前，系统处于平衡状态，A、B两室中气体的温度均为T0，A、B、C三室的体积均为V0。现通过电加热器对

40、A室中气体缓慢加热，若提供的总热量为Q0，试求B室中气体末态体积和A室中气体的末态温度。设A、B两室中气体1摩尔的内能U=5/2RT。R为普适恒量，T为热力学温度。七、（20分）如图所示，L是一焦距为2R的薄凸透镜，MN为其主光轴。在L的右侧与它共轴地放置两个半径皆为R的很薄的球面镜A和B。每个球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜面。A、B顶点间的距离为。在B的顶点C处开有一个透光的小圆孔（圆心为C），圆孔的直径为h。现于凸透镜L左方距L为6R处放一与主轴垂直的高度也为h（h<<R）的细短杆PQ（P点在主轴上）。PQ发出的光经L后，其中一部分穿过B上的小圆孔正好成像在球面镜A的顶点D处

41、，形成物PQ的像I。则1、 像I与透镜L的距离等于_。2、 形成像I的光线经A反射，直接通过小孔后经L所成的像I1与透镜L的距离等于_。3、 形成像I的光线经A反射，再经B反射，再经A反射，最后通过L成像I2，将I2的有关信息填在下表中：I2与L的距离I2在L左方还是右方I2的大小I2是正立还是倒立I2是实像还是虚像4、 物PQ发出的光经L后未进入B上的小圆孔C的那一部分最后通过L成像I3，将I3的有关信息填在下表中：I3与L的距离I3在L左方还是右方I3的大小I3是正立还是倒立I3是实像还是虚像八、（20分）有一核反应其反应式为，反应中所有粒子的速度均远小于光速，试问：1、它是吸能反应还是放

42、能反应，反应能Q为多少？2、在该核反应中，若静止，入射质子的阈能Tth为多少？阈能是使该核反应能够发生的入射粒子的最小动能（相对实验室参考系）。3、已知在该反应中入射质子的动能为1.21MeV，若所产生中子的出射方向与质子的入射方向成60.0°角，则该中子的动能Tn为多少？已知、核、核的静止质量分别为：mP=1.007276u，mn=1.008665u，m3H=3.015501u，m3He=3.014932u，u是原子质量单位，1u对应的能量为931.5MeV。结果取三位有效数字。第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准一、参考解答：解法一取直角坐标系Oxy，原点O位于椭