2022年《量子力学》考试知识点

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点量子力学考试学问点第一章：绪论经典物理学的困难考核学问点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1. 识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应；2. 领悟：微观粒子的波粒二象性、德布罗意波；其次章：波函数和薛定谔方程考核学问点：（一）、波函数及波函数的统计说明（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计说明1. 识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2. 领悟：微观粒子状态的描述、Born 几率说明、

2、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1. 领悟：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2. 简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领悟：定态、定态性质2. 简明应用：定态薛定谔方程第三章：一维定态问题精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点一、考核学问点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例 二、考核要求：1. 领悟：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完

3、全透射、势垒贯穿、共振2. 简明应用：定态薛定谔方程的求解、第四章 量子力学中的力学量一、考核学问点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1. 识记：算符、力学量算符、对易关系2. 领悟：算符的运算规章、 算符的厄密共厄、 厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1. 识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2. 领悟：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力

4、学量可取值及测量几率、几率振幅；（三）、连续谱本征函数“归一化”1. 领悟：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点（四）、力学量的平均值随时间的变化1. 识记：好量子数、能量时间测不准关系2. 简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核学问点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子

5、态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1. 领悟：幺正变换及其性质2. 简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1. 简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2. 综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核学问点 :（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求 :（一）、定态微扰论1. 识记：微扰2. 领悟：微扰论的思想精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 32 页 - - - - - -

6、 - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点3. 简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4. 综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正；（二）、变分法1. 领悟：变分原理2. 简明应用：用 Ritz变分法求体系基态能级及近似波函数（三）、量子跃迁1. 识记：跃迁、跃迁几率、自发辐射、受激辐射、费米黄金规章2. 领悟：跃迁理论与不含时微扰的关系3. 简明应用：简洁微扰体系跃迁几率的运算、常微扰、周期微扰第七章 自旋与全同粒子一、考核学问点：（一）、电子自旋（二）、总角动量（三）、碱金属的双线结构（四）

7、、自旋单态和三重态（五）、全同粒子交换不变性二、考核要求：（一）、电子自旋1. 识记：自旋存在的试验事实、二重量波函数2. 领悟：电子自旋的内禀磁矩、对易关系、泡利表象、矩阵表示（泡利矩阵）、自旋态的表示3. 简明应用：考虑自旋后，状态和力学量的描述、考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程（二）、总角动量1. 识记：自旋轨道耦合精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点2. 领悟：总角动量、力学量完全集H , l 2 ,j

8、 2 ,j z 的共同本征值问题（三）、碱金属的双线结构1. 领悟：碱金属原子光谱的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成缘由（四）、自旋单态和三重态1. 领悟：自旋单态和三重态2. 简明应用：在S1z, S2 z 和 .2,S.z 表象中两自旋为1 2 的粒子的自旋波S函数（五）、全同粒子交换不变性1. 领悟：全同粒子体系与波函数的交换对称性、费米子和玻色子体系的描述、泡利不相容原理2. 简明应用：两全同粒子体系、全同粒子体系波函数的结构 1、 波函数与薛定谔方程懂得波函数的统计说明，态迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子数守恒定律定态薛定谔方程；把握一维无限深势阱，线性谐振子；2、 力学量的

9、算符表示懂得算符与力学量的关系；把握动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符的对易关系， 两力学量同时有确定值的条件测不准关系，力学量平均值随时间的变化守恒定律；氢原子3、 态和力学量的表象懂得态的表象，把握算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述么正变换，明白狄喇克符号，线性谐振子与占有数表象；4、 定态近似方法把握非简并定态微扰理论，简并情形下的微扰理论，懂得薛定鄂方程的精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问

10、点变分原理及变分法；5、 含时微扰论把握与时间有关的微扰理论，跃迁几率，光的发散和吸取及挑选定就；6、 自旋与角动量懂得电子自旋，把握电子的自旋算符和自旋函数；7、 全同粒子体系懂得两个角动量的耦合，光谱的精细结构和全同粒子的特性；把握全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋函数；明白氦原子（微扰法）；周世勋，量子力学教程，高等训练出版社， 1979 年第 1 版曾谨言，量子力学教程，科学出版社， 20XX 年版参考书目：量子力学导论，北京高校出版社，曾谨言我认为考试前要清晰报考单位对量子力学这门课的基本要求以及主要考查内容是什么，应当依据其要求动身，有目的性、针对性的进行的复习；中科院

11、量子力学考试的重点是要求娴熟把握波函数的物懂得释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，懂得这些解的物理意义，熟识其实际的应用；把握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸取的半经典处理方法等， 并具有综合运用所学学问分析问题和解决问题的才能；再者，中科院对量子力学这门课考查主要包括以下 9 大内容：波函数和薛定谔方程一维势场中的粒子力学量用算符表示中心力场量子力学的自旋定态问题的近似方法量子跃迁多体问题，复习过程中应当主要对这些内容下功夫；第一阶

12、段：第一依据中科院硕士争论生入学考试量子力学考试大纲中的要求将参考书目看了一遍；中科院量子力学考试大纲中指定的参考书目是量子力学教程， 这本书是由曾谨言编著的；此阶段看书以懂得为主，不必蛮缠于细节，将不懂的学问点做上记号；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点其次阶段：我对大纲中要求明白的内容，娴熟把握的内容以及懂得的内容进行了分类，并且按相关要求对将这门课进行了其次轮复习；另外我认为在这一遍复习中肯定要把历年试题弄到手

13、并且认真分析，由于真题表达了命题单位的出题特点以及出题趋势等；另外，我认为真题要比大纲更有用，由于从大纲中看不出的有价值的东西可以从真题中得到；当然，需要留意的是，单纯把握真题也是不理智的做法，假如一个考生仅仅把握 了历年真题的内容，那么考试后他会得出这样一个结论：今年的题真偏；其实，不是题 偏，而是他没有把参考书上的东西完全把握好；所以在这个阶段中我仍旧以看指定的参 考书为主，着重解决了在第一遍复习中留下的疑问和在做真题中自己不会的题目；对了，此轮复习肯定要做一份笔记，将主要内容归纳出一份比较简洁的提纲，以便于下轮复习；第三阶段：将专业课过第三遍，这一轮留意结合上一轮的笔记和提纲有重点的，系

14、统的懂得和记忆，由于专业课要求答的深化，所以可以找一些专业方面的期刊杂志来看下，扩大下自己的视野范畴；这一阶段大家也可以找些习题集来做下，不断巩固自己把握了的学问点；第四阶段：这一轮要将参考书快速翻几遍，以便对整个学问体系有全面的把握并且牢记于心，同时要进行查缺补漏，不要放过一个疑点，要留意的是此时不能执着于细小的学问点，要懂得抓大放小，把握最重要的学问点；另外可以依据对历年试题的分析以及对本年度的专业考试做出一些推测，并对考试的时间支配及如何进行考中心理调剂做下演练；（中科大2003）一、试证明：（ 1）投影算符 P| nn | 是厄密算符；它在任意态|中的平均值是正定的，即| P |0 ；

15、（ 2）设 |是归一化波函数，对于线性厄密算符A 以下等式成立idA dt A, H iA；t证明：（1）由于P| nn | nn |P所以P 是厄密算符精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点或| P | nn | n*n |*| P |*| P | nn |n |20（ 2）由于A, A就d A, Adtt, A,Attd A再由 S-eq得i A, H iAd tt或由于A* Adx所以d A*Adxdtt* Adx

16、 t* Adx t1* HA i1* AHidx1 iHAdx* AH*dxAdx t*Adx td AA即i A, H id tt二、对于一维谐振子，求毁灭算符a 的本征态 |，将其表示成各能量本征态 | n的线性叠加；已知a | n.n | n1；解：设 |C n | nn 0由于a |且利用a | n.n | n1得a |Cna | nn 0Cnn | n1n 0C n | nn 0以n1 | 左乘上式并利用n | nn n 得精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - -

17、- - - - - - - - -名师整理精华学问点C nC n 1n依次递推得nCnC 0n.由归一化条件|2 n22CnC01nnn.2 n2由于enn.12iC0e 2e为实数，可取为0所以|12ne 2| nn 0n.三、给定 , 方向的单位矢量nsincos,sinsin, cos ，在z 表象中求nn 的本征值和归一化本征矢；解：由于nx s i nc o sy s i ns i nz c o s所以cosnsine in 的本征值为1sineicosncossine iaa由本征方程sinei求得cosbb对于1cos21sinei 2cose i/ 2或12sinei/ 22对

18、于1sin21sine i/ 2或12cosei 2cosei/ 22四、设肯定域电子（作为近似模型，不考虑轨道运动），处于沿 x 方向的匀称xLxL磁场 B 中，哈密顿量为He BeB拉莫尔2c2c（ Larmor） 频率精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点设 t0 时，电子自旋 “向上 ”（ Sz/ 2 ）；求 t0 时（ 1）电子自旋态t ；（2）电子自旋 S 的平均值；解：（1） 方法一令t atbt 初始条件

19、0a01b00由薛定谔方程daaiLdtbb得aiLbbiL aabiL ababiL ab积分得a t b t a 0b 0 e i L te i L ta tbta 0b0ei Ltei L t由此可得at c o s L tbti s i n L t方法二t cosL ti sinLt体系能量本征态即x 的本征态，本征值和本征态分别为11x1EEL2111x1EEL21电子自旋初态精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华

20、学问点0T 时刻电子自旋态为t 101e212i Ltei L tcosL ti sinLt（ 2）电子自旋各重量的平均值01cosL tSxt SxtcosL t2i sinL t100i sinL tSyt SytcosL t20ii sinL ti0cosL ti sinL tsin 2L t2Szt Szt cosLt210i sinL t01cosLti sinLtcos2Lt2五、已知系统的哈密顿量为20H02002求能量至二级近似，波函数至一级近似；20000解： （1）HH 0HH 002002H00000可见所设表象为非H 0 表象，为将H 0 对角化，先由H 0 的本征方程

21、求其本征值和本征矢；求得结果为：本征值E0 1 0E22 0E33精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点相应本征矢11| 10210| 21011| 3021（2）利用S10110202101转到 h0 表象（将H 0 对角化）h0SH 0 S00020003hS H S022000022E| h|2在h0表象中1Enhnn 2nnmE0 m nn0 Em1hnm 0En0 m nn 0mEm就/ 21E11E 201

22、E/ 23E2 11128 034 2E020122E 2381340 1量子力学测试题（2）1、一质量为 m 的粒子沿 x 正方向以能量 E 向 x=0 处势垒运动；当 x0 时，势能为零； 当 x0 时，势能为 V03 E ；问在 x=0 处粒子被反射的几率多大？4解：S-eq为1110kk222220x02k其中1x02mE /2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点k222m EV0 /2 / 4k21由题意知

23、x0 区域 既有入射波，又有反射波；x0 区域仅有透射波故方程的解为ik1 xe1re ik1 xx02teik 2 xx0在 x=0 处，及都连续，得到1rtk1 1r k1 t 2由此解得Rr 2192留意透射率 Tt由于 k2k1将eik1x，ji*2 mxre ik1x，*xteik 2 x分别代入几率流密度公式得入射粒子流密度反射粒子流密度k1j0mjk1 r 2透射粒子流密度RmTjk2 t 2m由此得反射率Rj Rj0r 2192、运算（ 1） L ,r 2 透射率.TjTj 0k228tk19RT1（ 2）设F x, p 是 x, p 的整函数，就 p, F .精选名师 优秀名

24、师 - - - - - - - - - -第 13 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点解：（ 1） L, r 2 L , x x x L , x L , x xixxix x0由于将其次项哑标作更换ix xix xix x所以 L ,r 2 0（ 2）先由归纳法证明 p , xn inxn 1ix nx（·）式n1上式明显成立；设nk 时上式成立，即 p, x k ikx k 1就 p, xk 1 p , x k xx k p, xikx kix kik1 x k明显，

25、nk1时上式也成立，（·）式得证；由于F x, p就m,nCmn xpmn0 p, F m,nC mn p, xm p n m,nC mn p, xm p nim ,nC mnmxm1 p niF x123、试在氢原子的能量本征态nlm 下，运算 r和 r的平均值；解：处于束缚态nlm 下的氢原子的能量e 4E n22 n2e 2122a n 2ae2nnrl1（ 1）运算r1方 法1相 应 的 维 里 定 理 为E1nVn l m21TnlmV2nlm所以r12En e21an 2方法 2选 Z 为参量相应的 F-H 定理E ne2H2n l me精选名师 优秀名师 - - - -

26、 - - - - - -第 14 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点2e2H22r1an 21nlmr11ran 2（ 2）运算r2等效的一维哈密顿量2d 2e2H2dr 2rl l122r 2取 l 为参量相应的F-H定理EnlH ln l m留意lnnrl1e2 an 32l12r2221rl1 / 2 a2 n 34、有一个二能级体系，哈密顿量为HH 0H，H 0 和微扰算符 H的矩阵表示为E10012H 00EH10其中表征微扰强度，E1E 2 ；用微扰法求 H 的本征值和

27、本征态；解：由于是对角化的，可见选用表象为H 0 表象对于 E1E2 ，由非简并微扰论运算公式EE0nn0 H nn| HE 0mnH mn2|nmE0m 0nnmE得 11 0En00 mEmE 21H 12E0 12E022E1E2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 15 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点1H 21 00E1 01E120 2E20E1E21E 22H 12E0 22E012E2E11H 12 01E2 020 1E1E2E10所以

28、，二级近似能量和一级近似态矢为21E1，E1E20E1E20；E2120，E2E111；E1E20对于 E1E2 ，由简并微扰论运算得一级近似能量和零级近似态矢为E1，1111； E1，；21215 、 自 旋 投 影 算 符 Sn2n ，为 泡 利 矩 阵 ， n 为 单 位 矢 量（ sincos,sinsin, cos）；（1）对电子自旋向上态 sz/ 2 ，求Sn 的可能值及相应几率；（2）对n 的本征值为 1 的本征态，求y 的可能值及相应几率；cossine icossine iaa解：（1）由 Sn2sineicos2sineimscosbb得1 sn 2cos2sinei 21

29、 sn 2sin2cosei 2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 16 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点对于电子自旋向上态 sz/ 21， Sn 取值0的几率分别为221cos22sinei 221cos20221sin22cosei 2212sin02（2）y 的本征值和本征态1，y 11 ；1，2i11y 2i电子处于n 的本征值为1 的本征态 即1 sn ，2Sn 的本征值为的本征态2就y 的可能值及相应几率为1y 21 n 211i22cos2

30、sinei 21 12sinsin21y 1 n 11ic o s221 1s i ns i n 22s i nei226、设质量为m 的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用能为11 ax2x 2 a0 ；2（ 1）如粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；（ 2）如粒子自旋 s波函数；1/ 2 ，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 17 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点解：体系的哈密顿量为H22

31、x22m122x22m21a x12x 2引入质心坐标 X 和相对坐标 x ：X1 xx2 xx1x21在坐标变换x1, x22X , x 下，体系的哈密顿量变为22H22MX22122ax2x2M2mm / 2相对运动哈密顿量为2H r2d 2dx21 ax222d 212dx222 x2a（ 1）如粒子自旋为0，就相对运动态的能量和波函数为1Enn2n x12Nne2 x 2H n xn0,2,4,限定 n0,2,4,是为了保证波函数对交换x1 和x2 是对称的 ；（ 2）如粒子自旋 s1/ 2 ，就相对运动态的能量和波函数为1Enn2n0,1,2, x, Sz 1Nn e 212 x 2

32、2 x 2H n x | 00|11n0,2,4, x, Sz N n e 2H n x| 10n1,3,5,|11其中| 1112| 10112 2212精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 18 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点| 111 2| 00112 221体系基态能量和波函数E12体系第一激发态能量和波函数3 x, Sz 1N0e 212 x 22 x 2| 00|11Ex,Sz N1e 2H 1 x|102量子力学测试题（4）（复旦 2002

33、）|111、已知一维运动的粒子在态x中坐标 x 和动量p x 的平均值分别为x0 和p0 ，求在态 xe ip 0 x / xx0 中坐标 x 和动量p x 的平均值；解：已知粒子在态 x中坐标 x 和动量p x 的平均值分别为*xx x x dxx0*p x xixxdxp0现粒子处在x态，坐标 x 和动量p x 的平均值x* xxxdx* xx0 x xx0 dx* x xx0 x dxx0x00精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 19 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - -

34、-名师整理精华学问点xp* xi xdxxeip0 x /* xx0 i e ip0 x /x xx0dxeip0 x /* xx0 p0 eip 0 x /xx0 e ip 0 x /i xxx0 dx0p* x ix x dxp0p002、一体系听从薛定谔方程222122m1 k rr2122r1, r2 E r1,r 2 （1）指出体系的全部守恒量（不必证明）；（ 2）求基态能量和基态波函数；解：（1）体系的哈密顿量为2222H122m2 m1 k rr2122引入质心坐标 R 和相对坐标 r ：R1 rr2 rr1r21在坐标变换r1 , r2R, r2下，体系的哈密顿量变为222HR

35、2M221 kr 2zr2M2mm / 2简洁得知系统的守恒量为（ 2）相对运动哈密顿量为E, L2 , L ；（中心力场）22H rr21 kr 222122kr2r22相对运动为三维各向同性谐振子，基态能量和波函数为EN3r 23123/ 2 e2r 2N0,1,2,精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 20 页，共 32 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点3、设 t=0 时氢原子处在态r ,01 2101002102211321 1 （1）求体系能量的平均值； （2

36、）任意 t 时刻波函数r ,t ；（3）任意 t 时刻体系处在 l1, m1 态的几率；（4）任意 t 时刻体系处在 m0 态的几率；解：氢原子定态能量和波函数为e 2E n22annlm r ,Rnlr Ylm ,（1） E23E1E 25511e 240a（ 2）任意 t 时刻波函数1iE t /iE t /r ,t 2e110100r e2210r 2211r 321 1 r （ 3）任意 t 时刻体系处在 l1, m1 态的几率为 1/5 ；（ 4）任意 t 时刻体系处在 m0 态的几率为 1/2 ；4、一维谐振子受到微扰Hcx2 作用，式中 c 为常数；在粒子数表象中，1/ 2xaa2ma, a分别为湮灭算符和产生算符，满意a |