高等数学第一节 不定积分概念与性质ppt课件

1、定义定义 1 1设函数设函数 y = f (x) y = f (x) 在某区间上有定在某区间上有定义，义，假设存在函数假设存在函数 F (x)，对于该区间上任一点对于该区间上任一点 x，使使F (x)= f (x) 或或 dF(x) = f (x)dx ，那么称函数那么称函数 F (x) 是知函数是知函数 f (x) 在该区间上的一在该区间上的一个原函数个原函数.,3)5(23xx ( x3 + C ) = 3x2 (C 为恣意常数为恣意常数)，所以所以 x3 + 1，),5(3 x x3 + C 都是都是 3x2 在区间在区间 ( , ) 内的原函数内的原函数.例如，由于在区间例如，由于在区

2、间 ( , ) 内有内有(x3) = 3x2，所以所以 x3 是是 3x2 在区间在区间 ( , ) 内一个原函内一个原函数，数，又由于又由于(x3+1)= 3x2，普通地，普通地， 假设假设 F(x) 是是 f (x) 在某区间上的一在某区间上的一个原函数，个原函数， 那么函数族那么函数族 F(x) + C (C 为恣意常数为恣意常数)都都是是 f (x) 在该区间上的原函数在该区间上的原函数.移项得移项得 (x) (x) C . (x) (x) C .由于由于 (x) (x) 是是 f (x) f (x) 的任一个原函数，的任一个原函数，由于由于 (x) - F(x) = (x) F (x

3、) = f (x) - f (x) = 0， 由微分中值定理的推论得由微分中值定理的推论得 (x) -(x) C (C (x) -(x) C (C为常数为常数) )，设设 F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 I 上的一个确定的原函上的一个确定的原函数，数， (x) 是是 f (x) 在区间在区间 I 上的任一个原函数，上的任一个原函数，F (x) = f (x)， (x) f (x).(x) f (x). 所以所以 F (x) + C F (x) + C 是是 f (x) f (x) 在区间在区间 I I 上的全体原函数上的全体原函数的普通表达式的普通表达式. . 即即其中符号其中符号

4、称为积分号，称为积分号， f (x) dx 称为被积表达式，或称被积分式，称为被积表达式，或称被积分式， x 称称为积分变量，为积分变量，定义定义 2假设假设 F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 I 上的一个上的一个原函数，原函数，,d)( xxf即即，CxFxxf )(d)( 那么那么 F(x) + C (C为恣意常数为恣意常数)称为称为 f (x) 在该在该区间上的不定积分，区间上的不定积分， 记为记为f(x) 称为被积函数，称为被积函数，C 称为积分常数称为积分常数.例例 1 1求以下不定积分求以下不定积分;d2)1( xx;dsin)2( xx;1d)3(2 xx;de)4( x

5、x解根据不定积分的定义，只需求出被积函解根据不定积分的定义，只需求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数数一个原函数之后，再加上一个积分常数 C 即可即可.(1)(1)被积函数被积函数 f ( x ) = f ( x ) = 2x2x，由于由于 ( x2 ) = 2x，即即 x2 是是 2x 的一个原函数的一个原函数 ，所以，不定积分所以，不定积分;d22Cxxx (2)(2)被积函数被积函数 f (x) = sin x f (x) = sin x，由于由于 (- cos x) = sinx，即即 - cos x 是是 sin x 的一个原函数，的一个原函数，所以，不定积分所以，不定积分

6、;cosdsinCxxx - - 211)(arctan)3(xx 因因为为,11)cotarc( 2xx - -或或所以得所以得;cotarcarctan1d2CxCxxx - - ,e)e ()4(xx 因因为为所以得所以得.edeCxxx ;lnd1Cxxx 当当 x 0 时，时，,1)(lnxx 因为因为所以所以.)ln(d1Cxxx - - 合并以上两种情况，当合并以上两种情况，当 x 0 时，得时，得. |lnd1Cxxx 例例 2 2求不定积分求不定积分.d1 xx解解. 01 xx的定义域为的定义域为被积函数被积函数(2)(2)Cxfxxf )(d)(.)()(d)()(dCx

7、fxxfxf 或或(1)(1) .d)(d)(d)(d)(xxfxxfxfxxf 或或; )1(,11d21- - Cxxx ) )( (;|lnd1 3Cxxx ) )( (;lnd 4Caaxaxx ) )( (根本积分表根本积分表; )(d 1为为常常数数) )( (kCkxxk ;ede, e Cxaxx 时时当当；) )( ( Cxxx sindcos 5；) )( ( - - Cxxx cosdsin 6；) )( ( Cxxx tandsec 72；) )( ( - - Cxxx cotdcsc 82；) )( ( Cxxxx secdtansec 9；) )( ( - - Cx

8、xxx cscdcotcsc 10；) )( (CxCxxx arccos arcsin1d 112 - - - - ；) )( (CxCxxx cotarc arctan1d 122 - - ；) )( ( Cxxx chdsh 13. shdch 14 Cxxx) )( (例例 3 3求不定积分求不定积分;d1)1(2 xx.d1)2( xx解先把被积函数化为幂函数的方式，再利用根解先把被积函数化为幂函数的方式，再利用根本积分公式，本积分公式，(1)(1) - - xxxxdd122Cx - - - -12121.1Cx - - (2)(2)Cx - - - -1211211 - - xx

9、xxdd121Cx 212得得.2Cx 例例 4 4求不定积分求不定积分.de3 xxx解解 xxxxxd)e3(de3Cx )e3ln()e3(.3ln1e3Cxx 性质性质 1两个函数和的不定积分等于各个函数两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和，不定积分的和，.d)(d)(d)()( xxgxxfxxgxf即即性质性质 1 可推行到有限多个函数代数和的情况，可推行到有限多个函数代数和的情况，即即 xxfxfxfnd)()()(21.d)(d)(d)(21 xxfxxfxxfn性质性质 1 称为分项积分称为分项积分.证根据不定积分定义，只须验证上式右端的证根据不定积分定义，只须验证上

10、式右端的导数等于左端的被积函数导数等于左端的被积函数.).()(xgxf xxgxxfd)(d)( xxgxxfd)(d)(性质性质 2被积函数中的不为零的常数因子可以被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外，提到积分号外，,d)(d)( xxfkxxkf(k (k 为不等于零的常数为不等于零的常数) )证类似性质证类似性质 1 的证法，的证法， 有有即即 xxfkd)( xxfkd)().(xkf 例例 5 5求不定积分求不定积分.d)2sin22( - -xxxxx即各积分常数可以合并即各积分常数可以合并. - -xxxxxd)2sin22( - - xxxxxxxd2dsin2d2

11、- - - 32521522)cos(22ln2CxCxCx)22(54cos22ln232125CCCxxx - - .54cos22ln225Cxxx 其中其中 C = C1- 2C2 + 2C3，因此，求代数和的不定积分时，因此，求代数和的不定积分时，解解 只需在最后写出一只需在最后写出一个积分常数个积分常数 C 即可即可.例例 6 6求求.d)1(23 - -xxx - -xxxd)1(23 - - - - xxxxxd331232 - - - - xxxxd3312 - - - - xxxxxxxdd3d13d2.213|ln312Cxxxx - - - - - 解解例例 7 7求求

12、.d)(1(3xxxxx - - - - xxxxxd)(1(3 - - xxxxxd3 - - xxxd)(6167.7613667613Cxx - - 解解假设假设 y = F (x) 是是 f (x) 的一个原函数，的一个原函数， 那么称那么称 y = F (x) 的图形是的图形是 f (x) 的积分曲线的积分曲线. 由于不定积分由于不定积分CxFxxf )(d)(是是 f (x) 的原函数的普通表达式，的原函数的普通表达式， 所以它对应的图形所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族是一族积分曲线，称它为积分曲线族.积分曲线族积分曲线族 y = F (x) + C 的特点是：的特

13、点是：当当 C 0 C 0 时，向上挪动；时，向上挪动；(1)(1)积分曲线族中恣意一条曲线，积分曲线族中恣意一条曲线， 可由其中某一可由其中某一条条( (例如，曲线例如，曲线 y = F(x) ) y = F(x) ) 沿沿 y y 轴平行挪动轴平行挪动|C|C|单位单位而得到而得到. .当当 C 0 C 0 时，向下挪动；时，向下挪动；(2)(2)由于由于 F (x) + F (x) + CC= F (x) = f (x)， 即横坐标即横坐标一样点一样点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，等，都等于都等于 f (x)， 从而使相应点的切线相互平行从而使相应点的切线相互平行(如如图图)xyOy = f (x)y = f (x)+C例例 8知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的坐标平方的 3 倍，且过点倍，且过点 (0,1)，求此曲线方程，求此曲线方程.按题意，得按题意，得23ddxxy 得得.d332Cxxxy 由条件由条件 y|x = 0 = 1 得得 C = 1，y = x3 + 1.解设所求曲线为解设所求曲线为 y = f (x).于是所求曲线为于是所求曲线为例例 9 9设一质点以速度设一质点以速度 v = 2cos t v = 2cos t 作直线运作直线运动，开场时，质点的位