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文档简介

1、定定义义 1 1 设设函函数数)(xfy 在在点点0 x的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义，如如果果当当自自变变量量x在在点点0 x处处的的增增量量x趋趋于于零零时时，函函数数)(xfy 相相应应的的增增量量00()()yf xxf x 也也趋趋于于零零，即即 0lim0 xy ， 则则称称函函数数)(xfy 在在点点0 x处处连连续续，并并且且称称点点0 x为为函函数数)(xfy 的的连连续续点点. . 第第2.52.5节节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点1. 1. 延续延续注注意意：在在定定义义 1 1 中中，0 xxx ， 0yf xf x ，因因而而，0 x 即即0 xx

2、，0y即即 0f xf x. . 定义定义 2 2 设函数设函数)(xfy 在在0 x的某个邻域内有定义， 若的某个邻域内有定义， 若00lim( )()xxf xf x，则称函数，则称函数)(xfy 在在0 x处连续处连续. . 相应于函数相应于函数)(xf在点在点0 x处的左、右极限的概念，有：处的左、右极限的概念，有： 若函数若函数)(xfy 在点在点0 x处有处有00lim( )()xxf xf x（或（或00lim( )()xxf xf x） ，则称函数） ，则称函数)(xfy 在点在点0 x处左连续（或处左连续（或右连续）右连续）. . 结论：结论：（4 4）函函数数在在0 x 点

3、点连连续续的的条条件件是是： 1 1、)(xf点点0 x 处处有有定定义义； 2 2、0lim ( )x xf x存存在在， 即即)(xf点点0 x 处处的的左左右右极极限限存存在在且且相相等等； 3 3、0lim ( )x xf x存存在在，且且0lim ( )x xf x= =)(0 xf. . 例1:设f xxxxkxx( )ln()1000，在处连续，那么k12. 2. 延续延续图图1 xy12例例5 5 讨论函数讨论函数010001)(xxxxxxf1)1(lim)(lim, 000 xxfxxx当当1)1(lim)(lim00 xxfxx.)(0,)(lim,0的间断点的间断点是函

4、数是函数所以点所以点不存在不存在故极限故极限当不相等当不相等在在左极限与右极限虽都存左极限与右极限虽都存xfxxfx 因为因为y=f(x)的图形在的图形在x=0处产生跳跃现象处产生跳跃现象,我们称我们称x=0为函为函数数f(x)的跳跃间断点的跳跃间断点在在x=0处的连续性处的连续性小结小结: :间断点间断点 振荡间断点振荡间断点极限为无穷的间断点极限为无穷的间断点无穷间断点无穷间断点第二类间断点第二类间断点存在，但不相等）存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限跳跃间断点（左右极限相等）相等）可去间断点（左右极限可去间断点（左右极限第一类间断点第一类间断点)(左右极限都存在的间断点为第一类间断点左

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