正余弦定理应用.

1、2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)三角形的内角和定理三角形的内角和定理: :在在ABCABC中中,A+B+C=_,A+B+C=_,其变式有其变式有: :A+B=_, =_A+B=_, =_等等. .(2)(2)三角形中的三角函数关系三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_;:sin(A+B)=_;cos(A+B)=_;cos(A+B)=_;sin =_;sin =_;cos =_.cos =_.-C-CA B2C22sinCsinC-cosC-cosCA B2A B2Ccos 2Csin 2abc=2RsinAsinBsinC正正弦弦定定理理：公式变形式：公

2、式变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabcsinA=, sinB= sinC=2R2R2R，a:b:c=sinA:sinB:sinCa:b:c=sinA:sinB:sinCa+b+cabc= 2sinA+sinB+sinCsinAsinBsinCR11ABCA:B:C=1:2:3,a:b:c=_ 、在在中中，若若那那么么(1),sinsinABCABabAB中3.利用正弦定理可以实现边角互化利用正弦定理可以实现边角互化1、在、在 中，若中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6,且且a+b+c=15，则，则a=

3、，b= ，c= 。 ABC(1)若A为直角或钝角时: ab一解ab 无解思考：已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角思考：已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角, 解的个数。解的个数。baba已知边已知边a,b和角，求其他边和角和角，求其他边和角absinA无解无解a=bsinA一解一解bsinAa2 B.x2 B.x2C.2x2 D.2x2 C.2x2 D.2x2x2且且xsin 45xsin 4522，所以所以2x2 .2x2 .2322 2.(2014.(2014绵阳模拟绵阳模拟) )在锐角在锐角ABCABC中，角中，角A A，B B所对的边所对的边分别为分别为a,ba,b，若，若2

4、asin B= b2asin B= b，则角，则角A=A= . .【解析】【解析】由正弦定理得由正弦定理得2sin A2sin Asin B= sin B,sin B= sin B,又又sin B0,sin B0,故故sin A= ,sin A= ,又又0 0A A9090，所以，所以A=60A=60. .答案：答案：6060 3332Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：推论：三角形面积公式：三角形面积公式：CabBcaAbcSABCsin21sin21sin21 22

5、22cosbcaacB解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或提炼：设提炼：设a是最长的边是最长的边，则，则ABC是钝角三角形是钝角三角形222cbaABC是锐角三角形是锐角三角形222cbaABC是直角三角形是直角三角形222cba3 3. .在在ABCABC中，中，a a1515，b b1010，A A6060，则，则cos cos B B等于等于( )( )【解析】【解析】选选D.D.因为因为 所以所以所以所以sin Bsin B又因为又因为a ab b，A A6060，所以，所以B B6060，所以所以cos Bcos B2

6、 22 266A B. C D.3333absin Asin B，1510sin 60sin B，233.323261 sin B.3在锐角在锐角ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别是三个内角分别是三个内角A,B,CA,B,C的对边，的对边，A=2B”,A=2B”,试求试求 的取值范围的取值范围. .ab【解析】【解析】由正弦定理得由正弦定理得因为因为ABCABC是锐角三角形，是锐角三角形，所以所以所以所以即即 ，所以，所以所以所以 即即 的取值范围是的取值范围是asin Asin 2B2cos B,bsin Bsin BA0,B0,A B222 （）， （），且，2B0,3B22（）

7、 且，B6423cos B2 2cos B322，a23b，2, 3 .考点考点2 2 余弦定理的应用余弦定理的应用【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014青岛模拟青岛模拟) ) 已知锐角三角形的边长分别已知锐角三角形的边长分别为为1 1，3 3，a a，则，则a a的取值范围是的取值范围是( )( )A.8A.8a10 B.2 a10 B.2 a a C.2 C.2 a a10 D. 10 D. a a8 8(2)(2013(2)(2013安徽高考安徽高考) )设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对边的长分别为所对边的长分别为a,b,c.a,b,c.若若b+c=2a

8、,3sin A=5sin B,b+c=2a,3sin A=5sin B,则角则角C=( )C=( )2210235A. B. C. D. 3346【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.若若a a是最大边，则是最大边，则所以所以3 3a a ；若若3 3是最大边，则是最大边，则所以所以2 a32 a3；当当a=3a=3时符合题意，综上时符合题意，综上2 2 a a ，故选，故选B.B.2221 3 a13a ,a 3, 102221 a 31a31 a 3, 2102( (2)2)选选B.B.由题设条件可得由题设条件可得 由余弦定理，得由余弦定理，得所以所以b c 2a,3a 5b,

9、5ab,37cb,3222222257bbbabc133cos C52ab22b3（）（），2C.33 3.(2014.(2014厦门模拟厦门模拟) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别所对的边分别为为a,b,ca,b,c，若，若acos B+bcos A=csin C,bacos B+bcos A=csin C,b2 2+c+c2 2-a-a2 2= bc= bc，则，则角角B=B= . .【解析】【解析】由由b b2 2+c+c2 2-a-a2 2= bc= bc，得，得 所以所以A=30A=30. .由正弦定理得由正弦定理得sin Acos B+sin Bco

10、s A=sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin Csin Csin C，即，即sin(A+B)=sin Csin C=sin Csin(A+B)=sin Csin C=sin C，解得，解得sin C=1(sin C=0sin C=1(sin C=0舍去舍去) )，所以，所以C=90C=90，所以，所以B=60B=60. .答案：答案：6060 33222bca3bc3cos A2bc2bc2，1.(20141.(2014嘉兴模拟嘉兴模拟) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边所对的边分别为满足分别为满足 (1)(1)求角求角C.C.(2)(2)求

11、求 的取值范围的取值范围. .a csin A sin B.bsin A sin Ca bc【解析】【解析】(1) (1) 化简得化简得a a2 2+b+b2 2-c-c2 2=ab=ab，所，所以以 (2) (2) 因为因为AA（0 0， ），所以），所以所以所以 故故 的取值范围为的取值范围为(1,2(1,2. .a csin A sin Ba bbsin A sin Ca c，222abc1cos C,C.2ab23a bsin A sin B22sin A sin(A)csin C332sin(A),6235A( ,)66 6 ，1sin(A) ( ,1.62a bc【规范解答规范解答

12、5 5】正、余弦定理在三角形中的应用正、余弦定理在三角形中的应用【典例】【典例】(12(12分分)(2013)(2013江西高考江西高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对所对的边分别为的边分别为a a，b b，c c，已知，已知cos C+(cos A- sin A)cos B=0.cos C+(cos A- sin A)cos B=0.(1)(1)求角求角B B的大小的大小. .(2)(2)若若a+c=1a+c=1，求，求b b的取值范围的取值范围. .3【解题】【解题】规范步骤规范步骤, ,水到渠成水到渠成(1)(1)在在ABCABC中，因为中，因为A AB BC

13、 C，所以所以-cos(A+B)+cos Acos B-cos(A+B)+cos Acos B- sin Acos B=0 sin Acos B=0，2 2分分即即sin Asin B- sin Acos B=0,sin Asin B- sin Acos B=0,因为因为sin A0sin A0，所以，所以sin B- cos B=0, sin B- cos B=0, 4 4分分cos B0cos B0，所以，所以tan B= ,tan B= ,又又0 0B B，所以所以B B . . 6 6分分33333(2)(2)由余弦定理，有由余弦定理，有b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2ac

14、cos B-2accos B，因为因为a+c=1,cos B= a+c=1,cos B= ，所以，所以c=1-ac=1-a，代入上式整理得，代入上式整理得 9 9分分 又因为又因为c=1-ac=1-a，由，由0 0c c1 1得得0a10a1, ,所以所以 bb2 21 1，即，即 bb1.1.综上，综上，b b的取值范围是的取值范围是 ，1)1). . 1212分分122211b3(a)24，141212【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013陕西高考陕西高考) )设设ABCABC的内角的内角A, B, CA, B, C所对的所对的边分别为边分别为a, b, c, a, b, c

15、, 若若bcos C+ccos B=asin A, bcos C+ccos B=asin A, 则则ABCABC的形状的形状为为( )( )A.A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.不确定不确定(2)(2013(2)(2013山东高考山东高考) )ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别是的对边分别是a,b,ca,b,c，若若B=2AB=2A，a=1a=1，b= b= ，则，则c=( )c=( )A.2 B.2 C. D.1A.2 B.2 C. D.1332【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.因为因为bcos C+

16、ccos B=asin A,bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦所以由正弦定理得定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sinsin Bcos C+sin Ccos B=sin2 2A,A,所以所以sin(B+C)=sinsin(B+C)=sin2 2A,A,sin A=sinsin A=sin2 2A,sin A=1,A,sin A=1,即即A= A= ，所以三角形，所以三角形ABCABC是直角三角形是直角三角形. .(2)(2)选选B.B.由由B=2A,B=2A,则则sin B=sin 2Asin B=sin 2A，由正弦定理知，由正弦定理知即即 所以所以cos

17、A= cos A= ，所以，所以 所以所以C=C=B BA= A= ，所以，所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=1+3=4=1+3=4，故故c=2.c=2.2ab,sin Asin B1333,sin Asin Bsin 2A2sin Acos A32AB 2A63，2命题角度命题角度2:2:判断三角形的形状判断三角形的形状【典例【典例4 4】(2013(2013陕西高考改编陕西高考改编) )设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对的边所对的边分别为分别为a,b,c,a,b,c,若若bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,且且sinsin2

18、 2B=sinB=sin2 2C,C,则则ABCABC的形的形状为状为( () )A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形C.C.直角三角形直角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形【解题提示】【解题提示】由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断. .【规范解答】【规范解答】选选D.D.因为因为bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinsinBcosC+sinCcosB=sin2 2A,A,所以所以sin(B+C)=sinsin(B

19、+C)=sin2 2A,sinA=sinA,sinA=sin2 2A,A,sinA=1,sinA=1,即即A= ,A= ,又因为又因为sinsin2 2B=sinB=sin2 2C,C,所以由正弦定理得所以由正弦定理得b b2 2=c=c2 2, ,即即b=c,b=c,故故ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形. .2课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分 12 分)(2009 年高考湖北卷)在锐角ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A、B、C 所对的边，且3a2csinA.(1)确定角 C 的大小；(2)若c 7， 且ABC的面积为3 32，求 ab 的值课堂互动讲练课堂互动讲练解：(

20、1)由3a2csinA 及正弦定理得，ac2sinA3sinAsinC.2 分sinA0，sinC32.4 分ABC 是锐角三角形，C3.6 分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)法一：c 7，C3.由面积公式得12absin33 32，即 ab6.8 分由余弦定理得a2b22abcos37，即 a2b2ab7.10 分由变形得(ab)23ab7.将代入得(ab)225，故 ab5.12 分课堂互动讲练课堂互动讲练(1)若若ABC的面积等于的面积等于 ，求，求a，b；(2)若若sinCsin(BA)2sin2A，求求ABC的面积的面积【思路点拨思路点拨】利用余弦定理和三角形面积公式利用余弦定理和三角

21、形面积公式列方程组解方程组得列方程组解方程组得a，b诱导公式、诱导公式、和差角的正弦公式、倍角公式用正弦和差角的正弦公式、倍角公式用正弦定理将角化边列方程组求定理将角化边列方程组求a，b，进而，进而求三角形面积求三角形面积课堂互动讲练课堂互动讲练3课堂互动讲练课堂互动讲练【解】(1)由余弦定理及已知条件，得 a2b2ab4，又因为ABC 的面积等于 3， 所以12absinC 3，得 ab4.2 分联立方程组a2b2ab4，ab4，解得a2，b2.4 分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)由题意得 sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，即 sinBcosA2sinAcosA.当 cosA0

22、 时，A2，B6，a4 33，b2 33.6 分所以ABC 的面积S12absinC122 334 33322 33；8 分课堂互动讲练课堂互动讲练当 cosA0 时，得 sinB2sinA，由正弦定理得 b2a，联立方程组a2b2ab4，b2a，解得a2 33，b4 33.10 分【典例【典例3 3】(2015(2015台州模拟台州模拟) )在在ABCABC中中, ,三内角三内角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,a,b,c,已知已知sinC=2sin(B+C)cosB.sinC=2sin(B+C)cosB.(1)(1)判断判断ABCABC的形状的形状. .(2)(2)设向量设向量m=(a+c,b),