数学归纳法及其应用举例2

1、2.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例课题引入课题引入 观察：观察：633，853，1037，1257，143 11，16511，786711，我们能得出什么结论？我们能得出什么结论？ 任何一个大于等于任何一个大于等于6 6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和的偶数，都可以表示成两个奇质数之和 教师根据成绩单，逐一核实后下结论：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及全班及格格” 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做叫做归纳法归纳法不完全归不完全归纳法纳法完全完全归纳归纳法法 这两种下结论的方法都是由特殊到一般，

2、这种推理方法这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法归纳法是否能保证结论正确叫归纳法归纳法是否能保证结论正确?(1)是不完全归纳法，是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确(2)是完全是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难归纳法，结论可靠，但一一核对困难数学小常数学小常识识1)55(,22 nnaNnn对任何对任何?2.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例新授课新授课 1在等差数列在等差数列 中，已知首项为中，已知首项为 ，公差为，公差为 ， na1ad,2,1,0131211daadaadaa ?,314

3、 nadaadnaan)1(1 归纳归纳22)55( nnan2数列通项公式为：数列通项公式为：验证可知：验证可知：, 1, 1, 1, 11 aaaa1255 a如如2.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例新授课新授课 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第取第一个值一个值n0(例如例如n0=1) 时命题成立，然后假设当时命题成立，然后假设当n=k(kN,kn0)时命题成立证明当时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，

4、这种证明方法叫做数时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法学归纳法.数学归纳法的两个步骤：数学归纳法的两个步骤： ()证明当证明当nn0(n1)(如如n1或或2等等)时，结论正确；时，结论正确；()假设假设nk(kN*且且kn0)时结论正确，并应用此假设证明时结论正确，并应用此假设证明nk1时结论也正确时结论也正确注意注意:运用数学归纳法证题运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可以上两步缺一不可定定 义义2.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例新授课新授课dnaan)1(1 如果如果 是等差数列，已知首项为是等差数列，已知首项为 ，公差为，公差为 ，那么，那么na1ad对一切对一切

5、都成立都成立 Nn证明证明：（：（1）当）当n=1时，时，,1a 左边左边,011ada 右边右边等式是成立的等式是成立的（2）假设当）假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是,)1(1dkaak 那么那么daakk 1dkaddka 1) 1() 1(11这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知的等式对任何），可知的等式对任何 都成立都成立 Nn2.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例新授课新授课数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值

6、 （如（如 或或2等）时结论正确；等）时结论正确； 10 nn0n （2）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确 )N(0nkkkn 且且1 kn递推基础递推基础递推依据递推依据 小时候学数数的经历小时候学数数的经历：先会数：先会数1，2，3；再数到；再数到10；再数到；再数到20以内的数再数到以内的数再数到30以内的数以内的数，终于有一天我们可以骄傲地说：，终于有一天我们可以骄傲地说：我什么数都会数了，为什么呢我什么数都会数了，为什么呢?因为会数因为会数1，2，3有了数数的有了数数的基础基础,会在前一个数的基础上加班会在前一个数的基础上加班1得到后一个数，进行传

7、递，所得到后一个数，进行传递，所以，可以说什么数都会数了以，可以说什么数都会数了“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”2.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例例题讲解例题讲解 例例1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 .)12(5312nn 【分析分析】1+3+5+(2n1)=n2当当n分别取值分别取值1、2、3.k、k+1时的命题是什么？时的命题是什么？n=1 命题：命题：1=12n=2 命题：命题：1+3=22 n=k 命题：命题：1+3+5+.+（2k-1）=k2n=k十十1 命题：命题：1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1

8、)=(k+1)2n=3 命题：命题：1+3+5=322.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例例题讲解例题讲解 例例1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 .)12(5312nn 【分析分析】(2) 第一步应做什么第一步应做什么?本题的本题的n0应取多少应取多少?n0=1, 211（3）在证传递性时，假设什么？求证什么）在证传递性时，假设什么？求证什么?假设假设1+3+5+.+（2k-1）=k2求证求证1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1)=(k+1)2（4）怎样将假设）怎样将假设1+3+5+.+（2k-1）=k2推理变形为推理变形为1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k

9、+1)=(k+1)22.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例例题讲解例题讲解 例例1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 .)12(5312nn 证明证明： （1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立，等式成立（2）假设当）假设当 时，等式成立，就是时，等式成立，就是kn .)12(5312kk 那么那么222)1(121)1(2(1)1(2)12(531 kkkkkkk这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知的等式对任何），可知的等式对任何 都成立都成立 Nn用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1、1+2+

10、3+n=n(n+1)/2 (nN)；证明证明:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=1,等式是成立的。等式是成立的。 (2)假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是 1+2+3+k =k(k+1)/2那么，那么， 1+2+3+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)(k+1)+1/2这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。因此因此,根据根据(1)和和(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nN都成立。都成立。练习：练习：2、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*)证明证明:(1)当当

11、n=1时时,左边左边=1,右边右边=1,等式是成立的。等式是成立的。 (2)假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是 1+2+22+2k-1 =2k-1那么，那么， 1+2+22+2k-1 +2k=2k-1 + 2k =22k-1 =2k+1-1这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。 因此因此,根据根据(1)和和(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nN*都成立。都成立。练习：练习：归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递； 数学

12、归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷由有限到无穷 数学归纳法的基本思想：数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用运用“有限有限”的手段来解决的手段来解决“无限无限”的问题的问题

13、数学归纳法的核心数学归纳法的核心: 在验证命题在验证命题n=n0正确的基础上正确的基础上,证明命题具有传递性证明命题具有传递性,而第二而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。到无限的飞跃。2.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例课课堂堂小小结结2.1 数数学学归归纳纳法法及及其其应应用用举举例例练习练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程的过程.你认

14、为他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么? (1).当当n=1时时,左边左边= , 右边右边= (2).假设假设n=k时命题成立时命题成立 即即那么那么n=k+1时时, 左边左边 =右边右边,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确. 212111) 1(1321211nnnn211111) 1(1321211kkkk1)1(211)2111()3121()211(kkkkk2004，11，20哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想v德国数学家哥德巴赫经过观察德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：发现一个有趣的现象：任何大于任何大于5的整数的整数,都可以表示为三个质数的和都可以表示为三个质数的和,他猜他猜想这个命题是正确的想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明但他本人无法给予证明.1742年年6月月6日日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉家欧拉,欧拉经过反复研究欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明发现问题的关键在于证明任意大于任意大于2的偶数能表示为两个质数的