空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题详细答案

1、【巩固练习】一、选择题1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1,2,1）,（-1,1,2）,则下列向量中是平面的法向量的是（）A. （-1，-2，5）B.（-1，1，-1）C.（1，1，1）D.（1,-1，-1）AiB2. 如图，ABCDABC1D1是正方体，BE1=D1R=工丄，则BE与DF1所成角的余弦值是415A.丄232（）B.178B. D.173.如图，ABGABC是直三棱柱,BCA90，点D、F分别是AB1、AG的中点，若BCCACG，则BD1与AF所成角的余弦值是（）B.、3010C.3015r15D.-104.若向量a（1,8,2）与b（2,1,2）的夹角的余弦值为，则（）9A

2、.222B.2C.2或D.2或-5555、15. 在三棱锥PABC中，ABBC,AB=BC=PA，点0、D分别是AC、PC的中点，OP丄2底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（）AB.虫63210210C.D.60306. （2015秋湛江校级期末）在正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD则直线BC与平面PAC的夹角是（）A.30B.45C.60D.7517. 在三棱锥PABC中，ABBC,AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP丄2底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值是（A721B症CT210D7215636030

3、二、填空题&若平面的一个法向量为n3,0，直线I的一个方向向量为b=111，则I与所成角的余弦值为_.9正方体ABCDABGDi中，E、F分别为AB、CG的中点，则异面直线EF与AG所成角的大小是.10. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3,那么直线与平面所成角的正弦值为_.11. 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，则平面BDF和平面ABD的夹角余弦值是.三、解答题12. 如图，点P在正方体ABCDABiGDi的对角线DiB上，/PDA60.(I)求DP与GC所成角的大小；(n)求dp与平面A1ADD1所成角的大小.13. 如图，四棱

4、锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2,BD2,AE,CF都与平面ABCD垂直，AE1,CF2，求平面ABF与平面ADF的夹角大小.14. 如图(1),在RtABC中，/C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，且DE/BC,DE=2，将ADE沿DE折起到AQE的位置，使AQCD，如图(2).(1)求证：AC丄平面BCDE;若M是AQ的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.15. (2016浙江理)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFEL平面ABC/ACB=90,BE=EF=FC=1,

5、BC=2,AC=3.(I)求证：EF丄平面ACFD(n)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值【答案与解析】1. 【答案】B【解析】排除法.平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零排除A，C,D,选项为B.2. 【答案】A【解析】设正方体的棱长为1,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则所以，所以,因此，与所成的角的余弦值是.3. 【答案】A【解析】如图所示，以C为原点建立的空间直角坐标系,则A1,0,0,B0,1,0,Ci0,0,1,A1,0,1,Bi0,1,1,4.【答案】由中点公式可知,uumrBD1D1uuurAF1.11,h21,01,21,1,2c

6、os30101【解析】由agD=abcosa,b.可得，5510840,即25520,即=2或=555. 【答案】D【解析】QOP平面ABC,OAOC,ABBC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点，射线OP为非负zffl,建立空间直角坐标系Oxyz设ABa,贝Va,0,0,B0,a,0,CTa,0,0,P.D如图，2c14a,0,a44uuirOD44可求得平面PBC的法向量uuirruuirrcosOD,nODnuuLTiOD|n21030.设OD与平面PBC所成的角为则sinuurrcosOD,n丽30OD与平面PBC所成角的余弦值为守6. 【答案】A轴，建立空间直角【解析】如图，以

7、O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，以OS为z坐标系Oxyz。设OD=SO=OA=OB=OC=aa则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-),22urnuuuaauju则CA(2a,0,0),AP(a,),CB(a,a,0),22r设平面PAC的一个法向量为n,ruuuruuu则nCA0,nAP0,2ax0r-,可取n(0,1,1),2ay2az0uuuruuurCBna1二cosCB,n-uue尸|CB|n|陌近2uuur/.CB,n60,直线BC与平面PAC的夹角为90-60=30故选Ao7. 【答案】DQOP平面ABC,OAOC,ABBC,OAOB,OAO

8、P,OBOP.xyz如图，【解析】以O为原点，射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O30-设ABa,则A。,。3,。,CTa,0,0.设OPh,则P0,0,h.QPA2a,h.2a,OD厶,0a,44可求得平面PBC的法向量iuiirrcosOD,nuuLr.-r-ODnuuirrODn21030uuirrcosOD,n设OD与平面PBC所成的角为，则sin21030,8. 【答案】3【解析】由cosn,b(3,3,0)(1,1,),3232.111所成角的余弦值为6x3939【答案】30【解析】以A为原点建立直角坐标系(如图所示)则E(1,0,0),uuuEF(1,2,1),F(2,2,1

9、),CuuirAG(2,2,0),(2,，设B(2,0,2,2),A(0,0),0,2),COSuuuuuurEF,AGuuuuuuuEFA1C1-uuuuuuu|EF|AO|(1,2,1)(2,2,0)仝2,muuuur二cosEF,A1C1设平面BDF和平面ABD的夹角为，则10. 答案】34【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,正三角形ABC二E为BC中点，TBC丄AESALBC/BC丄面SAEBCLAF,AFLSE二AF丄面SBC/ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形

10、边长3,AS=3-SE=,AF=,11. 【答案】111【解析】因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE所以AE!AB.又因为平面ABEFL平面ABCDAE平面ABEF,平面ABEFT平面ABCD=AB所以AE!平面ABCD.所以AE!AD.因此，AD,AB,AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因为FA=FE/AEF=45,所以/AFE=90从而,所以,设平面BDF的一个法向量为，并设(x,y,z)uuuBD=1,10,UlUBF=rmungBDruirngBF0.xy0,31yz

11、220.取y=1,则x=1,z=3.从而.rur由AE!平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为AE=0,0,1coscosuuuuuri,AE12. 【解析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设DA为单位长，则?一连结BD，B1D1，在平面BBDD内，延长DP,交BD1于点H,设=(m0)，由条件知=60.由=|cos,可得2m=.解得m=.所以=.(I)因为cos=,所以=，即DP与CC1所成的角的大小是45.(H)因为平面的一个法向量是，又cos=,所以=.即DP与平面AADD1所成角的大小为60注意：由于点P在正方体ABCDA1BCD的对角线DB上且/PD/=60，直接设

12、点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法.显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查13. 【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系设平面ABF的法向量为，则由得令，得.同理，可求得平面ADF的法向量因为，所以平面ABF与平面ADF垂直所以平面ABF与平面ADF的夹角214. 【解析】15. 【解析】(I)延长ADBE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFEL平面ABC且ACLBC,所以BF丄AC又因为EF/BC,

13、BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，贝UBFLCK所以BF丄平面ACFD(n)方法一：过点F作FQLAK,连结BQ因为BF丄平面ACK所以BFLAK,则AKL平面BQF,所以BQLAK所以，/BQF是二面角B-AD-F的平面角.在RtACK中,AC=3,CK=2,得FQ.13在RtBQF中，FQ313,BF3，得cosBQF3.134所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为方法如图，延长AD,BECF相交于一点心则厶BCK为等边三角形.取BC的中点O贝UKOIBC,又平面BCFE1平面ABC,所以，KC平面ABCOxyz.以点O为原点，分别以射线OBOK的方向为x,z的正方向，建立空间直角坐标系由题意得B(1，00),C(1，0,0),K(0，0,、3)，4A(1,3,0),E2,0,Fuuruuir因此，AC(0,30),AK(1,3uu