专题09 分式方程（原卷版）

1、专题09 分式方程【思维导图】【知识要点】知识点一：分式的基础概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。与分式有关的条件：要求表示分式有意义分母0分式无意义分母=0分式值为0分子为0且分母不为0分式值为正或大于0分子分母同号 A>0,B>0 A<0,B<0分式值为负或小于0分子分母异号A>0,B<0A<0,B>0分式值为1分子分母值相等A=B分式值为-1分子分母值互为相反数A+B=0知识点二：分式的运算（重点）基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母

2、表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。n 分式的约分约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。分式约分步骤：1）提分子、分母公因式2）约去公因式3）观察结果，是否是最简分式或整式。注意：1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式n 分式的通分通分的定义：根据分式

3、的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。分式通分的关键：确定最简公分母确定分式的最简公分母的方法1.因式分解2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；3.字母：各分母的所有字母的最高次幂4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂5.积约分与通分的相同点：n 分式的四则运算与分式的乘方1）分式的乘除法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

4、注意：1.分式乘方要把分子、分母分别乘方。2.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。3）分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为4）整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。5)分式混合运算的运算运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.n 整数指数幂Ø ØØ Ø （）Ø

5、 Ø （）Ø （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。n 科学记数法有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1a10，n是正整数)注意：1）1a102）n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）知识点三 分式方程解分式方程的基本1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解 若

6、最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解 4）写出答案增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。分式方程解决实际问题的步骤：1. 根据题意找等量关系2. 设未知数3. 列出方程4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5. 写答案【考查题型】考查题型一 分式有意义的条件【解题思路】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负典例1（2020

7、3;四川遂宁市·中考真题）函数y中，自变量x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2且x1Dx2且x1变式1-1（2020·湖北黄石市·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）A，且BCD，且变式1-2（2019·甘肃中考真题）使得式子有意义的x的取值范围是（）x4Bx4Cx4Dx4考查题型二 分式值为0的条件【解题思路】分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.典例2（2020·四川雅安市·中考真题）若分式的值为0，则x的值为（）A0B1C1D±1变式2-1（2020·贵州贵阳市·中考真题）当时，下

8、列分式没有意义的是（ ）ABCD变式2-2（2019·山东聊城市·中考真题）如果分式的值为0，那么的值为（ ）A-1B1C-1或1D1或0考查题型三 分式求值【解题思路】熟练掌握分式的性质式解题的关键典例3（2020·武汉模拟）若，则的值是（）A5B4C3D2变式3-1（2019·江苏无锡市·九年级零模）若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（）A3个B4个C6个D8个变式3-2（2019·湖北孝感市·）使分式的值为整数的所有整数的和是（ ）AB0C1D2考查题型四 探索分式的基本性质【解题思路】熟练掌握分式的性质式解题的关

9、键典例4（2020·河北中考真题）若a不等于b，则下列分式化简正确的是（ ）ABCD变式4-1（2020·河北邯郸市模拟）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（）A扩大6倍B扩大9倍C不变D扩大3倍变式4-2（2020·江苏淮安市三模）若=，则的值为（）A5BC3D变式4-3（2020·山东烟台市期末）分式可变形为（ ）ABCD变式4-4（2020·河北模拟）把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）A不变B缩小为原来的C扩大为原来的3倍D不能确定考查题型五 分式的运算典例5（2020·山东威海市

10、·中考真题）分式化简后的结果为（ ）ABCD变式5-1（2020·天津中考真题）计算的结果是（ ）ABC1D变式5-2（2020·湖北随州市·中考真题）的计算结果为（ ）ABCD变式5-3（2020·四川攀枝花市·中考真题）中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪2020年1月12日，世界卫生组织正式将2019新型冠状病毒名为该病毒的直径在0.00000008米-0.000000012米，将0.000000012用科学计数法表示为的形式，则为（ ）ABC7D8变式5-4（2020&#

11、183;山东滨州市·中考真题）冠状病毒的直径约为80120纳米，1纳米米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（ ）A米B米C米D米考查题型六 解分式方程【解题思路】熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的关键典例6（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）方程的解是（ ）ABCD变式6-1（2020·四川甘孜藏族自治州·中考真题）分式方程的解为（ ）ABCD变式6-2（2020·四川南充市·中考真题）若，则x的值是 （ ）A4BCD4考查题型七 分式方程的解【解题思路】熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键

12、.注意在任何时候都要考虑分母不为0典例7（2020·甘肃兰州市·中考真题）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是ABC且D且变式7-1（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为x5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A-1B-2C-3D0变式7-2（2020·四川成都市·中考真题）已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）A3B4C5D6变式7-3（2020·四川遂宁市·中考真题）关于x的分式方程1有增根，则m的值（）Am2Bm1Cm3Dm3考查题型八 列分式方程【解题思

13、路】找题中等量关系典例8（2020·湖南长沙市·中考真题）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）ABCD变式8-1（2020·辽宁本溪市·中考真题）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数

14、不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）ABCD变式8-2（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）ABCD考查题型九 利用分式方程解决实际问题典例9（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）“

15、节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多变式9-1（2020·广东中考真题）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每

16、个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用变式9-2（2020·浙江中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同求乙车间需临时招聘的工人数；若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由变式9-3（2020