相似三角形知识点及典型例题

1、相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似

2、。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。(6)判定直角三角形相似的方法：以上各种判定均适用。如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，RtAABC 中，/ BAC=90 ,AD是斜边 BC上的高，则有射影定理如下：m d(1) ( AD) 2=BD- DC(2) (AB) 2=BD BC ,，一、,_、2(3) ( AC) =CD- BC。注：由上述

3、射影定理还可以证明勾股定理。即(AB) 2+ (AQ 2= (BC) 2。典型例题:例1 如图，已知等腰 那BC中，AB=AC, AD，BC于D, CG II AB, BG分别交 AD , AC于E、 F,求证：BE2 =EFEG人 G证明：如图，连结 EC , AB = AC , AD ± BC ,/ ./ABC = / ACB , AD 垂直平分 BC . BE = EC , Z 1 =Z 2 , ABC- Z 1 =Z ACB- / 2 ,I lA/B D C即 / 3 = / 4 ,又 CG / AB , . / G = / 3 , . / 4 = / GCE史才又./ CE

4、G = / CEF, CEFs GEC,. EG = CEEl .EC2 = EG- EF,故 EB2=EF EGE/【解题技巧点拨】C本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明.而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ,把原来处在同一条直线上的三条线段BE, EF, EC转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。FB FD(2)例2 已知：如图，AD是RtAABC斜BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于 F,求证：BA = AC证法一：如图，在 RtAABC 中，BAC=Rt/, AD ± BC ,，

5、/3 = /C,又E是RtAADC的斜边AC上的中点，工ED= 2 AC = EC,2 = Z C,又/ 1 =Z 2, . . / 1 =Z 3,FB BD ./DFB =/AFD , DFB AFD ,. FD = AD BD BA又 AD 是 RtAABC 的斜边 BC 上的高，Rt AABD Rt ACAD，.二 AD = ACFB BA FB FD由(1 ) (2)两式得 FD = AC ,故 BA = ACFB FD(1)证法二：过点 A作AG / EF交CB延长线于点 G,则BA = AG(2),E是AC的中点，ED/AC,，D是GC的中点，又 AD，GC ,AD是线段GC的垂直

6、平分线，AG = ACFB FD由(1 ) (2)两式得：BA= AC ,证毕。【解题技巧点拨】BD本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD ”过渡，使问题得证，证法中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证.一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形 ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F,则AAGDss例2、已知 ABC中，AB=AC , / A=36 ° , BD是角平分线, 求证： ABCA BCD例3:已知，如图， D为4ABC内一点连结 ED、AD ,以B

7、C为边在 ABC外作/ CBE= / ABD , / BCE= / BAD求证： DBE ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB , E、F,是BC边的三等分点，连结 AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三 角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例6:已知：如图，在 ABC中，/ BAC=90 0, M是BC的中点,求证:1) MA2=MD *me；2/ 、 AE2 ME2) ) 2=AD2 MDDM，BC于点E,交BA的延长线于点 D。例7 :如图 ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB于F,求证：AE: ED=2AF : FB。例5、

8、 ABC中，在 AC上截取 AD,在 CB延长线上截取 BE ,使AD=BE ,求证：DFAC=BC,FE三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。8 :已知：如图E、F分别是正方形 ABCD的边AB和AD上的点,EBABAF 1=_。求证：/ AEF= ZFBDAD 3求证：SQ / AB , RP/ BC9、在平行四边形 ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线,AB / ED, BC / FE,求证：AF / CD例10、已知 A、C、E和B、F、D分别是/。的两边上的点，且例11、直角三角形 ABC中，/ ACB=90 ° , BCDE是正方形，AE交B

9、C于F, FG / AC交AB于G,求证：FC=FG例12、RtAABC锐角C的平分线交 AB于巳交斜边上的高 AD于。，过。弓I BC的平行线交 AB于F,求证：AE=BFD、填空题课后作业1 .已知：在 那BC中，P是AB上一点，连结 CP,当满足条件/ ACP二 时，AACPA ABC .或/ APC=八2或AC =2 .两个相似三角形周长之比为4 ： 9,面积之和为291 ,则面积分别是3 .如图，DEFG 是 RtAABC的内接正方形，若 CF = 8 , DG = 4 v2 ,则BE =4 .如图，直角梯形 ABCD中，AD | BC, AD ± CD , AC 

10、7;AB ,已知 AD = 4 , BC = 9,贝U AC =5 . ZABC 中，AB = 15, AC = 9,点D是AC上的点，且 AD=3 , E在AB上，AADE与3BC相似，则 AE的长等ABCD ,则/ BDC的度数为6.如图，在正方形网格上画有梯形B E第(3)题图O第(6)题图7 . AABC 中，AB=AC, /A = 36设AB = x,则关于x的方程是,BC = 1 , BD 平分/ ABC 交于 D ,贝U BD =8 .如图，已知 D是等边那BC的BC边上一点，把ABC向下折叠，折痕为MN ,使点A落在点D处，若BD ： DC=2 ： 3,则 AM ： MN=二、

11、选择题9.如图，在正祥BC中,D、E分别在AC、AB上,则有()A. AAEDsbedB. AAEDscbdC. AAEDsABDD. ABADBCD10 .如图，在那BC中,D为AC边上一点，/DBC=/A, BC=<6 , AC =3 ,则CD的长为()A.1B.C.2D.D第(n)题图第(i题图第(9)题图11 .如图，CABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E,与DC交于点F,则图中相似三角形共有 （）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对P是Rt祥BC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截祥BC,使截得的三角形与 AABC相似，满足这样条件的直线共有（）A.

12、 1条B.2条C. 3条D. 4条13 .如图，在直角梯形ABCD中，AB = 7, AD = 2, BC=3 ,若在 AB上取一点P,使以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的 P点有（）A. 1个B. 2个C. 3个三、解答下列各题14.如图，长方形 ABCD中，AB=5 , BC= 10 ,点P从A点出发，沿AB作匀速运动，1分钟可以到达 B点，点Q 从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经过多少时间， 线段PQ恰与线段BD垂直？第（14）题图15 .已知：如图，正方形 DEFG内接于RtAABC, EF在斜边

13、BC上，EH XAB于H.求证：（1） AADGHED ; （2） EF2= BE FCB第（15）题图(答案)例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角/ G外，由BC / AD可得/ 1 = 72,所以 AGDA EGC。再/ 1 = 7 2 (对顶角)，由 AB / DG 可得/ 4=/G,所以 EGCA EAB。例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然/ C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于 计算也是一种常用的方法。证明：A=36 ° , ABC 是等腰

14、三角形，ABC= / C=72 ° 又 BD 平分/ ABC ,则/ DBC=36 °在 4ABC 和 4BCD 中，/ C 为公共角，/ A= Z DBC=36 ° /.A ABC BCD例3分析： 由已知条件/ ABD= /CBE, / DBC公用。所以/ DBE= / ABC,要证的 DBE和 ABC ,有一对角相 等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到 CBEsABD,这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。BC BE 一 BC AB证明：在4CBE 和4ABD 中，/ CBE= Z

15、ABD, / BCE= Z BAD /. CBEA ABD=即：=AB BD BE BD DBE 和 ABC 中，/ CBE= /ABD, / DBC 公用CBE+ / DBC= ZABD+ / DBC / DBE= Z ABC 且BC AB-=. DBE ABCBE BD例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形: (1)如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中/ 1 = 72,则 ADEsABC称为“相交线型”的相似三角形。(3)如图：/ 1 = Z2, /B=/D,则ADEsABC,称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图

16、形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF与/ ECA解：设 AB=a ,贝U BE=EF=FC=3a ,AF FC由勾股定理可求得 AE=寸2a ,在 EAF与/ ECA中，/ AEF为公共角，且 二C =72所以 EAF ECAEF AE例5分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF: FE=BC : AC,再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过D点作DK / AB ,交BC于K , DK /AB , DF: FE=BK : BE又AD=BE , DF: FE=BK : AD ,而 BK : AD=BC : AC即 DF: FE= BC : AC, .

17、. DF *C=BC FE例 6 证明：(1) BAC=90 0, M 是 BC 的中点，MA=MC , /1=/C,DM ± BC ,/ C= / D=90 0- / B , . / 1= / D , / 2= /2 , . MAEs MDA , . MA =弊 MA2=MD *ME,MA一一一 2一AEMEAE2MAME= =ADMAAD2MDMA(2) MAE MDA , AEADMDMAMDMEMD评注：命题1 如图，如果/ 1= /2,那么 ABDsACB, AB2=AD *ACo命题2 如图，如果 AB2=AD ,AC,那么 ABD ACB , / 1= /2。例7 分析

18、：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“ AE: ED”的特征，作 DG / BA交CF于G,得 AEFA DEG ,AEDEAFDG,AE=DF=2k , BD= 3<2kDF I=J2k BG= 3t2k 、12k = 2、1r2kAFFG 1AEBG 2又/A=/FGB=90 0.A AEFA GBF . . / AEF= / FBD分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件,故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标, DS。选择适当的比例

19、线段。 要证明SQ/ AB ,只需证明AR: AS=BR :证明：在 ADS和AARB中。. / DAR= / RAB= 1 / DAB , / DCP=/ PCBZ ABC /.A ADSAABR22ARASBRDS A八 一八一 AR 但 ADSA CBQ , . DS=BQ ,贝U ASBR,SQ / AB ,同理可证，RP / BCBQAE 2AFAF1与结论工 =2AF =JA相比较，显然问题转化为证 DG =FB 。EDFB12BF2证明：过D点作DG / AB交FC于G则 AEFs DEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所 得三角形与原三角形相似）王=竺 （1

20、）DE DG.D为BC的中点，且 DG / BF，G为FC的中点则 DG为 CBF的中位线，DG =1 BF （2 ）将（2 ）代入（1 ）得:-2AE AF 2AFDEBF2分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角 分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角 三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明:作 FG XBD ,垂足为 Go 设 AB=AD=3k 贝U BE=AF=k. /ADB=45 0, / FGD=90 0 . . / DFG=45 0

21、. . DG=FG=例10分析：要证明AF/CD,已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AF / CD,只要证明 OA = OFOC证明： AB / ED, BC / FE.1.OD OA即可,OBOE OD '因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。OE OF 一一=，两式相乘可得:OC OBOA OFOC OD例11分析：要证明FC=FG,从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用 比例线段来证明。要证明 FC=FG,首先要找出与 FC、FG相关的比例线段，图中与 FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG