高考数学总复习专题3.2 数列（解析版）新课标试卷

1、专题3.2 数 列题组一、数列的求和与通项 1-1、(2022·江苏南京市高淳高级中学高三10月月考)已知是公差不为零的等差数列，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】（1）由题意，即，联立解得，所以数列的通项公式为；（2）由（1）得，所以1-2、(2022·苏州期初考试-)(本小题满分10分-)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2(nN*)(1)求an的通项公式；(2)设，若，求Tn【解析】(1)由已知Sn2an2(nN*)，当n2时，(nN*)得：， 2分故1，设cn，则cncn11(n2)，又n1时，a1S12a142，得a12

2、，则c1， 4分故数列cn是以1为首项，1为公差的等差数列， cn1(n1)×1n，ann×2n 5分(2)法一：由，得bn，则Tn1×()12×()23×()3n×()n， 所以Tn1×()22×()3n×()，由错位相减法得Tn()2()3()nn×()，7分得Tn1()n×()n，Tnn×()n2(2n)×()n 10分-法二：因为，所以，则Tn 10分-1-3、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(10分-)设数列an的前n项和为Sn，满足S

3、n1nan(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列|的前n项和为Tn，求T2n的表达式【解析】(1)当n1时，a11a1，所以a1当n2时，Sn1nan，Sn11(n1)an1两式相减得：，即(n2)ana1×××××××××××××又a1也满足上式， 5分(2)令bn(2n1)2n2n(2n1)4n则，bn为等差数列10分-1-4、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试-)已知数列为等差数列，且公差不为0，是与的等比中项(1)求数列的通

4、项公式，(2)记，求数列的前项之和【解析】：(1)设数列的公差为，由已知得：即，又(2)1-5、【2022·广东省深圳市第七高级中学10月月考】已知等比数列中，且是和的等差中项.等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，由题意可得：，即，联立，可得，则数列的通项公式为；由题意可得：，即，则数列的通项公式为.（2），则1-6、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知数列满足：，且.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足：，定义使为整数叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.【解析】（1），当时，得，的

5、奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2，(为奇数)(为偶数)（2）设，令，区间内的“幸福数”为，所有“幸福数”的和为.题组二、数列的奇偶性问题-试卷2-1、（2021·广东珠海·高三月考）已知数列为等差数列，且，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求【详解】（1）因为数列是等差数列，（2），数列的下标为偶数的项为以为首项，为末项，项数为的等差数列；下标为奇数的项为以4为首项，公比为64的等比数列，项数为n；2-2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列an前n项和为Sn，.（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（2）设，求bn前n项和T

6、n.【解析】（1）由得.又因为，所以，则，解得；故，.（2）.当为偶数时：.当为奇数时：.综上得.题组三、等差数列与等比数列的证明或判断3-1、(2022·泰州中学期初考试-)(12分)已知数列满足:，N*且.（1）求证: 数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.【解析】（1）证明：又数列是以首项为，公差为的等差数列（2）由（1）得，（3）解：3-2、(2022·江苏泰州中学高三10月月考)数列中，设（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数【解析】（1）将两边都加，得，而，即有，又，则，所以数

7、列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，则，因此，所以；（3）由（2）知，于是得，则，因此，所以不超过的最大的整数是2021题组四、数列中的证明4-1、【2022·广东省深圳市外国语学校第一次月考10月】已知等差数列的前项和为，且，（1）求；（2）设数列的前项和为，求证：【解析】【分析】（1）由已知条件列出方程组即可得出答案；（2）结合（1）中的通项公式，利用裂项相消法求出数列和，然后利用放缩法即可得出答案.【详解】（1）设公差为，由题，解得，所以（2）由（1），则有则所以4-2、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】已知数列，满足，的前项和为，前项积为.

8、（1）证明：是定值；（2）试比较与的大小.【解析】【分析】（1）将已知递推关系式化为，由此可求得，代入整理可得结论；（2）由（1）可得，根据数列单调递增和可确定结果.【详解】（1）证明：由得：，则，.（2）由（1）知：，单调递增.又，当时，当时，；当时，.题组五、数列中的含参问题-试卷5-1、(2022·湖南省长郡中学开学考试-)在数列an为等差数列，且a3+a718；数列an为等比数列，且a2a664，a2a30；Sn1an1（n2）这三个条件中任选一个，补充到下面的问题-试卷中，并加以解答已知数列an的前n项和为Sn，a11，_（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在正整数k8

9、，9，10，使Sk512，若存在，求出相应的正整数k的值；若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：选择条件（1）因为数列an为等差数列，且a3+a718，a11，可得2a1+8d18，即2+8d18，解得d2，则an1+2（n1）2n1；（2）由（1）可得Snn（1+2n1）n2，当n8时，Sn64512，当n9时，Sn81512，当n10时，Sn100512，所以不存在正整数k8，9，10，使得Sk512选择条件（1）数列an为等比数列，设公比为q，且a2a664，a2a30，a11，可得a1qa1q564，a12q30，解得q2（2舍去），则ana1q

10、n1（2）n1；（2）Sn1（2）n，当n8时，Sn0512，当n9时，Sn271512，当n10时，Sn0512，所以不存在正整数k8，9，10，使得Sk512选择条件（1）Sn1an1（n2），可得S1a21a11，即a22，当n3时，Sn2an11，又Sn1an1，两式相减可得an1Sn1Sn2an1an1+1，化为an2an1，即an从第二项起为公比为2的等比数列，可得an22n22n1，对n1也成立，故an2n1，nN*；（2）由（1）有Sn2n1，当n8时，Sn281255512，当n9时，Sn291511512，当n10时，Sn21011023512，所以存在正整数k8，9，10，使得Sk5125-2、（2021·广东罗湖·深圳第三高中高三月考）已知：数列满足（1）求； （2）求满足的最大的正整数n的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据递推公式求出，再根据，即可得到的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，偶数项是以为首项，为公比的等