高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (4)

1、1第四节第四节 平面的方程平面的方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角五、小结五、小结四、点到平面的距离四、点到平面的距离2xyzOn 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于法线向量的法线向量的特征：特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量.已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程一块平面可以有许多法向量一块平面可以有许多法向量.0M M 一平面一平面, 这向量就叫做该平面这向量就叫做

2、该平面的的法线向量法线向量(法向量法向量).3xyzO MM0平面的点法式方程平面的点法式方程平面称为方程的图形平面称为方程的图形. CBAn, 法向量法向量0)()()(000 zzCyyBxxAn0MM平面上的点都满足上平面上的点都满足上 述方程述方程. 不在平面上的不在平面上的点都不满足上述方程点都不满足上述方程. 上述方程称为平面的方程上述方程称为平面的方程,00 nMM),(0000zyxM已已知知点点),(zyxM平面上任一点平面上任一点 000,zzyyxx 4解解 21PP取取 n平面方程为平面方程为, 0)1(4)1()1( zyx化简得化简得. 024 zyx 4, 1,

3、1 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程122011 kjin例例1 的的及及求经过点求经过点)0 , 1, 1()1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1(321 PPP平面方程平面方程. 0 , 1, 1 1, 2, 2 31PP3121PPPP 1P2P 3P 4, 1 , 1, CBA法一法一5的的及及求经过点求经过点)0 , 1, 1()1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1(321 PPP平面方程平面方程.解解所求方程为所求方程为0122011111 zyx平面方程为平面方程为. 024 zyx 1P2P 3P ),(zyxP 法二法二6平

4、面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxACzByAx D 0 DCzByAx 平面的一般式方程平面的一般式方程法向量法向量 CBAn, 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程 任意一个形如上式任意一个形如上式0)(000 CzByAxABC的的x、y、z的三元一次的三元一次方程都是平面方程方程都是平面方程.7, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0D平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于xOy 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论0, 0 CBCA0, 0 CB类

5、似地可讨类似地可讨论论y轴轴轴轴zxOz面面 yOz面面0 DCzByAx 平面的一般式方程平面的一般式方程, 0 D8设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解例例2 设平面与设平面与x, y, z 三轴分别交于三轴分别交于求此平面方程求此平面方程.),0 , 0(),0 , 0 ,(bQaP),0, 0, 0( cba其其中中), 0 , 0(cR1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程9x轴轴上上截截距距y轴上截距轴上截距z轴轴上上截截距距 今后今后,由截距式方程作平面的图形特别方

6、便由截距式方程作平面的图形特别方便! 当平面不与任何坐标面平行当平面不与任何坐标面平行,且不过原点且不过原点时时,才有截距式方程才有截距式方程.并作图并作图.342120 xyz将化为化为截距式方程截距式方程,1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程10设平面过点设平面过点 及及x轴轴,求其方程求其方程.用平面的点法式方程用平面的点法式方程. 由点法式方程得平面方程由点法式方程得平面方程: 求法向量求法向量解解 法一法一kjkji 22130010)2( 1)1(2 zy即即)2, 1 , 3(0 M02 zy0OMin xyzOn 0M例例3 11用待定系数法用待定系数法. 设平面过

7、点设平面过点 及及x轴轴, 求其方程求其方程. 即即 法二法二0 DCzByAx设平面方程是设平面方程是又又, 0 CzBy从而从而平面方程是平面方程是02 CB 即即从而平面方程是从而平面方程是.2CB . 02 CzCy. 02 zy得得点点(0,0,0)及及(1,0,0)在平面上在平面上, , 0 D A)2, 1 , 3(0 M)2, 1 , 3(0 M在平面上，在平面上，12 易知平面上三点易知平面上三点 O(0,0,0), P(1,0,0), 设设M(x,y,z)为平面上的任意一点为平面上的任意一点, 可得其方程可得其方程 法三法三)2, 1 , 3(0 M 设平面过点设平面过点

8、及及x轴轴, 求其方程求其方程.)2, 1 , 3(0 M根据三向量根据三向量 OM, 共面的充要条件共面的充要条件,有有 OM0, OP 0001213 zyx02 zy00 OPOMOM即即 13 小结小结 求平面方程常用两种方法求平面方程常用两种方法: 利用条件定出其中的待定的系数利用条件定出其中的待定的系数, 此方此方法也称待定系数法法也称待定系数法. 主要是利用条件用向量代数的方法找出主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量平面的一个法向量.(1) 用平面的点法式方程用平面的点法式方程.(2) 用平面的一般式方程用平面的一般式方程141 2 定义定义（通常不取钝角）（通常不

9、取钝角）两平面法向量的夹角称为两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角三、两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角. . 0:11111 DzCyBxA 0:22222 DzCyBxA 1n2n 1111,CBAn 2222,CBAn 15按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有| |cos2121nnnn 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 两平面垂直、平行的充要条件两平面垂直、平行的充要条件222222212121212121|CBACBACCBBAA 1111,CBAn 22

10、22,CBAn 16例例 4 研究以下各组里两平面的位置关系研究以下各组里两平面的位置关系:013, 012)1( zyzyx解解 cos601cos 两平面相交两平面相交,.601arccos 夹角夹角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA ,31)1(2)1(|311201|22222 17,)0 , 1 , 1(1 M两平面平行两平面平行但不重合但不重合.211,422,)0 , 1 , 1(1 M两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合(3) 210,42220 xyzxyz 解解01224, 012)2( zyxzyx解解 ,1 , 1, 21 n 2,

11、 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行2)0 , 1 , 1( M2)0 , 1 , 1( M18点到平面的垂直距离点到平面的垂直距离0:),(0000 DCzByAxzyxP 是是平平面面设设外一点外一点,.0的的距距离离到到平平面面求求 P四、点到平面的距离四、点到平面的距离 ,),(1111 zyxP任任取取n0P CBAn, 1Pd并作向量并作向量.01PP的距离的距离到平面到平面 0P d|cos| |01 PP),(01之之夹夹角角的的法法向向量量与与是是nPP 即即 d|01PP|n|cos| |n|01nnPP 由于由于nPP 01),(111000CzByAxC

12、zByAx D 1P19222000|CBADCzByAxd d CBAn, |01nnPP nPP 01DCzByAx 0000:),(0000 DCzByAxzyxP 到到平平面面点点的距离公式为的距离公式为20222000|CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式313 填空填空的的到到平平面面点点01022)1 , 1 , 1(0 zyxM).(距距离离为为解解222)1(22|101)1(1212| d313 21解解例例5平平行行且且一一平平面面与与平平面面075420 zyx,6个单位个单位相距相距求这平面方程求这平面方程.设所求平面为设所求平面为05420 zy

13、xD 在已知平面在已知平面075420 zyx上任取一点上任取一点).0,47, 0(222000|CBADCzByAxd , 62516400|7| D.126|7| D133 D119 D或或故所求平面为故所求平面为01335420 zyx或或01195420 zyx22课堂练习课堂练习 1 . 两平行平面两平行平面 与与 间距离为间距离为( ),其其 的方程分别为的方程分别为:(A) 1(B)21(C) 2(D) 21A 选择题选择题, 0218419 zyx2 1 ,1 2 提示提示,21 ).821, 0, 0(1 上上任任取取一一点点可可在在 0428419 zyx222000|c

14、BADCzByAxd 23 2.已知平面通过点已知平面通过点(k, k, 0)与与(2k, 2k, 0),其中其中k0,且垂直于且垂直于xOy平面平面,则该平面的一般式方程则该平面的一般式方程Ax + By + Cz + D = 0的系数必满足的系数必满足( ).a; 0,)( DCBAa; 0,)( DACBb; 0,)( DBACc. 0,)( DBACd解答解答代代入入与与将将)0 ,2 ,2()0 ,(kkkk,0中中 DCzByAx分别得分别得0 DBkAk022 DBkAk, 0 D. 0 C,BA 24 ,1 , 1, 11 n 12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn

15、5,15,10 0)1( 1)1(3)1(2 zyx化简得化简得. 0632 zyx平面方程为平面方程为解解 1 , 3, 2. 求过点求过点(1,1,1)且与平面且与平面7 zyx和平面和平面051223 zyx都垂直的平面方程都垂直的平面方程.练习练习 1、25设所求平面为设所求平面为1 czbyax1 V12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得(向量平行的充要条件向量平行的充要条件)解解2、 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面求平行于平面而与三个坐标面而与三个坐标面cba61161 t

16、 xyzOabc611161cba 26,61ta ,1tb tc61 ttt61161611 代入体积式代入体积式61 t1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为12131 abccba61161 t 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面求平行于平面而与三个坐标面而与三个坐标面273 3、 解解),()0 ,(),0 , 0 , 0(21aaaMaaMO和和平平面面通通过过点点 ).0( axOy面面的的夹夹角角求求该该平平面面与与所求平面方程为所求平面方程为00 aaaaazyx21,MMO

17、故故过过三点的平面方程为三点的平面方程为02 zyx的方程为的方程为平面平面xOy. 0 z设两平面的夹角为设两平面的夹角为, 则则 cos222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 36 .36arccos 222222100)2(11|1)2(0101| 28设平面为设平面为, 0 DCzByAx, 0 D0236 CBA2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解4、 与平面与平面 824 zyx 垂直且过原点及点垂直且过原点及点 )2, 3, 6( 的平面方程为的平面方程为( ). nxyzO ,CBA 29如何确定平面的法向量如何确定平面的法向量?答答确定平面的法向量是建立平面方程的关键确定平面的法向量是建立平面方程的关键所在所在,平面法向量的确定要根据不同的条件采用平面法向量的确定要根据不同的条件采用不同的方法不同的方法:(1) 如果已知点如果已知点M0(x0, y0, z0)在平面在平面 上的垂足上的垂足为为M1(x1, y1, z1),则则 ;,010101zz