第2章海洋中声场的基本理论

1、第2章 海洋中声场的基本理论哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理22.1 海洋中声场的射线理论 主要内容 介质中的波动方程 声线折射 声强、聚焦因子和焦散 三维折射 距离有关波导的Snell定律 海洋声层析哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理32.1 海洋中声场的射线理论 射线理论尽管存在近似，但仍然是非均匀介质中研究频率足够高的声波传播的有效方法 密度非均匀介质中的波动方程 欧拉方程： 连续性方程： 状态方程：01pdtdv0vdtddtdcdtdp2Spc/哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理42.1 海洋中声场的射线理论 密度非均匀介质中的波动方程 在声波扰动下： 假设压力和密度的

2、扰动量为 的一阶小量，忽略三个方程中的二阶及高阶项： 当介质均匀时， 可消去。将第二式对时间求偏导ppp000pp 0pt01v00vt021vttpc0v0022ttvcv/哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理52.1 海洋中声场的射线理论 密度非均匀介质中的波动方程 将 用声压表示： 对状态方程求时间偏导数： 结合上式，非均匀介质中的波动方程为：t v0pt2220222221tttpcvpptpc00222211哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理62.1 海洋中声场的射线理论 密度均匀介质中的波动方程 忽略物理量的上下脚标，介质密度均匀时： 此时声场也能够用声波速度势函数来表示 ：

3、 将上式代入欧拉方程有：012222tpcpvtp/哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理72.1 海洋中声场的射线理论 密度均匀介质中的波动方程 对于简谐波，由波动方程可得到Helmholtz方程 ： 均匀介质中Helmholtz方程的两种简单解（1）球面波解球面波解： ：声源的体积速度； ：球面振速振幅。 （2）平面波解平面波解：tipexp022pkp)exp(40ikRRVip0204vaV0v)(expzkykxkiApzyx哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理82.1 海洋中声场的射线理论 声线折射 首先考虑声速仅是深度的函数以及海面、海底为平面这种水平分层海洋。即使在这种简单的

4、假定下，波动方程也只有在某些特例情况下才能获得已知解（水声水声学学）。 射线声学近似经常被采纳，其应用的必要条件为相对声速梯度与波长之积远小于1： 且该点不能位于影区或影区边缘，以及焦散线或焦散线边缘。 1dzdcc哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理92.1 海洋中声场的射线理论 声线折射 当射线理论所有应用条件得到满足时，则可以根据声线管束扩展规律应用射线理论计算任意一点的声强。 和 近似相同，掠射角近似表示为：21/coscc1c2c2/12/2cc12ccc哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理102.1 海洋中声场的射线理论 声强、聚焦因子和焦散 在射线声学中，声能沿着声线管束传播

5、，不会透出管束侧壁。 由于假定声源是各向同性的，因此声场具有柱对称性。右图中波阵面的面积为 11sin2drrdS哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理112.1 海洋中声场的射线理论 声强、聚焦因子和焦散 声源辐射声功率为W，则管束中传播的声功率为 声强为： 聚焦因子：11cos2/dWdW sin4cos11rrWdSdWIsincos110rrIIf204 rWI哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理122.1 海洋中声场的射线理论 声强、聚焦因子和焦散 聚焦因子趋于无穷大时对应的轨迹为焦散线，方程为 在焦散线及其附近区域，射线声学需要用Airy函数进行修正，此时聚焦因子为：0),(11

6、zr)(sin)sin(cos223/22123/11113/5tvrrkf)()sin(203/2113/12123/1rrkrt哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理132.1 海洋中声场的射线理论 声强、聚焦因子和焦散 两条声线在某一点相交，声场出现振荡现象，这是声线干涉引起的结果，对应t0。哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理142.1 海洋中声场的射线理论 三维折射 当介质的折射率是三维坐标的函数时，声线将不能保持在同一个平面内。 在海洋声学中，当分析内波对声场的影响时将会遇到三维折射的情形。 在研究距离有关（Range-dependent）海洋中声波远距离传播时也会遇到相同情况。

7、 在寒冷的冰山附近的淡水区以及定义明确的洋流边界处也可观测到三维折射现象。 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理152.1 海洋中声场的射线理论 三维折射 声压表示为如下形式 将上式代入Helmholtz方程中有 当声波频率足够高时，由上式可得程函方程和输运方程（transport equation） )(exp)()(0RRRWikApzyx,R0)()2(2220202WnAkWAWAikA22)(nW022WAWA哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理162.1 海洋中声场的射线理论 三维折射 程函方程： 定义了声线几何坐标，声线垂直于等相位面 如果 表示声线上某一点的矢径， 表示沿着

8、声线的距离，那么沿着声线的单位向量可用下式进行表示 并且将上式对 求导有：RsseRdsd/enW 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理172.1 海洋中声场的射线理论 三维折射 程函方程： 恒定声速时， ， ， ，上述方程为直线， ， 为声线初始点的矢径。nnnWnWWnWWdsdndsd2121122eenndsde1n0dsdeconste0ReR s0R哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理182.1 海洋中声场的射线理论 三维折射 程函方程 水平分层介质时，对上式两端同时乘以水平方向的单位向量 水平分层介质时，对上式两端同时乘以垂直方向的单位向量01re0cosrrnndsdnds

9、deeeconstcosnnndsde10zedzdnndsdsinsincose哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理192.1 海洋中声场的射线理论 三维折射 所以程函为折射率沿着声线轨迹的积分 声速恒定，程函为声线轨迹长度 声速变化，程函为等效声速下的声线轨迹长度nWdsdW esdssnW0)(R哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理202.1 海洋中声场的射线理论 距离有关波导中的Snell定律 Snell定律是射线理论中的基本关系，它把某一深度介质的声速和该深度处声线的掠射角以及声源处的声速和掠射角关联在一起，从而确定了声场中的声线结构 应用Snell定律可以确定水下声信道的重要特

10、征，比如波导中声线的最大掠射角，它对应了波导中的声能。 当波导随水平距离发生变化时，也即距离有关(Range-dependent)波导，此时声场中的声线结构将发生变化，从而导致声能的空间再分配。 如果介质水平折射率变化足够缓慢，则可以采用如下形式的折射率表达式 )(cos),(cos),(rrzrznll哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理212.1 海洋中声场的射线理论 距离有关波导中的Snell定律 假设与声线水平传播方向相垂直的声速水平变化可忽略，因此刚开始就位于 平面的声线始终都保持在该平面内，可以假定 对上式沿着声线轨迹积分有 nndsdexzsin, 0,cosexnndsdco

11、sznndsdsinssdsxnnn000coscoscos哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理222.1 海洋中声场的射线理论 距离有关波导中的Snell定律 由 有： 海洋中声速的相对变化是较小的 cos/dxds xxdxcxccdxxnccc02000000cos1coscos11coscos100ccc210的幅度为 的量级 1 coscos0sdxcxccc002000cos1coscos哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理232.1 海洋中声场的射线理论 距离有关波导中的Snell定律 上式确定了声线路径上任意深度处的声线掠射角。为了分析距离有关波导中声场声线轨迹的可能变化，

12、假设反转点处声速为 ，掠射角 上式中第一项为距离无关海洋中的折射项，而第二项则表示沿着声线路径声速水平变化的累积效应。上式表明声速沿着声线路径发生变化。 c0 xdxxccc00200cos1cos哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理242.1 海洋中声场的射线理论 距离有关波导中的Snell定律 对于正水平声速梯度， ， ，随着 的增大，深海声道中下反转点的深度将增大，而上反转点的深度将减小，如下图所示； 从某个距离开始， 将超过海底的声速，在这种情况下，声线将在海底发生反射。在远距离声传播中，由于这种声线在海底的多次反射导致了较大的总声功率损失或者高吸收海底情况，声场将发生极大衰减。 x

13、dxxccc00200cos1cos0/xc00cos/cc xc哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理252.1 海洋中声场的射线理论 距离有关波导中的Snell定律 对于负水平声速梯度， ， ，随着 的增大，深海声道中下反转点的深度将减小，而上反转点的深度将增大，如下图所示： 在小距离上到达某个深度的声线，在远距离将无法到达该深度。结果，到达水听器的声线个数将小于距离无关海洋中的声线数。声场强度同样也发生衰减。 xdxxccc00200cos1cos0/xc00cos/cc x哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理262.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析（Ocean Acoustic

14、Tomography） 海洋的变化特性对海洋气候、地球的天气都有显著的影响，显著改变了声场的层状结构、导致了声信号的起伏、扰动了声线路径。 从调查船和卫星获取的水团特征信息也是非常丰富的，但尽管如此，这对实际生产来说还不够充分，因为目前所获取的信息仍然只是海面和海面表层的信息。 必要信息的获取问题可通过长时间监测100万平方公里面积的水体进行解决。 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理272.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 经典海洋学对海洋监测手段基本上是布点观测，很难给出大范围的海洋变化的时空结构。 作为积分探头的声学监测手段具有非常好的优势。 Munk和Wunsch发展起来的海洋声

15、层析成为大范围观测海洋时空结构的有力手段。 Munk和Wunsch在20世纪70年代末提出的声层析是基于测量射线的传播时间来反演声速场（温度场）：nsndszuzc)()(1哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理282.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 低频声波最适合用来监测，因为它能够传播很远的距离，同时对水体的不均匀性和各式各样的边界粗糙度很敏感。 边界粗糙度改变了声信号的特征，比如声线传播时间、简正波的相速度和群速度、声场的空-频干涉图像 为了确定海洋介质的水文物理参数，海洋声层析技术采用被测区域一组声源和一组水听器之间传输的声信号变化。 现有海洋声层析技术采用声场测量技术、信号类型

16、、不均匀性重构、水文物理参数反演方法进行区分。 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理292.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 海洋声层析技术的典型方案如图所示。 为声发射器， 为声接收器。 Munk和Wunsch所建议声层析技术方案是利用脉冲信号的到达时间重构声速场的中尺度不均匀性。 到达时间差也可以用于重构海水介质的其它特征，比如温度、流速、盐度等。 海洋介质的声学测温已经被用于监测全球气候变暖问题；声学测盐可以用来遥测北冰洋冰下水层的盐度。31SS 41RR 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理302.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 首先考虑射线声学层析中的基本关系。沿着声线

17、路径传播的声信号传播时间 可表示为 为声速场的已知量， 为水体不均匀性引起的扰动量，为待求解变量。 可以选择不同的分布形式，比如整个水系声速场的季节平均。 mmtmzcdstm),(r),(),(),(0zczczcrrr),(0zc r),(zc r0c哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理312.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 具体选择则根据给定非均匀介质中水文物理数据量和计算声线轨迹的可能性。因此层析问题转变为搜索一组 下的传播时间 的问题。 由于 出现在被积函数的分母中，因此该问题是一个非线性问题，同时积分路径还依赖于 。 由于参数 是一个小量，即使是最强的涡漩墨西哥湾暖流，该参

18、数也不超过0.02，因此非线性问题可以得到极大简化。 mtc0ccc0/cc)1()0(mmmtttcc哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理322.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 对 作线性校正 上式中用 近似 引入了一个误差。误差依赖于不均匀性的空间尺度、不均匀区域内部声线的路径长度和声线路径的扩展。 )0(),(0)0(mzcdstmr)0(20)1(mccdstm)0(mt)0(mm)0(mt)0(mmMunk-Wunsch层析法层析法哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理332.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 在水下声信道的多途传播中，声线总数 数值求解方程的方法 将待测

19、海域划分为不同形状的单元，它们的尺寸不能超过声速起伏 的空间尺度，同时假设在每个单元中，声速起伏为常数 ，方程降为线性代数方程 srlN )0(20)1(mccdstmnccNnnnmnmcEt1)1(哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理342.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 如果扰动声线m并未通过单元n，则否则 洋流层析假设洋流的马赫数小于单位1，信号传播时间起伏为了确定流速，有必要测量信号顺流和逆流的时间 NnnnmnmcEt1)1(0mnE)0(20mndscEmn)0(20)1(mdscctmmve)0(20)1 (mdscctmmve哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理35

20、2.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 顺流和逆流传播时间差 应用上式重构流速的可能性是基于反方向传播的实际声线路径非常接近于 的假设。 对于所考虑的层析问题的成功实现，我们需要对发射器和接收器的位置、同步工作进行严格的监测，甚至是良好分离的信号、长期观测以及接近真实声速分布的参考声速分布的合理选择。 )0(20)1 (mdsctmmve)0(m哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理362.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 除了射线声学层析方法以外，简正波方法采用低阶简正波的相速度和群速度扰动作为初始数据； 基于简正波相位差测量的干涉方法； 衍射法重构参数有声速场、水体密度以及粗糙海面和

21、海底统计特性的扰动。 尽管这些方法差别较大，由于采用锚定发射器和接收器之间传播的伪宽带脉冲信号的相同测量方式，本质上它们都属于常规的一组方法。这一组方法通常被认为是传统的声层析法。哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理372.1 海洋中声场的射线理论 海洋声层析 另一种不同的方法则采用布放在运动船只下面的发射器和接收器，也即动态声层析。 既然传统声层析不需要人为的干预，因此对于长期观测来说比较方便，并且可以获得沿着声线路径平均的中尺度不均匀性的海洋学参数。 动态声层析给出了更多路径平均的海洋学参数以及更高的水平分辨率，而且更容易在调查的过程中改变研究区域和测量方案。 动态声层析最适合探测中尺度

22、不均匀性。 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理382.2 浅海中的声传播 声场的射线表示虚源法 硬底均匀浅海声场01413121143211njkRnjkRnjkRnjkRnnnnnneReReReRp22ninizrRzzHnzn012zznHzn0212zzHnzn032zznHzn0412哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理392.2 浅海中的声传播 声场的射线表示虚源法 一般均匀浅海声场 脉冲声源声场时域波形 ：脉冲信号产生叠加0142113212111214321njkRnjkRnjkRnjkRnnnnnneRVVeRVeRVeRVVp0414313212111)/()/()/

23、()/(1nnnnnnnnnncRtfRcRtfRcRtfRcRtfRpcRtnj/0哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理402.2 浅海中的声传播 声场的积分表示 基本思想：球面波展开为平面波 条件：介质声速均匀，海底参数任意 无限自由空间的直达波 海底反射波 海面反射波)(exp1zzkykxkizyx)2(exp1zzhkykxkiVzyx)(exp1zzkykxkizyx平面波形式：平面波形式：平面波形式：平面波形式：平面波形式：平面波形式：哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理412.2 浅海中的声传播 声场的积分表示 层中的反射波 总声场ljzyxzkykxk平面波的相位：平面波

24、的相位： 01111)2exp()()2(exp)(exp)2(exp)(exp)(exp2),(lzyxzlzzzzyxkdkdkhlikVzzhikVzzikzzhikVzzikykxkiizrp哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理422.2 浅海中的声传播 声场的积分表示)2(exp)exp(sin2)2(exp)(exp)2(exp)(exp111111zhikVzikzkizzhikVzzikzzhikVzzikzzzzzzz10)2exp(1 )2exp()(hikVhlikVzlzl哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理432.2 浅海中的声传播 声场的积分表示引入新的积分变量

25、，令 单层介质声场的积分表示cosxksinyk2/122)(kkzdddkdkyxdrHhiVhizhiVzhizzrp)()2exp(1)exp()(exp)(expsin),()1(0111zz 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理442.2 浅海中的声传播 绝对反射海底海洋中的简正波 绝对硬海底以上函数的积分为留数和的形式，极点为：1zz 1VdrHhzhzzrp)(cos)(cossin),()1(01drHhzhzzrp)(cos)(cossin),()1(011zz 0coshhnn/)2/1(, 2, 1 , 0n2/122)( k2/1222)2/1()/(nhkn哈尔滨工

26、程大学 硕士学位课程水声学原理452.2 浅海中的声传播 绝对反射海底海洋中的简正波 绝对硬海底a) 为实数b) 为虚数c)存在声吸收时， 从正半轴移到第一象限，从负半轴移到第三象限。 2/1222)2/1()/(nhknkhn)2/1(khn)2/1(nnn哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理462.2 浅海中的声传播 绝对反射海底海洋中的简正波 绝对硬海底将积分路径从实轴扩展到上半平面无限远，积分为层中声场的简正波表示：2/1222)2/1()/(nhkn0)1(01)(/ )(cos)(cossin2),(nnnrHdhdzhzizrpn0)1(010)(sinsin2),(nnnnn

27、nrHzzhipzrp哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理472.2 浅海中的声传播 绝对反射海底海洋中的简正波 绝对硬海底远场第n阶简正波：简正波的特征：a)沿着水平方向传播b)垂直方向为驻波c)可用两个沿着z轴正反方向传播的准平面波叠加表示 )4/(expsinsin22),(12/1rizzrhzrpnnnnn哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理482.2 浅海中的声传播 绝对反射海底海洋中的简正波 绝对硬海底简正波的特征：d)与水平面的夹角：e)振幅随着距离的1/2次方衰减f)群速度)(exp)(exp),(2/1zrizrirzrpnnnnn)/arcsin(knnllcucos

28、哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理492.2 浅海中的声传播 绝对反射海底海洋中的简正波 绝对硬海底简正波的特征：f)群速度：声线跨度与一个跨度的传播时间之比llhDcot2)sin/(.2llchtlllluctDcos/结论：水平分层海洋也成立结论：水平分层海洋也成立 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理502.2 浅海中的声传播 绝对反射海底海洋中的简正波 绝对硬海底简正波的特征：g)在截止频率处，简正波转变为z方向的驻波。 h)激发系数 1sin)/2(zhil哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理512.2 浅海中的声传播 绝对反射海底海洋中的简正波 绝对硬海底声强 中有 项，

29、振荡周期为：两个相邻简正波之间的水平干涉周期最大： )(exprill)/(2ll)/(211,llll1khl1l1)/(/ )(1llllkhk)(cot21,llllDh2/1222)2/1()/(nhknI哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理522.2 浅海中的声传播 绝对反射海底海洋中的简正波 绝对硬海底哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理532.2 浅海中的声传播 声场不同表示形式之间的关系 射线积分简正波 简正波适合用来表示层厚小、声场仅由几阶简正波占主要作用； 当层厚较大、距离相对较近时，声场适合用射线理论表示，此时直达波和少数几条声线占主要作用； 积分表示有时候适用于声场

30、的数值计算。哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理542.2 浅海中的声传播 声场不同表示形式之间的关系 简正波表示转化为射线表示泊松求和公式： lllflF)2()(dlixllFxf)exp()()(llllllllrHzzizzihirHzzhi)()(exp)(exp2)(sinsin2)1(0110)1(01哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理552.2 浅海中的声传播 声场不同表示形式之间的关系 简正波表示转化为射线表示 lllflF)2()(dlixllFxf)exp()()()()(exp)(exp2)()1(011rHzzizzihilFlll3311)exp()exp()

31、 1()2(lllllRikRRikRlf)exp(2)exp()(122)1(0ikRiRduiuzukrH2/122)(zrR哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理562.2 浅海中的声传播 声场不同表示形式之间的关系 积分表示转化为射线表示0)12(exp) 1(2)2exp(1)exp(2cos1lllhihihih22)1(040321)()exp()exp()exp()exp() 1(2),(kdrHziziziziizrpllllllljljljRikRikdrHzi)exp(2)()exp(22)1(0哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理572.2 浅海中的声传播 两层流体介

32、质(Pekeris)中的简正波 一层流体覆盖在均匀流体半空间上 层下边界的反射系数为 2222sincossincosnmnmVdrHhiVhizhiVzhizzrp)()2exp(1)exp()(exp)(expsin),()1(011drHhiVhizhiVzhizzrp)()2exp(1)exp()(exp)(expsin),()1(011zz 1zz 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理582.2 浅海中的声传播 两层流体介质(Pekeris)中的简正波 极点方程记：考虑高声速海底， ，方程有实根0)2exp(1hiV22khhx2/12)1 (nkhv1/1kknsink2/122

33、1)()(cotxvmxxvxl2/122)(/1 (llxkhh哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理592.2 浅海中的声传播 两层流体介质(Pekeris)中的简正波仅考虑离散谱 层中简正波的表达式)/sin()exp(2)(exp)(exp111hzxixizhiVzhilllllxlldxdVVihhiVdd12)2exp(llllllllrHxxxmxvhzxhzxhizrp)(tansin)/1 ()/(1)/sin()/sin(2),()1(0221哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理602.2 浅海中的声传播 两层流体介质(Pekeris)中的简正波 简正波的截止频率 对应

34、非衰减简正波，vxl22khhx)2/1( lxl2/12)1 (nkhvvxl212)2/1(nhlcflknlnlsinsink2/1221)()(cotxvmxx哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理612.2 浅海中的声传播 两层流体介质(Pekeris)中的简正波v) 1( lxl密度比密度比m=2时极点方程前三个根与时极点方程前三个根与v的变化关系的变化关系哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理622.2 浅海中的声传播 两层流体介质(Pekeris)中的简正波 介质深度90m 上层介质声速1500m/s 下层介质声速1501.5m/s 密度比为2 截止频率为93.3Hz 第一阶简

35、正波的相速度总是比第一层介质的声速大，随着声波频率的升高，相速度越来越趋近于介质的声速。 5个不同声波频率时第一阶简正波的振幅随着深度的变化个不同声波频率时第一阶简正波的振幅随着深度的变化 第2章 海洋声场分析及应用哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理642.3 水下声信道中的声场 主要内容 水下声信道中的简单射线理论 标准水下声信道(Canonical sound channel) 水下声信道中点源声场的简正波表示 水下声信道中声场的积分表示 从积分表示变换为简正波之和 WKB近似中的简正波：相积分 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理652.3 水下声信道中的声场 水下声信道是一种典型

36、的天然波导 水下声信道中的简单射线理论 陷阱系数（trapping coefficient）：无指向性点源声能的陷阱系数 bmcc /cos1mmmddsin4cos20 2/112/1212/12/ )()/(1 )cos1 (sinbbbmmcccccK哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理662.3 水下声信道中的声场 水下声信道中的简单射线理论 陷阱系数（trapping coefficient）：无指向性点源声能的陷阱系数 越小，声源越接近声道轴，陷阱系数越大。 声源接近信道的边界 时，陷阱系数趋近于零。 陷阱系数通常较小 ， ， 水下声信道中声波也能够传播数千公里。 2/112/1

37、212/12/ )()/(1 )cos1 (sinbbbmmcccccK1c)(1bcc 03. 0/ )(1bbccc15m4/1K哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理672.3 水下声信道中的声场 标准水下声信道(Canonical sound channel) Munk提出的声速剖面 声道轴下方远离声道轴时，声速随着深度增大指数增大 声道轴上方远离声道轴时，声速随着深度减小线性增大 ) 1(/ )(00ecczcBzz/ )(20ecczc00)(00)(cczc哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理682.3 水下声信道中的声场 标准水下声信道(Canonical sound cha

38、nnel) Munk提出的声速剖面14,12,12,140哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理692.3 水下声信道中的声场 水下声信道中点源声场的简正波表示 射线理论具有局限性，在影区和接近焦散区域都不能应用。 随着距离的增大，焦散区逐渐变宽，它们限制了射线理论在远距离的应用。 当声波的波长与声速变化的垂直尺度相当时，射线理论也不能应用于低频情况。 实际中只好寻找问题的简正波解。哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理702.3 水下声信道中的声场 水下声信道中点源声场的简正波表示 本节给出的声场简正波表达式仅限于全反射海底海洋环境情况。 如果我们对远距离声场感兴趣，那么最重要的简正波将是那

39、些与海底没有相互作用的简正波，此时海底边界条件就不需要了。 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理712.3 水下声信道中的声场 水下声信道中点源声场的简正波表示 考虑水平分层海洋环境，声速剖面 ，自由海面，绝对硬海底。点源位于 方程的齐次形式的解可用分离变量法进行求解。描述声波往外传播的解的形式为 )(zc1, 0zzr)()(2)(1122222rzzrpzkzprprrp),()(),()1 (0zrHzrp哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理722.3 水下声信道中的声场 水下声信道中点源声场的简正波表示 函数 满足方程 边界条件： 令方程的两个线性无关解为 ),(z0)(2222z

40、kdzd0), 0(0),(h),(1z),(2z哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理732.3 水下声信道中的声场 水下声信道中点源声场的简正波表示 则 本征值 满足的本征方程 任意 ， ， 满足 非齐次方程的解可表示为简正波和的形式),(),(),(2211zBzBz0),(), 0(),(), 0(1221hhl1B2B), 0(/ ), 0(1221llBBllllzrHAzrp),()(),()1(0l哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理742.3 水下声信道中的声场 水下声信道中点源声场的简正波表示 简正波的激发系数 根据本征函数的正交性 声场声压lA)(2)(1)1(0222

41、rrirHdrdrdrdll)(),(1zzizAlllhllldzzziA021),(/ ),(llllrHzzizrp)(),(),(),()1(01哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理752.3 水下声信道中的声场 水下声信道中声场的积分表示 任意特征海底 Fourier-Bessel积分可表示为 逆变换：Helmholtz方程两端同时乘以 并积分00)(),(),(drJzpzrp00)(),(),(rdrrJzrpzprdrrJ)(0)(2)(122zzpzkp 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理762.3 水下声信道中的声场 水下声信道中声场的积分表示 1) 时，2) 时，对

42、方程两端进行积分结论：结论： 在该点连续，在该点连续， 在该点不连续在该点不连续)(2)(122zzpzkp 0)(22 pzkp1zz 1zz 2)()(0011zzpppp0)()(0011zzpp哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理772.3 水下声信道中的声场 水下声信道中声场的积分表示 和 表示方程的两个解 满足自由海面边界条件 满足海底边界条件 满足所有必要条件的解为)(1zp)(2zp0)0(1p11121112,)()(20,)()(2)(zzwzpzpzzwzpzpzp)()()()()(2121zpzpzpzpww)(1zp)(2zpWronskian行列式行列式 哈尔滨

43、工程大学 硕士学位课程水声学原理782.3 水下声信道中的声场 水下声信道中声场的积分表示 水下声信道中点源声场的积分表示 积分计算可用不同方法，包括直接数值积分积分计算可用不同方法，包括直接数值积分 积分主要部分包括非衰减简正波或弱衰减简正波，积分主要部分包括非衰减简正波或弱衰减简正波，称为离散谱，在远距离上对声场起主要贡献；称为离散谱，在远距离上对声场起主要贡献； 另一部分称为连续谱，在远距离上对声场不起作用另一部分称为连续谱，在远距离上对声场不起作用1)1(01121)1(0112,)()()(),(0,)()()(),(zzdrHwzpzpzrpzzdrHwzpzpzrp哈尔滨工程大学

44、 硕士学位课程水声学原理792.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 考虑绝对硬海底情况： 将积分路径替换为从实轴到上半平面无穷大半圆，极点方程 声场：1)1(01121)1(0112,)()()(),(0,)()()(),(zzdrHwzpzpzrpzzdrHwzpzpzrp0)(2 hp0)(lwlllllrHwzpzpizrpl)(),(),(2),()1(0111210zz 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理802.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 在 处，Wronskian行列式为零 结论：结论： 和和 是线性的是线性的 结论：结论： 和和 同时满

45、足齐次本征方程同时满足齐次本征方程和海面海底边界条件和海面海底边界条件l0),(),(),(),(2121llllzpzpzpzp),(),(12lllzpAzp),(1lzp),(2lzp),(1lzp),(2lzp哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理812.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 令：)(),(1zzpll)(),(2zAzplll), 0(), 0(), 0(), 0(), 0(), 0()(212121ppppppw), 0(), 0(), 0(), 0(21221pzppzpwlllllllrHzzzizrpl)()0()0()()(2),()1(011

46、10), 0(), 0()(21lllppw上式适用整个水深的计算。上式适用整个水深的计算。hz 0哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理822.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 0)(2222zkdzd0)(22 pzkp)(zl),(2zphllhlldzppp0222022)(0)()(2hphl0)0(lhlllldzpwp021)()()0()0(哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理832.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 令 ，则 如果函数 是归一化的，那么 hlllldzpwp021)()()0()0(l)()/()(llww)(),(1zz

47、pll)(),(2zAzplllhllldzAwl022llllrHzzizrp)(),(),(),()1(01)(zl哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理842.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道仅考虑能量被限制在边界 附近的低号简正波。 )(2znazzn21)(2)2/(10az 2/10)21 ()(azczc)0(0cc )(/)(0znczc0z12az)1 ()(0azczc0)21 (220 pazkp哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理852.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道 引入一个新的变量来替换z 此方程的

48、解为此方程的解为Airy函数。函数。考虑积分考虑积分)(2znHztt/03/120)2(akH)(20220kHt)()(22tp tdttpddzztztZ331exp1)(哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理862.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道 积分路径 所有复数 ，积分收敛 满足方程假定 为实数，将 的实部和虚部分开，设)(2zndzztztZ331exp1)(03131exp131exp) 1(1)()(333222ztzdztzdzztzzttZtZdtdt)(tZ)()()(tivtutZt哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理872.3 水

49、下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道 和 为线性无关解，也即为Airy函数。作渐近展开并保留两个主要项。 1)当 时，设)(2zn)(tu)(tv)()(22tp tdttpd0t2/332t7251)exp()(4/1ttu7251)exp(21)(4/1ttv哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理882.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道 和 为线性无关解，也即为Airy函数。作渐近展开并保留两个主要项。 2)当 时，设)(2zn)(tu)(tv)()(22tp tdttpd0t2/3)(32t)4/sin(725)4/cos()()(4

50、/1ttu)4/cos(725)4/sin()()(4/1ttv哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理892.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道2)当 时， 的零点为负，有 ，其中随着 增大，上式变得越来越精确。 )(2zn)()(22tp tdttpd0t)(tv, 2, 1,lytll33811. 21y08791. 42y52056. 53y3) 14(08328. 014088419. 041lllll哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理902.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道 为了搜索 的零点，将积分进行变换，用 代替

51、，积分路径分为两部分： 记 ，正号对应第一个积分，负号对应第二个积分， )(2zn)(tZ) 3/exp(itt0) 3/2exp(i0)6/exp(izs)6/03)6/(032/131exp31exp)6/exp()3/exp(iidsstsidsstsiiitZ哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理912.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道两个积分中的积分路径可以变换到实轴上 的零点依赖于1)当 时， 或2)第二个方程的解为)(2zn)6/exp()(2)3/exp(itvitZ)3/exp(iylZz0),(lzv), 0(lv0)(0tvlyt02202

52、/ Hykll哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理922.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道3)当 时， 为实根，简正波不衰减。 记)(2zn202/kHyllllyHzt/llyHzt/11tHz)/1 (tH22lllllyvrHtvtvHizrp2)1(01)()()()(),(哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理932.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道)(2zn前三阶简正波的振幅前三阶简正波的振幅哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理942.3 水下声信道中的声场 从积分表示变换为简正波之和 线性表面声道)(2zn2/1

53、200)/(1 /Hkycvlll简正波的相速度：简正波的相速度：群速度：群速度：lllkcu0012202/1200)3/(21 )/(1 HkyHkyculll哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理952.3 水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 考虑高频情况，近似解可基于下面思想得到： 表示折射率的典型变化范围，对于 ，介质可视为局部均匀，解将具有 的形式，此时方程的形式解为 可以表示为 的幂级数：)()(0znkzk0)(220 pzkp2/1202)/()(kznZZk 00/2)exp(0zik)(exp)(0zMikzp)(zM0/1 k zzvvvdzkzyzM00

54、0)()(哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理962.3 水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 将形式解代入方程有令 、 、 的系数为零取幂级数的前两项)exp()(02200MikMkMikp 00vvvkyM 00vvvkyM20k0k00k)(0zy)(ln2/11iy)(212/12/12 yzzdzikzzzp002/10exp)()()(WKB近似解：近似解： 哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理972.3 水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 WKB近似的有效性：括号中的表达式必须远小于单位1，这只是必要条件，但并不充分。 上式表示传播过程中的两个波相

55、互叠加而不发生反向抵消。 非均匀介质中不存在声波的反射，这是因为WKB近似是一种射线声学。 上式积分给出了声波在 和 之间传播时的相位变化。指数函数前面的因子确保了每个波都满足能量守恒。 上式对于 等于或趋近于 使得 时失效，该深度就是所谓的反转深度。 0zz0)( zzz哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理982.3 水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 有4种简正波依赖于深度范围，其中一种简正波是主要的，即 是实数的深度： 1) ：该区域介于水面和反转点 之间，2) ：该区域介于两个反转点之间， 在海底和海面处，简正波的声场小。3) ：该区域扩展到了海面和海底之间。如前面所述

56、，仅有前两类不与海底发生作用的简正波是我们感兴趣的。 )(lllzz0llzzz hz 0lz0)(llz0)()( llllzz哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理992.3 水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 在声亮区（ ， 为实数； ， 为纯虚数），第二类简正波的一般形式为当 时，一式适用于第一类简正波。zzz zzzzzzdzikCdzikCzp02012/1expexp)(zzz zzdzkCzp032/1exp)(zz0 z)4/exp(31iCC )4/exp(32iCC4/cos2)(02/13zzdzkCzp哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理1002.3

57、水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 第一类简正波必须满足 的边界条件，相积分。借助该积分，极点方程被表示为WKB近似。 第二类简正波必须满足 的边界条件。假设 也就是说反转深度足够远离海面以至于简正波根本不与和海面发生作用。 处的边界条件可描述如下：在此深度上的反射波的相位之后于入射波 0zzz 0)0(p, 3, 2, 1),4/1(4/00lldzklzl2/1202)/()(kznll10 zkzz2/哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理1012.3 水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 第一项表示沿着z轴的反向传播，也就是波从深度 下方入射；第二项表示波从z

58、轴正向传播，也就是反射波。这要求第一个指数函数与第二个指数函数在 处的比值等于 ，有 4/exp214/exp214/cos000idzikidzikdzkzzzzzzzzzz )2/exp(i, 2, 1 , 0),2/1(0 lldzkllzzl4/cos2)(02/13zzllldzkCz本征函数的表达式本征函数的表达式 ：哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理1022.3 水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 用归一化条件确定 假设在余弦函数的一个周期内， 可视为常数（阶数越高，假定越好满足）；将余弦函数的平方用其在一个周期内的平均值1/2代替。 跨度：跨度：3C14/co

59、s)(4002123lzzzlldzdzkzC)(zl1)(202/1202223lzldzkznCzllldznD02/122)cos(cos2llDC/cos23哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理1032.3 水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 用 替代后，适用于第二类简正波 第一类简正波， 、 小于 对于第二类简正波 线性表面声道4cos4cos)()()(4),(1002/110)1(0llzzllzzlllllldzkdzkzzDkrHizrp0zlz z1zlzllzzz llzzz 1llkcos0)()(0znkzk)4/1)(/3(sin03lkal)(2z

60、n2/303)/2(sinllyka哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理1042.3 水下声信道中的声场 WKB近似中的简正波：相积分 仅保留级数的第一项时，上两式一致 越大， 越精确 ，WKB近似也相当好 足够大的 ， 的误差小，导致声波相位误差 的渐近表示2/31) 3/2(lyv ll1lrlrl)(tv4)(32sin)()(2/34/1tttv4)(32cos)()(2/34/1tttvllaDsin)/1 (哈尔滨工程大学 硕士学位课程水声学原理1052.3 水下声信道中的声场 声场空间干涉结构 海洋声场的重要特征为水平和垂直的变化尺度 水平变化主要由于不同简正波之间的相互干涉