新人教版八年级数学下册知识点总复习及练习

1、二次根式【知识回顾】1 .二次根式：式子Ja ( a >0)叫做二次根式。2 .最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式。3 .同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次 根式。4 .二次根式的性质：a (a >0)0 (a=0)；.一a(a<0)(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可 以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ?变形为积的形式，冉移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后

2、移 到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的 积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.Vab = Va - Vb (a>0, b>0); b (b>0, a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，？乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1)1,2)/-5,3) Jx2 2,4)74,5) J( ；)2,6)VTa,7)Ja2 2a 1 , 其中是二次根

3、式的是 (填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) 口仁)例3、在根式1) 4a b2；2)后3) Jx2 xy;4)j27abc,最简二次根式是()A. 1) 2) B . 3) 4) C . 1) 3) D . 1) 4)1 ,y 5 8x v8x 1 _，求代数式例4、已知：2x y 2的值。 y x例 5、(2009龙岩)已知数 a, b,若 «b)2 =b a,贝 (A. a>bB. a<bC. a > b)D. a <b2、二次根式的化简与计算例1.将戊fl根号外的a移到根号内，得(0)A G， B.-右;C.一m；例2.把(ab)、/

4、 OB化成最简二次根式D. /，.黑-0/7-2在(3巧十2行)例3、计算：点T例4、先化简，再求值：，1其中 a=Y5二，b=Y5.abb a(a b)22例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：而J(a b)2aL ".3、比较数值-i 口 1(1)、根式变形法当a 0,b 0时，如果a b ,则Ta Tb ；如果a b ,则Va Vb例1、比较3石与573的大小。(2)、平方法当a 0,b 0时，如果a2 b2,则a b ;如果a2 b2 ,则a b例2、比较3夜与2后的大小。(3)、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较例3、比较1"与力的大小。.3

5、1-2 1(4)、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。例4、比较匹04与W g的大小。(5)、倒数法例5、比较"的与户火的大小。(6)、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。例6、比较"3与庖3的大小。(7)、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ab0 ab; ab0 a b例7、比较W2_J与W2的大小。；3 13(8)、求商比较法它运用如下性质：当a>0, b>0时,则：a 1 a b;色1 a bbb例8、比较5祁与2曲的大小。4、规律性问题例1.观察下列各式及其验证过程：2导后验证:任得停卒洋后； &q

6、uot;验证：3导/=冷= '=房.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4,回的变形结果，并进,15行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用 n(n>2,且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.四边形1 .四边形的内角和与外角和定理：(1)四边形的内角和等于360° ;(2)四边形的外角和等于3600 .2 .多边形的内角和与外角和定理：(1) n边形的内角和等于(n-2)180 ° ;(2)任意多边形的外角和等于360° .3 .平行四边形的性质:(1)两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;因为ABC北平行四边形 两组对角分别

7、相等;(4)对角线互相平分； (5)邻角互补.4 .平行四边形的判定:两组对边分别平行(2)两组对边分别相等(3)两组对角分另IJ相等ABCD是平行四边形4 4) 一组对边平行且相等(5)对角线互相平分5 .矩形的性质：(1)具有平行四边形的所有通性；因为ABC此矩形(2)四个角都是直角；6 .矩形的判定:(1)平行四边形一个直角(2)三个角都是直角四边形ABCDB!形.(3)对角线相等的平行四边形7 .菱形的性质：因为ABC此菱形（1）具有平行四边形的所有通性;（2）四个边都相等；（3）对角线垂直且平分对角.8 .菱形的判定：（1）平行四边形一组邻边等 四个边都相等四边形四边形ABC此菱形.

8、（3）对角线垂直的平行四边形9 .正方形的性质：因为ABC此正方形（1）具有平行四边形的所 有通性；（2）四个边都相等，四个 角都是直角;（3）对角线相等垂直且平分对角.10 .正方形的判定:（1）平行四边形一组邻边等（2）菱形一个直角（3）矩形一组邻边等一个直角四边形ABC立正方形.ABC比矩形又 = AD=AB一四边形ABC此正方形11 .等腰梯形的性质:因为ABC此等腰梯形（1）两底平行，两腰相等; （2）同一底上的底角相等 （3）对角线相等.12 .等腰梯形的判定:（1）梯形两腰相等（2）梯形底角相等（3）梯形对角线相等四边形ABC此等腰梯形.ABC电梯形且AD/ BC. AC=B.A

9、BDCLH边形是等腰梯形14.三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边， 并且等于它的一半.A zAE BC15.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并 且等于两底和的一半.DCA、B段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆.注意：线段有两条对称轴数据的分析数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差1 .解统计学的几个基本概念总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查 的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。2 .平均数当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式1 = 3+白，其中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数

10、；？当所给一组数据中有 重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。3 .众数与中位数平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数 据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太 低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列 有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用 众数来描述。4 .极差用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差=最大值最小值。5 .方差与标准差用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示

11、一组数据偏离平均 值的情况，这个结果叫方差，计算公式是1 _ _ _s2=n（x i-K）2+（X2-兀）2+- +（Xn-K ）2;方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不 整齐。一、选择题1. 一组数据3, 5, 7, mi n的平均数是6,则m, n的平均数是（）A.6B.7C. 7.5 D. 152 .小华的数学平时成绩为92分，期中成绩为90分，期末成绩为96分，若按3: 3: 4 的比例计算总评成绩，则小华的数学总评成绩应为（）A. 92B . 93 C . 96D . 92.73 .关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的是（）A.平均

12、数一定是这组数中的某个数B.中位数一定是这组数中的某个数C.众数一定是这组数中的某个数D.以上说法都不对4 .某小组在一次测试中的成绩为：86,92, 84,92,85,85,86,94,92,83,则这个小组本次测试成绩的中位数是（）A. 85B . 86 C . 92D . 87.95 .某人上山的平均速度为3km/h,沿原路下山的平均速度为5km/h,上山用1h,则此人 上下山的平均速度为（）A.4 km/h B. 3.75 km/h C. 3.5 km/h D.4.5 km/h6 .在校冬季运动会上，有15名选手参加了 200米预赛，取前八名进入决赛.已知参赛 选手成绩各不相同，某选手

13、要想知道自己是否进入决赛，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）A.平均数 B. 中位数 C. 众数D. 以上都可以二、填空题：（每小题6分，共42分）7 .将9个数据从小到大排列后，第 个数是这组数据的中位数8 .如果一组数据4, 6, x, 7的平均数是5,则x =9 .已知一组数据：5, 3, 6, 5, 8, 6, 4, 11,则它的众数是,中位数是-10 . 一组数据12, 16, 11, 17, 13, x的中位数是14,则x =.11 .某射击选手在10次射击时的成绩如下表：环数78910次数2413则这组数据的平均数是 ,中位数是,众数是 .12 .某小组10个人在一次数学小测

14、试中，有 3个人的平均成绩为96,其余7个人的平 均成绩为86,则这个小组的本次测试的平均成绩为.13 .为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况，连续记录了 6天的车流量（单位: 千辆/日）：3.2,3.4,3,2.8,3.4,7,则这个月该桥过往车辆的总数大约为 辆.数据的分析一： 5 个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差）的数学内涵:平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。众数：在一组数据中，出现次数最多的数（ 有时不止一个） ，叫做这组数据的众数中位数： 将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个

15、数（ 或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。巧计方法，极差=最大值- 最小值。方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s2 . 巧计方法: 方差是偏差的平方的平均数。标准差：方差的算术平方根，记作s 。二 教学时对五个基本统计量的分析：1 算术平均数不难理解易掌握。加权平均数，关键在于理解“权”的含义，权重是一组非负数，权重之和为1，当各数据的重要程度不同时，一般采用加权平均数作为数据的代表值。学生出现的问题：对“权”的意义理解不深刻，易混淆算术平均数与加权平均数的计算公式。采取的措施：弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系。并且提醒学生再

16、求平均数时注意单位。2 平均数、与中位数、众数的区别于联系。联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。区别： A 平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动。B 中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。C 众数主要研究个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。其中众数的学习是重点。学生出现的问题：求中位数时忘记排序。对三种数据的意义不能正确理解。采取的措施：加强概念的分析，多

17、做对比练习。3 极差，方差和标准差。方差是重难点，它是描述一组数据的离散程度即稳定性的非常重要的量，离散程度小就越稳定，离散程度大就不稳定，也可称为起伏大。极差、方差、标准差虽然都能反映数据的离散特征，但是，对两组数据来说，极差大的那一组方差不一定大；反过来，方差大的，极差也不一定大。学生出现的问题：由于方差，标准差的公式较麻烦，在应用时常由于粗心或公式不熟导致错误。采取的措施：注意方差是“偏差的平方的平均数”这一重要特征。或使用计算器 计算。这些数据经常用来解决一些“选拔”、“决策”类问题。中考中常常综合在一起考 察。14.为了培养学生的环保意识，某校组织课外小组对该市进行空气含尘调查，下面

18、是一 大中每2小时测得的数据(单位：g/m3 ):0.040.030.020.030.040.010.030.040.030.050.010.03(1) 求出这组数据的众数和中位数；(2)如果对大气飘尘的要求为平均值不超过0.025 g/m 3,问这天该城市的空气是否符合要求？为什么？15. A、B两班在一次百科知识对抗赛中的成绩统计如下：分数5060708090100人数(A班)351531311人数(B班)161211155根据表中数据完成下列各题：(1)A班众数为 分，B班众数为 分，从众数看成绩较好的是 班；(2)A班中位数为 分，B班中位数为 分，A班中成绩在中位数以上的(包括中位数

19、)学生所占的百分比是% ,B班中成绩在中位数以上的(包括中位数)学生所占的百分比是% ,从中位数看成绩较好的是 班；若成绩在85分以上为优秀，则A班优秀率为工 ,B班优秀率为% ,从优 秀率看成绩较好的是 班.(4)A班平均数为 分，B班平均数为 分，从平均数看成绩较好的是 班；16.某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：人员经理会计厨师服务员1服务员2勤杂工月工资(元)4000600900500500400(1)酒店所有员工的平均月工资是多少元？(2)平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由.若不能,如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的看法.

20、（一）反比例函数的概念1.K （%。）可以写成尸二以13。）的形式，注意自变量x的指数为在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 小学0这一限制条件;2 .厂.工 户口）也可以写成乂丫=卜的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析 式中的k,从而得到反比例函数的解析式；_ k3 .反比例函数A x的自变量五（二）反比例函数的图象_ k在用描点法画反比例函数,工的图象时，应 量x的取值不能为0,且x应对称取点（关于原点 （三）反比例函数及其图象的性质_ k数解析式：K （M口）变量的取值范围：工学0故函数图象与x轴、y轴无交点.3.图象:（1）图象的形状：双曲线.同越大，图象的弯曲度越小，曲线越平

21、直.四越小，图象的弯曲度越大.（2）图象的位置和性质:与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当k>°时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当1t°时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大.（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a, b）在双曲线的一支上，则（一"，一方） 在双曲线的另一支上.图象关于直线,=土工对称，即若（a, b）在双曲线的一支上，则（,瑶）和（一上，一金）在双曲线的另一支上.4. k的几何意义ky = 如图1,设点P （a, b）是双曲线x上任意一点，作PALx轴于A点，

22、PB，y轴于B点，则矩形PBOA勺面积是用（三角形PAOffi三角形PBO勺面积都是3闷）.如图2,由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCLPA的延长线于C,则有三角形PQC勺面积为BQ图15.说明:(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个七, y -1X分支分别讨论，不能一概而论.(2)直线与双曲线的关系:用向工0时,两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数1 .求函数解析式的方法:(1)待定系数法；(2)根据实际意义列函数解析式.2 .注意学科间知

23、识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.(五)充分利用数形结合的思想解决问题.曲)1.反比例函数的概念(1)下列函数中，y是x的反比例函数的是().A. y=3xB.C. 3xy=1D.'三,(2)下列函数中，y是x的反比例函数的是().1 1 1 , 11V二丁丁二一1/=一T尸=1 + 一A.4走B.戈C. 工一 2d.工答案：(1) C; (2) A.02.图象和性质(1)已知函数卅是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么 k=.若y随x的增大而减小，那么k=.ab(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数丫京的图象位于第象限.y (3)若反比例函数工

24、经过点(-1, 2),则一次函数y = -H + 2的图象一定不经过第象限.a. 一，、，一一 ，尸二一 一一，(4)已知a - b<0,点P (a, b)在反比例函数 工的图象上，则直线F二以+3不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限尸二一(5)若P (2, 2)和Q (m,一朋1是反比例函数工图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象BgB.第一、二、四象限C第一、三、四象BgD.第二、三、四象限_ k(6)已知函数 > 二找工一1)和工(kw0),它们在同一坐标系内的图象大致是().答案：(1)一2 1； (2) 一

25、、三；(3)四；(4) C; (5) C; (6) B.尸3,函数的增减性(1)在反比例函数'"”的图象上有两点'(/九云区j，且工产则当一冯的值为（）.A.正数B.负数C.非正数D.非负数（2）在函数 ,一工（a为常数）的图象上有三个点LL乃）,了" ，2,4 则函数值乃、冯、片的大小关系是（）.A. 2乃 跖B.当%乃C.M名当D.当当55尸二一y =（3）下列四个函数中：J =；，=-5内；, 工； x .y随x的增大而减小的函数有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个k一，-y =一 一 一，一,一（4）已知反比例函数方的图象与直线y=2x和

26、y=x+1的图象过同一点，则当x0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）.答案：（1） A; （2） D; （3） B.注意，（3）中只有是符合题意的，而是在“每一个象限内”y随x的增大而减小.V 4.解析式的确定2工（1）若丁与工成反比例，X与三成正比例，则y是z的（）.A.正比例函数B.反比例函数C. 一次函数D,不能确_ k（2）若正比例函数y=2x与反比例函数,工的图象有一个交点为（2, mj）,则m= k=,它们的另一个交点为 .4m一一，一，,一 .一# 一一一，尸二一，（3）已知反比例函数工的图象经过点（己切,反比例函数工的图象在第二、四象限，求端的值.

27、巾+1 y 二（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数工（物¥-1）的图象在第一象限内的交点为P （x 0,3）.完后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范围是;药物/烧后y关于x的函数关系式为 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3毫克且持续时间不低于10分钟 时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？

28、为什么？答案：(1) B；(2) 4, 8, (2 -4)；(3)依题意，附"二(-2),(-8)且用V0,解得制三y .-现 + 演=3.% = L44 (4)依题意，产阳+ 1°；解得除=&3一次函数解析式为尸式,反比例函数解析式为工.V =工(5),4 , 0<x<8 ,30;消毒时间为非r 3-3x-=13,25>1034(分钟)，所以消毒有效.面积计算F二一(1)如图，在函数工的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为，则().第（1）题图第（2）题图1,、，

29、一" 二 一,一，、，一 _ , _（2）如图，A、B是函数式的图象上关于原点。对称的任意两点，AC/y轴，BC/x轴，ABC勺面积S,则（）.A. S=1B. 1<S< 2C. S=2D. S> 2m（3）如图，RtAOB勺顶点A在双曲线, 工上，且SAAOB=3求m的值.第（3）题图第（4）题图4 尸二一 （4）已知函数工的图象和两条直线y=x, y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1 P1R1垂足分别为Q1, R1,过P2分别作 x轴、y轴的垂线P2 Q 2, P2 R 2,垂足分别为 Q 2, R 2,求矩形O Q

30、 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小.1 一一=一，一_ 一（5）如图，正比例函数y=kx （k>0）和反比例函数工的图象相父于 A C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC若ABCS积为S,则S=第（5）题图第（6）题图(6)如图在RtzXABO,顶点A是双曲线A 嚏与直线>二一1+(上+ 1)在第四象限2的交点，AB±x轴于B且SJA ABO=.求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点 A C的坐标和 AOC勺面积.(7)如图，已知正方形 OABC勺面积为9,点O为坐标原点,一 ，丫=一 、， . 、点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数 某(k>0, x>0)的图象上，点P (mi n)_ k是函数A k (k>0, x>0)的图象上任意一点，过 P分别作