概率论与数理统计完整公式以及各知识点梳理

1、概率论与数理统计完整版公式第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式Pmn=m.从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(m-n)!Cm=m从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(m-n)!(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，A种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mxn种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(

2、4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件卜XJ以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用色来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用G表示。一个事件就是由C中的部分点(基本事件0)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，它们是C的子集。为必

3、然事件，？为/、可能事件。不可能事件(？)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必启事件B发生)：AuB如果同时有A二B,BnA,则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B,A、B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A口B,或者ABAnB=?,则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互小相容

4、或者互斥。基本事件是互小相容的。夏-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为Ao它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)oOoo_AAi=UAi德摩根率：im也aUb=a,b,AB=AUb(7)概率的公理化定义设Q为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足卜列三个条件：10WP(A)W1,2P(Q)=13对于两两互不才目容的事件A,A2,有0,则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)件B发生的条件概率，记为P(B/A)=P(A

5、B)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1=P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)更一般地，对事件A,A2,A,若P(A1A2A1)0,则有P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2.An_1)/o(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0,则有P(B|A)、2=P(A)P(B)=P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互

6、独立。必然事件C和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么AB、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件B1，B2,，Bn满足1。B1,B2,，Bn相容，P(Bi)0(i=1,2,，n),nA匚UBi2日,则有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn)。(16)贝叶斯公式设事件B1,B2,，Bn及A满足1B1,B2,，Bn两两

7、互/、相容,P(Bi)0,i=1,2,，n,nAuUBi29,P(A)0,则D/a/A、P(Bi)P(A/Bi)P(Bi/A)=x,i=1,2,n。PP(Bj)P(A/Bj)j3此公式即为贝叶斯公式。P(Bi),(i=1,2,，n),通常叫先验概率。P(Bj/A),(i=1,2,，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努禾IJ概型我们作了n次试验，且满足每次试验只用两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互/、影响的。这种试验称为伯努

8、利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1-p=q,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0wk*n)次的概率，八、_kknJs一一Pn(k)=Cnpq,k=0,1,2,，n。第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=pk,k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X|x1,x2，Xk,P(X=xk)p1,p2,，pk,。显然分布律应满足卜列条件：Q0Zpk=1(1)pk*,k=1,2,，k4。(

9、2)连续型随机变量的分布密度设F(X)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数X,有XF(x)=f(x)dx则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有卜面4个性质：1。 f(x)之01 O第乂心=12 7O(3)离散与连续型随机变量的关系P(X=x)%P(xXMx+dx)也f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X-xk)一pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXWb)=F

10、(b)-F(a)可以彳#到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8,x内的概率。分布函数具有如下性质：1 0F(x)1,_oox+g;2 F(x)是单调/、减的函数，即xix2时，有F(xi)F(x2)；3 。F(-)=limF(x)=0,F()=limF(x)=1；x-bc4F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的；5。P(X=x)=F(x)-F(x-0)。对于离散型随机变量，F(x)=pk；xkxx对于连续型随机变量，F(x)=jf(x)dx。-nd八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A

11、发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2，n。_kkn_kP(X=k)=Pn(k)=Cnpq,其中q=1-p,0p0,k=0,1,2，k!则称随机变量X服从参数为九的泊松分布，记为Xn(九)或者P(八)。泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n-8)。超几何分布D/Y-C-CM*CNMk=0,1,2。CN，l=min(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(X=k)=qk,p,k=1,2,3,，其中P0,q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内，其密度函数f(x)在a,b，一

12、1上为常数，即b-a-1-axbf(x)=ba,其他，P,则称随机变量X在a,b上服从均匀分布，记为XU(a,b)。分布函数为00,xa,x-axbbaaxb。当awxyxzwb时，X落在区间(xi，x2)内的概率为_x2一x1P(x1Xx2)-21。b-a指数分布e八eT,x至0,f(x)=40,x0F(x)H0,L5x0。记住积分公式：-boxnedx=n!0正态分布设随机变量X的密度函数为12f(x)=-e2仃，_gx0为常数，则称随机变量X服从参数为N、仃2、的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XN(N,仃)of(x)具有如下性质：1 。f(x)的图形是关于x=N对称的；2 当xR

13、时，f(R)=为最大值；2M2g若XN(1户她发的分布函数为F(x)=-fe纤dtv2g二oo参数N0、仃-1时的正态分布称为标准止态分布，记为XN(0,1)其密度函数记为中(x)=/e2%2n,-00x十妙，分布函数为dxt2工1.七(x)-,Je2dtJ2兀_co(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1(-x)=1-(x)且(0)=X女如果XN(N产2),则N(0,1)。D/V乂Vbx23I16/x1一P(x1X三x2)一中|一中I0(6)分位数下分位表：P(XWNq)=o(;上分位表：P(XaNu)=o(。(7)函数分布离散型已知X的分布列为XX1,x2,，xn,P(X=x

14、Y=g(X)EY(i)p1,p2,，pn,向分布列(y=g(xj互不相等)如下：g(x1),g(x2),，g(xn),P(Y=yi)若有某些g(xj相等,“应将对应源,pi相加作为g(xi)的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)0(i,j=1,2,)；(21二pj=1.连续型对于二维随机向量七=(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(-ox+=c,-oy收),使对任fb-个其邻边分别平行丁坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)axb,cy0;(2)2M(x，y)dxdy=1.(2)二维随机变量的本质qX=x,Y=y)=4X=xCY=y)(3)联合分布

15、函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=PXMx,YMy称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(61,切2)|-00X(61)x,-Y(o2)y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)0F(x,y)xi时,有F(x2,y)F(xi,y);当y2yi时,有F(x,y2)F(x,y1);(3) F(x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4) Ff=F(-oo,y)=F(x,-)=0,F(,y)

16、=1.(5)对于x1x2,y1y2,F(x2,Y2)-F(x2,Y1)-F(x1,Y2)+F(x1,1)0.(4)离散型与连续型的关系P(X=x,Y=y)定P(xXEx+dx,yYEy+dy)七f(x,y)dxdy(5)边缘分布离散型X的边缘分布为Pi.=P(X=Xi)=Pj(i,j=1,2,)；Y的边缘分布为Pd=P(Y=yj)=Pj(i,j=1,2,)。连续型X的边缘分布.密度为-bofx(x)=ff(x,y)dy；Y的边缘分布密度为*bofY(y)=f(x,y)dx(6)条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PjP(Y=yjX=xi)=；Pi.在已知Y=y的条件下，X取值

17、的条件分布为PjP(X=x|Y=yj)=P连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x,y)f(x|y)=-L2Z;fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y|x)=3fX(x)(7)独立性一般型F(X,丫尸Fx(x)FY(y)离散型Pj=P4后零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离交量正概率密度区间为矩形二维正态分布_1_1|42Rx44)(y_-f(x,y)=Ie与31。厂gV2兀仃1仃2Ji-P2P=0随机变量的函数若X1,X2，。Xm+1,X4目互独立，h,g为连续函数，则：h(X,X2,淘和g(Xm+1,-Xn)相互独立。特例

18、：若X与丫独立，则：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(8)二维均匀分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为(x,y)-D1sDf(x,y)=，0,其他其中Sd为区域D的面积，则称(X，Y)服从D上的均匀分布,U(D)。记为(X,Y)(9)二维正态分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为_12心书)(丫辿)Jy.12(1_p)|1aC1Q21GJf(x,y)=e人，2g6q1-P其中方*2。1022A0,|P|1是5个参数，则称(X，Y)服从二维止态分布，记为(X，Y)N(N1,匕仃12,仃2,P).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布

19、仍为正态分布，即XNI(出产;工丫N(匕仃2).22但是右XN(匕,。1),YNIH。？)，(X,Y)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)-bo对于连续型，fz(z)=Jf(x,zx)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(吃+也产12+。2)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。=，仃2=G2町28Z=max,min(Xl,X2，Xn)若Xi,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x),Fx2(x)Fxn(x),则Z=max,min(Xi,X2,Xn)的分布函数为：Fmax(x)=Fx(x).Fx2(x)Fx(x

20、)Fmin(x)=1-1-Fxi(x)41-Fx2(x)1-Fxn(x)设n个随机变量X1,X2，Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和n._2W=Xii工的分布密度为nuu _0,u : 0.一.1f(u)=220，我们称随机变量W服从自由度为n的X2分布，记为W?2(n),其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。厘2分布满足可加性：设Y-2(n)则kZ=Y72(+，+n)iWt分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且XN(0,1),Y2(n),可以证明函数的概率密度为5+1；n书一亍rt2f、f(t)=-/1+(-t+=c).n-lnVn

21、jVnnT-金0我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)F分布t1_;.(n)-t.(n)设X(n1),Y？2(1)，且X与丫独立，可以证明X/n1F=1的概率密度函数为n1 n2n12 人十 y,y0n2 JY/n212Jfn1、24二叱后佟#)yJ12,八2)00,y0我们称随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(ni,n2).Fi_-.(ni,n2)=1F(n2,ni)第四章随机变量的数字特征(1)离散型连续型一维随机变量的数字特征期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=xk)=pk,k=1,2,n,nE(X)=XkPkk=

22、1(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(X),-beE(X)=jXf(X)dX(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)nE(Y)=Zg(Xk)pkk=1Y=g(X)-beE(Y)=g(x)f(xdx力差D(X)=EX-E(X)2,标准差o(X)=，D(X),D(X)=Xk-E(X)2Pkk-beD(X)=Jx-E(X2一()2f(x)dx矩对于正整数k,称随机变量X的k次哥的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即Vk=E(Xk)=XikPi,k=1,2,对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次哥的数学期望为X的k阶中心矩，记为以卜，k7即/=E(X-E(X)k.=2(Xi-E

23、(X)kPi,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X的k次哥的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即Vkk=E(X)=产k.fxf(x)dx,k=1,2,对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次哥的数学期望为X的k阶中心矩，记为匕，即匕=E(X-E(X).C(x-E(X)kf(k=1,2,.)kx)dx,切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)二科，方差D(X)=b2,则对于任意正数,后卜列切比雪夫不等式2P(|X耳之名)M亍切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(X叫”)的一种估计，它在理论上启重要忌义。(2)期望的性质(1) E(C尸C(2) E(CX尸CE(X)

24、nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y),E(GXi)=CiE(Xi)i=y(4) E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和丫不相关。(3)力差的性质(1) D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(XY)=D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常见分布

25、的期望和力差期望力差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二项分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(九)九几何分布G(p)1p1-p2p超几何分布H(n,M,N)nMNnM二M，N-1In2)n-2二维随机变量的数字特征期望nE(X)=XiPi.i=4nE(Y)=yjP.jw-boE(X)=xfx(x)d-SO-boE(Y)=yyfY(y)dyq函数的期望EG(X,Y)=Z工G(Xi,yj)pjEG(X,Y)=-bo-boGG(x,y)f(x,y-O0-Q0力差D(X)=为-E(X)2Pi.D(Y)=ZXj-E(Y)2p.j-boD(X)=fx-E。-oO-boD(Y)=fy-E(YJO

26、协力差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩匕1为X与丫的协力差或相关矩，记为仃XY或cov(X,Y),即0xy=内1=E(XE(X)(YE(Y).与记号仃xy相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为仃与仃。XX7TT相关系数对于随机变量X与Y,如果D(X)0,D(Y)0,则称仃XYJD(X)JD(Y)为X与丫的相关系数，记作PXY(有时可简记为P)。|P|W1,当|P|=1时，称X与丫完全相关：P(X=aY+b)=1“柏羊:正相关，当P=1时(a。)，兀全相关)负相关,当P=-1时(a0),而当P=0时，称X与Y不相关。以卜五个命题是等价的： Pxy=0； cov(X,Y)=0

27、; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y尸D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).协方差矩阵XXXY混合矩仃YXYYJ对于随机变量X与Y,如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为vkl;k+l阶混合中心矩记为:Uki=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l.(6)(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);协方(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);差的(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);性质(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(i)若随机变量X与丫相互独立，则PXY=0；反之不真。独

28、立和不(ii)若(X,Y)N(也，匕，。12,。2,P),相关则X与丫相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理切比雪设随机变量X1,X2,相互独立，均具有有限方差，且被同一定律常数C所界：D(X)limP1mpcJn特殊情形：若X则上式成为limP,bXi3n*JnyC(i=1,2,)，则对于任意的正数,有n1n、XXiXE(Xi)君=1.ynyJ,X2,具有相同的数学期望E(Xi)二科，1=1.J伯努利设科是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在(1)大数定律XtN大数定律每次试验中发生的概率，则对于任意的正数,有limpf|-pe=1.+Un7J伯努利大数定律说

29、明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即口2、limP一一p之名=0.flln口)这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X1,X2,，Xn,(X)二科，则对于任limPf-ZXiN5Uny,是相互独立同分布的随机变量序列，且E意的正数有6=1.J列维林德伯设随机变量X1,相同的数X2,相互独立，服从同一分布，且具有学期望和方差：(2)中心极限定理_CT2XTN(N,)n格定理,，2E(Xk)=N,D(Xk)=。#0(k=1,2，)，则随机变量nXXk-nNvJsalYnf-nn。的分布函数Fn(X)对任意白实数X,有nn,工Xk-nN,t2-1x

30、7”里屋二胆1后m-疡皇出.ij此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗-拉普拉斯定理设随机变量任意实数=limPn包Xn为具后参数n,p(0p1)的一项分布，则对于x,有L7t2Xn-np1xn/0,则-kkk、n_k九A/一Cnp（1p）Te（nT吟.k!其中k=0,1,2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品x1，x2，xn称为样本

31、。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，xx2，xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，x1,x2，xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设x1,x2，xn为总体的一个样本，称邛=邛（xx2，xn）为样本函数，其中邛为一个连续函数。如果含中不包含任何未知参数，则称中（x1,x2，xn）为一个统计量。常见统计量及其性质关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生)：AuB如果同时有A匚B,

32、BnA,则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=BAB中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。AB同时发生：A1B,或者ARAB=?,则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互小相容或者互斥。基本事件是互不相容的。C-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)oOoQAAi=UAi

33、德摩根率：yyATb=AB,AB=aUB(2)止态总体下的四大分布正态分布设。为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足卜列三个条件：10WP(A)W1,2P(Q)=130对于两两互不才目容的事件A1,A2,有oCiO0PUAi=P(Ai)i=1Ji=1常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。t分布1Q=G户2环_12P(%)=P俾2)=P(%)=一。n设任T件A,它是由与，6m组成的，则有P(A)=0)U2)UU(%)=P3)+PM)+Pm)_m_A所包含的基本事件数n基本事件总数工2分布若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空

34、间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,L(A)P(A)-o其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L(C)F分布P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(3)止态总体下分布的性质P(A-B尸P(A)-P(AB)当BUA时，P(A-B尸P(A)-P(B)当人=时，P(B)=1-P(B)矩估计（1）点 估计第七章参数估计设总体x的分布中包含有未知数61,e2,em,则其分布函数可以表成F（x*i。，）.它的k阶原点矩Vk=E（Xk）（k=1,2,，m）中也包含了未知参数日1,日2,，Hm,即Vk=Vk（81包,Pm）。又设X1,X2，Xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为1n工Xik(k=1,2,m).ny这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有.1.nV1C1,口2,”m)Xi,n7八1n2V2Q192,1m)=、X2,n7，八1nmVmC1尸2工)=Xm.ny由上面的m个方程中，解出的m个未知参数（e：,e；,，e：）即为参数（81包,&m）的