大学物理3-(1-2)刚体、转动动能、转动惯量

1、第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 1 掌握掌握刚体的平动、转动和定轴转动的概刚体的平动、转动和定轴转动的概念。念。掌握掌握力矩、力矩的功和转动动能的概念。力矩、力矩的功和转动动能的概念。 2 正确理解正确理解转动惯量、角动量（动量矩）和转动惯量、角动量（动量矩）和冲量矩的概念。冲量矩的概念。第三章第三章 3 掌握掌握刚体绕定轴转动的转动定律。刚体绕定轴转动的转动定律。 4 掌握掌握角动量定理和角动量守恒定律及其适角动量定理和角动量守恒定律及其适用条件，并能应用该定律分析、计算有关问题。用条件，并能应用该定律分析、计算有关问题。 Chap 3 Chap 3

2、刚体转动刚体转动（Motion of Rigid Body）概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的运动。概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的运动。一、何谓刚体一、何谓刚体在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体。在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。保持不变。 mi mji jrc 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj二、刚体运动的两种基本形式二、刚体运动的两种基本形式1、 平动平动-刚体运动时，刚体内

3、任一直线恒保刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动持平行的运动 mi mj mi mjirjr mi mjOijr 选取参考选取参考点点O，则，则：(1)jiijrrr jivvjiaacrij对（对（1）式求导：）式求导： mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度、及相同的轨迹。度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体只要找到一点的运动规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这一点

4、已经知道的运动规律便全知道了。事实上这一点已经知道-质质心运动已告诉了我们。也就是说质心运动定理是反映心运动已告诉了我们。也就是说质心运动定理是反映物体平动规律。物体平动规律。2、转动、转动: 定轴转动和定点转动定轴转动和定点转动刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称为刚体作定轴转动。为刚体作定轴转动。OO定点转动：绕一固定点转动。如陀螺。定点转动：绕一固定点转动。如陀螺。第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应3、刚体的一、刚体的一 般运动般运动一般运动：刚体的任一个位移总可以看成是一个随质一般运动：刚体的任

5、一个位移总可以看成是一个随质心的平动加上绕质心的转动组合。平动转动心的平动加上绕质心的转动组合。平动转动第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应xz参考平面参考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标约定约定r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴三、刚体定轴转动的角速度和角加速度三、刚体定轴转动的角速度和角加速度第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应角加速度角加速度t dd1） 每一质点均作圆周运

6、动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 .,a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 zztttddlim0角速度矢量角速度矢量第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 角量与线量的关系角量与线量的关系tervrtev2ntraratanan2tererat ddtt22ddddar v第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质

7、点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应OXY刚体的平动动能刚体的平动动能2112niikiEmv平211()2niCimv mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMCCv其平动动能应为

8、各质元动能和。其平动动能应为各质元动能和。vc为质心的速度为质心的速度 miMCCv3-23-2转动动能转动动能 转动惯量转动惯量212CMv第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应一、转动动能一、转动动能M12,inmmmm 刚体的动能应为各质元动能之和，刚体的动能应为各质元动能之和，为此将刚体分割成很多很小的质为此将刚体分割成很多很小的质元元2222111()222iiiii imvm rmr任取一质元任取一质元 距转轴距转轴 ，则该质元动能：，则该质元动能：imir故刚体的动能：故刚体的动能：22221111()22nnki ii iiiEm rm r刚体绕

9、定轴以角速度刚体绕定轴以角速度 旋转旋转ivimr i第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应质量不连续分布（离散）质量不连续分布（离散）2211()2nki iiEmr22011lim2inki iminEmr221()2r dm 212kEI质量连续分布质量连续分布0imMivimr i221ni iiIr dmm r 令令或或I=I=212I 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应2i iiIm r 质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布212kEmvI转动惯量转动惯量dldmdsdV 线分布线分布m/Lm/L面

10、分布面分布m/Sm/S体分布体分布m/Vm/V2Ir dm212kEI第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应hO质质BAX3 3、刚体转轴的位置。、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）（如细棒绕中心、绕一端）1 1、刚体的、刚体的总总质量；质量；2 2、刚体的质量分布；、刚体的质量分布；（如圆环与圆盘的不同）；（如圆环与圆盘的不同）；第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例1 1 求质量为求质量为m,m,长为长为L L的均匀细棒对下面三种转轴的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：的转动惯量：转轴通过棒的中心转轴通过棒的中心

11、o并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒的一端转轴通过棒的一端B B并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒上距质心为转轴通过棒上距质心为h h的一点的一点A A 并与棒垂直并与棒垂直hO质质BAXdxxdm已知已知：L、m求：求：IO、IB、IA解：解：以棒中心为原点建立坐标以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分、将棒分割割 成许多质元成许多质元dm.dmdx/m L第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应hO质质BAXdxxdmdmdx/m L求：求：I IO O3211212LmL求：求：I IB B22()2BLIr dmxdm32133LmL/22/2( /2)LLLxdx2

12、2222LLoIr dmx dmxdx2AIr dm求：求：I IA A3212LhL/22/2()LLhxdx22112mLmh第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应hO质质BAXdxxdmdmdx/m L2mh22211()3122BOLIImLmLm22211()1212AOIImLmhmL注意：注意：或：或：2( )2BcLIIm2AcIImh第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应正交轴定理：正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）（仅适用于薄板状刚体） （zxzx、y y，xyxy轴在刚体平面内轴在刚体平面内I Iz z绕垂直

13、其平面的转轴的转动惯量，绕垂直其平面的转轴的转动惯量，I Ix x，I Iy y在转动平面内两个正交轴的转动惯量。在转动平面内两个正交轴的转动惯量。zxyIII平行轴定理：平行轴定理：刚体对任一轴刚体对任一轴A的转动惯量的转动惯量IA和通过质和通过质心并与心并与A轴平行的转轴平行的转动惯量动惯量Ic有如下关系：有如下关系：2ACIImdm为刚体的质量、为刚体的质量、d为轴为轴A与轴与轴C之间的垂直距离之间的垂直距离 MCAd第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例2 2 半径为半径为R R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均

14、为质量均为m m，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。直的转轴的转动惯量。RR解：解：（1）细圆环）细圆环Rdldmdl22CLIR dmRdl2222LRdlRRmR 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应解：解：（2）薄圆盘）薄圆盘2r2dsrdrdrrdr232dIr dmr dr 2dmdsrdr 302RCmIdIr dr 212mR4224mRR第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例3 3 求一质量为求一质量为m m的均匀实心球对其一条直径为轴的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。的转动惯量。解：解：一球绕一球绕Z Z轴旋转，离球心轴旋转，离球心Z Z高处切一厚为高处切一厚为dzdz的薄圆盘。其的薄圆盘。其半径为半径为22rRZ222()dVr dZRZdZ22()dmdVRZdZ222211()22dIr dmRZdZ其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrd ZZ第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应YXZORrd ZZ2