数学归纳法（二）

1、数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用一般地一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数的所有正整数n都成立时都成立时,可以用以下两个步骤可以用以下两个步骤:(1)证明当证明当n=n0时命题成立时命题成立;(2)假设当假设当n=k 时命题成立时命题成立,证明证明n=k+1时命题也时命题也成立成立.在完成了这两个步骤后在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于就可以断定命题对于不小于n0的所的所有正整数都成立有正整数都成立.这种证明方法称为这种证明方法称为数学归纳法数学归纳法.),(0nkNk且一一.数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理(1)

2、证明了第一步证明了第一步,就获得了递推的基础就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明但仅靠这一步还不能说明结论的正确性结论的正确性.在这一步中在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立没有必要验证命题对几个正整数成立.用数学归纳法证明时用数学归纳法证明时,要分两个步骤要分两个步骤,两者缺一不可两者缺一不可.(2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论。在第二步中在第二步中,n=k命题成立命题成立,可以作为条件加以运用可

3、以作为条件加以运用,而而n=k+1时的情时的情况则有待利用命题的已知条件况则有待利用命题的已知条件,公理公理,定理定理,定义加以证明定义加以证明.二二.数学归纳法作用数学归纳法作用:证明与证明与正整数正整数n有关数学命题有关数学命题.适用范围适用范围:1.证明与正整数证明与正整数n有关的有关的恒等式恒等式;5.证明与证明与正整正整数数n有关的有关的不等式不等式;3.证明与证明与正整正整数数n有关的有关的整除性问题整除性问题;4.证明与证明与正整正整数数n有关的有关的平面几何问题平面几何问题;(归纳归纳-猜想猜想-证明证明)2.证明与证明与正整正整数数n有关的有关的猜想问题猜想问题;练习练习(一

4、)322121 . aaC.1 aB.1 A.1) (,1) 1(1:. 1aaaDnaaaan左端计算所得的项为时在验证用数学归纳法证明C12 . 12 . 2 . A.2) ( , 1),1,(12131211:. 21 -kkkknDCBkknNnn左端增加的项数是到第二步证明从用数学归纳法证明B时该命题成立当时该命题不成立当时该命题成立当时该命题不成立当那么可推得该命题不成立时现在已知当时该命题也成立那么可推得该命题成立时若有关某个命题与自然数4466513nnnnnknNkknnD. C.B. A.) (,)(,.C成立大的自然数对所有比成立对所有奇正整数成立对所有偶正整数成立对所有

5、正整数则下列结论正确的是成立对又若亦成立则它对成立对如果命题nnnnnnpknknnp1D.p(n) C.p(n)B.p(n) A.p(n) (,2)(,2,)(. 4BD.10 C.9 B.8 A.7) (,641272141211. 51起始值至少就应取为成立式用数学归纳法证明不等nB题成立证明命为正奇数假设命题成立证明假设成立证明命题为正奇数假设命题成立证明假设正确的证法是在第二步时整除能被是正奇数时当用数学归纳法证明2, )(D.1),( 12C.1, )(B.1),(A.) (, ,. 6knkknknNkknknkknknNkknyxyxnnnD_;_;.,)()(,9753175

6、31531311215311并加以证明的结果猜想出通过计算下面的式子例nn., 5, 4 , 3, 2:别是上面四个式子的结果分解nnnn) 1() 12() 1(531:由此猜想:下面用数学归纳法证明., 1,1) 1 (即这时等式成立式子左右两边都等于时当nkkkknkk)()()(,)()(112153112即时等式成立假设当,时当1 kn)()()()()()()(11211112112153111kkkkkkkk)()()()(11112111kkkkk）可知，），（由（时，等式成立。所以当211kn)()()(Nnnnnn（1121531例例2 2、用数学归纳法证明：、用数学归纳法

7、证明：4 42n+12n+1+3+3n+2n+2(nN )(nN )能被能被1313整除。整除。证明：证明：1 1）n=1n=1时：时：4 4 2 21+11+1+3+31+21+2=91=91，能被，能被1313整除。整除。 2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN) )时时, 4, 42k+12k+1+3+3k+2k+2能被能被1313整除，整除，当当n=k+1n=k+1时：时：4 42(k+1)+12(k+1)+1+3+3(k+1)+2 (k+1)+2 = 4= 4(2k+1)+2(2k+1)+2+3+3(k+2)+1(k+2)+1= 4= 42k+12k+116+316+3k+2

8、k+23 3= 4= 42k+12k+116+316+3k+2k+216-316-3k+2k+216+316+3k+2k+23 3=16(4=16(42k+12k+1+3+3k+2k+2)-13)-133 3k+2 k+2 ( () )4 42k+12k+1+3+3k+2k+2及及13133 3k+2k+2均能被均能被1313整除整除,(,() )式能被式能被1313整除。整除。 4 42(k+1)+12(k+1)+1+3+3(k+1)+2(k+1)+2也能被也能被1313整除，即当整除，即当n=k+1n=k+1时命题仍成立。时命题仍成立。由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切n

9、NnN+ +原命题均成立。原命题均成立。例例3 3、平面内有、平面内有n n条直线，其中任何两条不平行，任何条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点个数是三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= n(n-1).f(n)= n(n-1).当当n=k+1n=k+1时：第时：第k+1k+1条直线分别与前条直线分别与前k k条直线各交于条直线各交于一点，共增加一点，共增加k k个点，个点，由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN原命题均成立。原命题均成立。证明：证明：1 1）当）当n=2n=2时：两条直线交点个数为时：两条直线交点个数为1,1, 而而f(2)= f(

10、2)= 2 2(2-1)=1, (2-1)=1, 命题成立。命题成立。 2121 k+1 k+1条直线交点个数条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即当即当n=k+1n=k+1时命题仍成立。时命题仍成立。212121212 2）假设）假设n=k(kNn=k(kN,k2,k2) )时，时，k k条直线交点个数为条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),f(k)= k(k-1),21.)(

11、,.*nxxnNnxn11204求证：且设例,2121)1 (022xxxxx证明证明:(1):(1)当当n=2n=2时时, , 不等式成立不等式成立. .则,1)1(kxxn(2)(2)假设假设n=kn=k时时(k 2,k(k 2,k是正整数是正整数) )不等式成立不等式成立. .即即当当n=k+1n=k+1时时, ,)1)(1 ()1 ()1 ()11xkxxxxkk（.) 1(1) 1(12xkkxxk所以所以, ,当当n=k+1n=k+1时时, ,不等式也成立不等式也成立. .由由(1),(2) (1),(2) 可知可知, ,对于任意的大于对于任意的大于1 1的正整数的正整数n n不等

12、式均成立不等式均成立. .小结小结:数学归纳法的应用数学归纳法的应用1 1、证明整除问题时注意构造的技巧，常用增项减、证明整除问题时注意构造的技巧，常用增项减项或拆项的方法；项或拆项的方法；2 2、证明几何问题时注意理清、证明几何问题时注意理清n n从从k k到到k+1k+1时几何量时几何量的变化情况；的变化情况；3 3、“归纳猜想，然后证明其正确性归纳猜想，然后证明其正确性”是一种常用是一种常用的分析问题解决问题的方法。的分析问题解决问题的方法。4 4、证明不等式时常用放缩法。、证明不等式时常用放缩法。练习练习(二)1 1、已知数列、已知数列aan n 中，中，a a1 1= ,= ,其前其

13、前n n项和项和S Sn n满足：满足： (n(n2)2)，计算，计算S S1 1，S S2 2，S S3 3，S S4 4，猜想，猜想S Sn n，并证明。，并证明。21nnnSSa322 2、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：x x2n2n-y-y2n2n能被能被x+yx+y整除整除(n(n为正整数为正整数) )。3 3、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：.1114131212222nn证明你的结论少个区域这些直线把平面分成多共点任意三条不其中任意两条都相交条直线平面上有?,. 4n1 1、已知数列、已知数列aan n 中，中，a a1 1= ,= ,其前其前n n项和项和S Sn

14、 n满足：满足： (n(n2)2)，计算，计算S S1 1，S S2 2，S S3 3，S S4 4，猜想，猜想S Sn n，并证明。，并证明。21nnnSSa32当当n=k+1n=k+1时：时：a ak+1k+1=S=Sk+1k+1-S-Sk k=S =S k+1k+1+ +2 + +2 11kS21211kSkk2311kkSk2)1(1)1(1kkSk略解：略解：S S1 1=a=a1 1= ,S= ,S2 2= ,S= ,S3 3= ,S= ,S4 4= .= .32435465猜想：猜想：S Sn n= = 。21nn证明：证明：1 1）当）当n=1n=1时由前可知，公式成立。时由前

15、可知，公式成立。 2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN) )时有：时有：S Sk k= ,= ,21kk当当n=k+1n=k+1时公式仍成立。由时公式仍成立。由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN公式均成立。公式均成立。2 2、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：x x2n2n-y-y2n2n能被能被x+yx+y整除整除(n(n为正整数为正整数) )。证明：证明：1 1）n=1n=1时：时：x x2 2-y-y2 2=(x+y)(x-y),=(x+y)(x-y),能被能被x+yx+y整除，命题成立。整除，命题成立。 2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN

16、) )时有时有x x2k 2k - y- y2k2k能被能被x+yx+y整除整除, , 当当n=k+1n=k+1时：时：x x2(k+1) 2(k+1) - y- y2(k+1) 2(k+1) = x= x2k+2 2k+2 - y- y2k+22k+2 = x= x2k 2k x x2 2 - y- y2k 2k y y2 2 = x = x2k2kx x2 2 - y- y2k 2k x x2 2 + y+ y2k 2k x x2 2 - y- y2k 2k y y2 2 =(x=(x2k 2k - y- y2k2k) )x x2 2 +y+y2k2k(x(x2 2 - - y y2 2)

17、 ) （） (x (x2k 2k - y- y2k2k) )和和(x(x2 2 - - y y2 2) )都能被都能被x+yx+y整除，整除， （）式也能被）式也能被x+yx+y整除。整除。 由以上可知，对一切由以上可知，对一切nNnN， x x2n2n-y-y2n2n都能被都能被x+yx+y整除整除。3 3、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：.1114131212222nn.41212.211,2141证明证明:(1):(1)当当n=2n=2时时, ,左式左式= ,= ,右式右式= = 不等式成立不等式成立. .1114131212222kk(2)(2)假设假设n=kn=k时时(k 2,

18、k(k 2,k是正整数是正整数) )不等式成立不等式成立. .即即则当则当n=k+1n=k+1时时, ,.) 1(111) 1(11413121222222kkkk.111) 1() 1(1) 1() 1(1222kkkkkkkkk所以所以, ,当当n=k+1n=k+1时时, ,不等式也成立不等式也成立. .由由(1),(2) (1),(2) 可知可知, ,对于任意的大于对于任意的大于1 1的正整数的正整数n,n,不等式均成立不等式均成立. .证明你的结论少个区域这些直线把平面分成多共点任意三条不其中任意两条都相交条直线平面上有?,. 4n下面用数学归纳法证明域数目为条直线把平面分成的区这样的

19、解22)(:2nnnfn.1, 2) 1 (,1) 1 (时命题成立部分一条直线将平面分成两时当nfn. 1,1,1,1,22)(,)()2(2kkkkkkknkkkfNkkn也即使原区域数目增加原区域一分为二的其中每一段都把它所在段条直线截成即它被前面个不同交点条直线有条直线与前面第时当即有时命题成立假设当命题成立对任意正整数可知由命题成立时故当,)(.,)()()()(nknkkkkkkkkfkf211221124312211222k.,512,256,128,64,32,16, 8 , 4 , 2:2;,81,64,49,36,25,16, 9 , 4 , 1:.?,. 12nnnnnb

20、naba证明你的结论始终小于从第几项起观察下面两个数列例)5,(2,5,2nNnnbannn即项起从第由数列的前几项猜想命题成立有时当证明,25,5) 1 ( :52n222212) 1(12222,1.2,)5()2(kkkkkknkkknkkkk有时当即有时命题成立假设当).5,(2,)2)(1 (.12nNnnknn可知由时命题成立即当)(sinsin. 2Nnnn证明不等式例.,sin,1) 1 ( :不等式成立右边上式左边时当证明nsin) 1(sinsinsinsinsincoscossinsincoscossin) 1sin(,1.sinsin,) 1()2(kkkkkkkkkn

21、kkkkn有时当即有命题成立时假设当.,)2)(1 (.1均成立不等式对一切正整数可知由时不等式成立即当nkn., 1,)(:.3212121naaaaaaaaannnnn那么它们的和乘积的个正数为正整数如果证明例., 1,1) 1 ( :1命题成立有时当证明ankaaaaaakknkk2121 , 1.,)2(则个正数的乘积即若命题成立时假设当. 1,1,1121121kkkaaaaaaakkn满足条件个正数已知时当命题得证其和为则它们都是都相等个正数若这, 1, 1,1121kaaaakkk. 1, 1).1(11,121121121aaaaaaaaakkkk不妨设矛盾否则与的数也有小于的

22、数则其中必有大于不全相等个正数若这kaaaaaaaaaakaakkkk1321132121, 1,由归纳假设可以得到的乘积是个正数这样就得到看作一个数我们把乘积为利用归纳假设21143aakaaaakk) 1)(1(11) 1(2121212121121aaaaaakaakaakaaaakk时命题成立当即11, 010) 1)(1(, 1, 11211212121knkaaaakaaaaaaaakkkk., 1,)2)(1 (212121成立那么它们的和乘积的个正数如果对一切正整数可知由naaaaaaaaannnnn练习练习(二), 2(21131211. 3*Nnnnn证明：), 2(212

23、)1211 ()511 (311. 1*Nnnnn ）证明：（放缩法放缩法11312111)(. 2nnnnf证明：), 2(212)1211 ()511 (311. 1*Nnnnn ）证明：（,34311.25,2534证明证明:(1):(1)当当n=2n=2时时, ,左式左式= = 右式右式= = 不等式成立不等式成立. .(2)(2)假设假设n=kn=k时时(k 2,k(k 2,k是正整数是正整数) )不等式成立不等式成立. .即即则当则当n=k+1n=k+1时时, ,12222kk所以所以, ,当当n=k+1n=k+1时时, ,不等式也成立不等式也成立. .由由(1),(2) (1),

24、(2) 可知可知, ,对于任意的大于对于任意的大于1 1的正整数的正整数n,n,不等式均成立不等式均成立. .212)1211 ()511 (311kk）（12222121) 1(211)1211 ()511 (311kkkkk）（1224842kkk1223842kkk.21) 1( 21221232kkkk11312111)(nnnnf求证：2.不等式成立。时：）当证明：11213311211111) 1 (11fn, 11312111)(,)2kkkkfNkkn有：时（）假设4313312311313121) 1(kkkkkkkf时：当1 kn11431331231)1312111(kkkkkkk1)43)(33)(23(213324312311kkkkkk 当当n=k+1n=k+1时，不等式仍成立。时，不等式仍成立。由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nN nN ，原不等式均成立。，原不等式均成立。不等式成立。时）当证明：,22112254131211,2122Sn.212131211,), 222kSNkkknkk有时（）假设时：当1 kn 当当n=k+1n=k+1时，不等式仍成立。时，不等式仍成立。由由1 1）、）、2 2）可知，不等式对一切大于等于）可知，不等式对一切大于等于2 2的的nNnN 均成立。均成立。2112