华师数学建模考试资料

1、数学建模名词解释：一阶差分方程标准答案:定义数列任JQ=。工人)的一阶差分为二%=占心/(t=01,2,-)一阶差分方程就是形如。)的方程，其中厚与七祕的一元函致式也就是数列哪关系与H=产=其中尸(M)=K+八力式也可哪为Tfr差分方程2 .第9题名词解释：数学模型标准答案：数学模型(MathematicalModel)是由数字、字母或者其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.3 .第10题名词解释：二阶差分方程定义数列心)的二阶差分为，&=工“w-2KHi+o优=QLZ)二阶差分方程就是形如二工土三卜/工t=0,LZ的方程，其中7是与t新的二元函数(3湿即数列

2、递推关系凝心=尸(x1fl亨9A=Q予L4其中二元函数产(X3y)=拉一,+/(工M*0寓也可以称为二阶差分方程.4 .第15题名词解释：(1)线性规划模型；(2)线性规划模型的可行域；(3)线性规划模型的最优解和最优值；(4)不可行的线性规划模型；(5)无界的线性规划模型.标准答案:解答(D线性规划(linearprogrannnnig,LP)就是对满足有限多个线性的等式或不等式约束条件的决策变量的一个线性目标函数求最大值或最小值的最优化问题.线性规划模型的一般表达式可写成max(或min)Z二砧十七必+匕勿st-4西+马西+-+1占=(或=,渤g十%十十世匕<(或乱之两%+9汽+十4

3、A£（或之）'丐之Q,J=L2/未知数9称为决策变量目标函数经常记为z或w,称为目标变量.目标函数的变量系数弓称为价值系数.均束条件的变量系数,称为工艺系数约束条件右端的常数4称为资源限量.约束条件前的记号"st”是要单列"subjectto"的编写，意即“受约束于,决策变量的上下界约束一般(2)满足约束条件的决策变量就是可行解(feasiblesohitim),可行解的集合称为可行域Cfeasibteregion).(3)使目标函数达到最大值(或最小值)的可行解称为最优解(optimalsolution)r相应的目标函数值就是最优值(optim

4、alvahie).(4)没有可行解的线性规划模型称为不可行(infeasible),不可行的线性规划模型没有最优解.(5)如果最大(小)伙较性规划模型的目标函数可以在可行域取得任意大(小)的值，则称为无界(unbounded).无界的线性规划模型也没有最优解.5 .第4题回答以下关于Tim性常系数齐次差分方程耳h=。+杂?&=。山乙(D的问题：<D当Q编用作数学蝌时,模型假设是什么？<2)创&值记作与，写出(1道的解的通项公式.(3)当r¥0时,求出0使的平衡点.<+)平衡点渐进稳定的充分必要条件是什么？标准答案：解答(O当(1)式用作数学模型时，,

5、是实际对象在第k时段的状态值，参数，是用前差公式计算的增长率；!三七氏=0J4q由Q戌可见，(1吠的模蛰假设为*用前差公式计算的增长率为常数".(2)(1减的解为等比数列A.=5(l+r)it=0Jl.(3)令1frH=工1=工,r-Q.+r)x»当r#0,解得JM),所以当F¥0时。浅有唯一的平衡点AO.(4)根据等比数列的性质如:既4=口当且仅当卜)“U1,即平衡点户0是渐进稳定的当且仅当-2寸Q.6 .第11题司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长.请问刹车距离与车速之间具有怎样的

6、数量关系来1符号说明也单位名称说明Vtn/s车速atn刹车距离从司机决定刹4到车冗全停住汽车行驶的距离*m反应距离从司机决定剌4到踩下刹车踏板汽车行夏的距离tn制动距离从司机踩下剌车踏板到车完全停住汽车行驶的距离£反应时间从司机决定刹车到踩下刹车踏板的时间am/s2减速度汽车制动过程的减速度尸n制动力汽车制动过程的制动力kg汽车质量比鼻s2/m电=1/(2模型假设：（1）假设道路、天气和驾驶员等条件相同,汽车没有超载,也没有故障；（2）假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向：（3）假设驾驶员的反应时间为常数，汽车在反应时间做匀速直线运

7、动；（4）假设汽车在制动过程做匀减速直线运动,减速度金是常数j制动力所做的功等于汽车动能的损失I（5）假设刹车距离等于反应距离加制动距离.根据假设,立即得到&-用v根据牛顿第二定律和假设（4）,有尸=松F&=摘期所以（2=用;邛其中与=1/0口）.最后，根据假设（5X有d=Q上式就是汽车刹车距离的数学模型.7.第12题考虑弹簧-质量系统，收集弹簧伸长的长度与弹簧末端悬挂的质量的实验数据，记录在表（单位省略）.请计算出伸长与质量的函数关系的经验公式.表1弹簧伸长和质量的测量数据质量50100150200250300伸长1.0001.8752.7503.2504.37514.875

8、质量3504004505005505.67516.50017.25018.00018.7501标准答案:解答记弹簧末端悬挂的质量为自变量小弹簧的伸长为因变量由表1的样本数据（4此X£=LZ绘制散点图,可以直观的看出产与又大致呈线性关系,所以采用一元线性回归模型y=人+舛无+£.以下是回归分析的MATLAB脚本:«=5&50;550)产口;1575275籽25判375；4£75与左力;6f25网275；Xones(xize)Xx;KNnRiiiUHat=TEgressX)figure(1西&通工八HinetegendC观测数据？回归直线2)

9、EabdC质量ykbdf伸长)tiHcf弹簧-质量系统)figiue(2XMplMmnQ计算结果整理成表2.由结果得知工F统计量很大.p值远小于0.05,说明13归模型是显著的；回归系数的置信区间都不含零点.说明回归模型的自变量和截距两项对因变量的影响都晶著；决定系数很接近L说明回归模型的拟合精确程度很高;虽然第5个数据的误差均值置信区间042754辛037179不含零点，但是置信区间偏离零点的程度不严重，不必剔除表2计算结果回归系数回归系数估计值回归系数置信区间A%=0.324550.17445,0.47464)用伪=0,0153730.01493,O.OL5815y=03245540.01

10、5371r胃=«9985%品名173,k.4365KMT%53=0.010528绘得的图形;弹簧质量茶统ResidualOrderPlot23456791011CaseNurinr8.第14题（接续47酶促反应（1）和48酶促反应（2）请分析Michaelis-Menten模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么?标准答案：解答：根据47酶促反应Q）和48酶促反应Q）的计算结果,Midiadis-Meiiteii模型线性化拟合的误差平方和比非线性拟合的大60%：另外，观察下图，可以发现1当底物浓度X越接近1,线性化拟合的误差与非统性拟合的误差相差得越来越大.原因：假设工和

11、了都是正数.因为对于X或J的数值较小的数据，X=或了=1/y取倒数以后变成较大的数工或y的数值越小'变量替换后增加得越多I而对于X或y的数值搂近1的敷据,片=1拉或f=i介取倒数以后变化也很小.所以工或7的数值较小的数据，在统性化拟合起较主要的作用，拟合误差会较小；而非或y的数值接近1的数据，在线性化拟合起较次要的作用，拟合误差会较大.MiChm饰唇Ms始ni®型的拟合误差比较图30I1IIIQ2010口10x非线性拟合线性化拟合J0.20J060.8底物浓度x您的答案：题目分数：4.0此题得分：0.09 .第1题阅读材料电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用

12、AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板.长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量.表1是一些恰当用胶量的具体数据.表1磁钢面积（cm2）和恰当用胶量（g）的具体数据磁钢面积11.019.426.246.656.667.2125.2189.0247.1443.4用胶量0.1640.3960.4040.6640.8120.9721.6882.864.0767.332设自变量x为磁钢面积，因变量y为恰当用胶量，用以下MATLAB脚本做一元线性回归分析的计算：x=11.0;19.4;26.2;46.6;56.6;67.2;125.2;18

13、9.0;247.1;443.4;y=0.164;0.396;0.404;0.664;0.812;0.972;1.688;2.86;4.076;7.332;X=ones(size(x),x;b,bint,r,rint,stat=regress(y,X)命令窗口显示的计算结果：b=-0.101210.016546bint=-0.247630.0452090.0157280.0173650.08320.176210.071696-0.0058489-0.023312-0.038703-0.28239-0.166040.0886160.096575rint=-0.23480.4012-0.113930

14、.46635-0.25220.39559-0.339760.32806-0.358280.31166-0.374080.29667-0.51782-0.046954-0.468950.13686-0.22490.40213-0.0779040.27105stat=0.9963321744.948e-0110.02121问题请将计算结果整理成表格，并进行分析.标准答案:解答表2计算给果回归系数在A回归系数估计值-0.10121q=0.01fi546回归系数置信区间-0,24763QQ4520910.015728?0,017365g=-0.101214fl.016546xR2=0.99633f42

15、174.1948&1。，=0.02121由计算结果得知：F统计量很大，户值比0.05小很想说明回归模型是显著的，决定系数很接近b说明回归模型的拟合精确程度很高；A的置信区间不含零点，说明自变量对因变量的影响显著孑但是乩的置信区间含零点予说明截距对因变量的影响不显著彳虽然第七个数据的误差均值置信区间L051782,T).(M6954不含零点，但是置信区间偏离零点的程度不严重，不必剔除.为由表6AQ的样本数据计算得到的网的置信区间包含零点,所以应该采纳原假设%<=0.从本题的实际意义看，当磁钢面积富R时，理应有恰当用胶量尸0,所以假设,与其之间为正比例函数关系应该更合理10 .第6题

16、在道路行驶的汽车保持足够安全的前后车距是非常重要的，人们为此提出了五花八门的建议.在美国，有人建议“两秒准则汽即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志,而不管车速如何.请应用刹车距离与车速关系的经验公式d=015"S082678/（速度单位为m国距离单位为m）或利用由美国公路局提供的刹车距离实际观测数据见表2来衡量。两秒准则”是否足够安全.表2的数据使用英制单位mph（milesperhour英里/小时）和ft（英尺）换算率为：1mph=0.44704m/sj1fl=0.3048m.求2反应距离和制动距高的宾际则则值车速(mph)反应距离世）制动距离班）刹车距离能）

17、范围本平均值范围平均值202218222040T4422527.525312852.55855553033364540.569Tx73.535385475852.585596.59140446480721081241164549.58210392.5131,5152,514250551051311181601861735560.513216514851925225.520960661622021822282682486571.5196245220.5267.5316.529270112372952663A4T123437522.5283353313365.5435.54005SOPSS334-

18、418376422506464喷围包括了美国公路局所做测试中的85%的现独虺吉果标准答案:16014012010080604020比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系.引入以下符号：D前后车距(m)；v车速(口内)；勺=2按照“两秒准则”，。与v之间的比例系数(s).于是“两秒准则”的数学模型为D=&v=2y.比较d=0.75y+。82678y2与少=2?,得：d-D=(0.0826781.2小所以当n<15.12m/s(约合54.43km/h)时；有即前后车距大于刹车距离的理论值，可认为足够安全；当y>15,12】Ws时，有d&

19、gt;2即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全.也就是说，“两秒准则“适用于车速不算很快的情况.另外，江可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全.用以下MATLAB程序把表2的刹车距离实测数据和“两秒准则"都画在同一幅图中.v=(20：5：80).*0.44704；d2=185,36,47,64,82,105,132,162,196,237,2833342231,45,58,80,103,131,165,202245,295,353,41820,28,40-5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;

20、kl=0.75;k2=0.082678;K2=2;dl=v;v;v.，kl;d=dl4-d2;pltf(Q4Qjj0，K2-40,1c%holdoilplot(0:4DJpolyval(k23kl30J0:40)J':k,)plot(v;v;v,d,ok,MarkerSize,2),holdofftitle。比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则。legBi】d(两秒准则T刹车距离理论值，刹车距离的最小值、平均值和最大值受)xlabel(,车速v(m/s),yiabulC距离Cm)180您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.011 .第7题请编写绘制以下图形的MATLAB命令n并展示

21、绘得的图形，¥十/=1、/+/=4分别是椭圆H十的内切圆和外切圆.4标准答案:的参数方程为I=cosr,y=sinx(0<t<2;r)并利用伸缩变换肝+胃=4的横、纵坐标都是/+/=1的两倍，巨十=1的横”纵坐标分别是/+/=1的两倍和一倍，编写程序时运用好MMAB函数plot的语法格式Z中横坐标数组x是向量.而纵坐标数组y是矩阵的语法规定以及格式使程序简洁.使用命令axisRq才胃缪得真正的圆一MAILAB程序：t=linspace(02*pim81)；x=cos(t);产血l(t);plat(x,yK2.,j,|yZ*y,kaxisequal绘得的图形；您的答案：题目

22、分数：9.0此题得分：0.012 .第8题对于常系数齐次差分方程（幽."十"#0）=己工口+I=OJNj（D请回答以下问题二怎徉求式的fK2（2）詹样求（1成满足给定初始值的特解？Q）如果m摩匕求（1法的平衡点,并说明¥衡点渐进稳定的充分条件标准答案：解答（1）Q）式的特征方程是工1办=0,因为+4*餐0,所以特征方程有两个互异的特征根4和&（一对实根，或者一对共匏复根上又因为厉。所以4户。且丰0,于是。）式断木解为；其中q和.为任意实效.（2）给定初始值和玉以后，从代数方程组而="0TE=C内土勺2可以唯一的确定常数或和g，使数列/是a国在给定

23、初&值/和1之后的特蟀（3）令Km=Jtt+i=-X-则m+fee-如果以十厚1.则求得式唯一的平衡点A0.既感（1浅的照&如X*勺吊-+C遇I1正=0人工-所以当国<1且冉|<1时，平衡点D是渐进稳定的1您的答案：题目分数：8.0此题得分：0.013 .第16题某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位

24、的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？标准答案:解答设为该J使独定X个单位的午餐和/个单位的晚餐，依题竟列式得工niinz=2.5工十勺s.L12x+8y>646jc+6y>426工+lQy之54y>0画出可行域的图形，并计算出可行域的所有顶点的坐标:A(a«),B(45),C(43>0(9,0)本题采用图解法不容易画得准确的图形并取得正确的结果，因为目标函数直线的斜率是-0625,与第三个不等式约束条件的边界直线61+10y=54的斜率小6很接近必须用枚举法才能取得可靠的结

25、果.两个决策变量的线性规划问题(允许决策变量取实数值)如果可行域非空，则可行域一定是凸多边形;又如果最优解存在，则目标函数一定可以在可行域的某个顶点达到最优值本愚的可行域的四个顶点都是整点，所展使目标函数达到最小值的那个顶点自然会满足整教约束通过枚举法，印逐个计算每个顶点处的目标函数值，得知在点C,口当Lk尸3时,目标函数/二2.5x+4尸送到最小值2Z您的答案:题目分数:此题得分:8.00.014.第2题对于离散动态过程的性数列有哪三种常用算法计算笫*时段的增长率？标准答案:对于离散动态过程的蜂也列4,有三种常用算法计算第it时段的增长率;前差公式(2)中点公式(3)后差公式,I您的答案:题

26、目分数：4.0此题得分：0.0教师未批改15 .第5题写出以下公式：按照最小二乘法，由样本数据计算一元线性回归模型的回归系数的点估计标准答案:解答按照最小二乘法，由样本数据(工户制=X二小一元线性回归模型产=片+郎+君的回归系数弁的点估计为A回归系数a的点估计为其中¥=应渺,二,菁-欧凡-势)卜您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.0教师未批改16 .第13题请概括数学软件MATLAB勺特点标准答案：MATLA队有强大的数值计算和图形功能，兼具符号计算功能.MATLAB的特点可以概括为:(1)以矩阵计算为基础；(2)计算功能强，编程效率高；(3)方便的绘图功能；(4)集成环境，融计

27、算、可视化和编程功能于一体；(5)众多工具箱，使用简便，易于扩充.您的答案：题目分数：2.0此题得分：0.0教师未批改17 .第17题请简述函数M文件的语法格式标准答案：函数M文件总是以关键字function开始，先说明函数名、输入和输出，语法格式如下:functionoutput-name,=function-name(input-name,)输出变量名列表用一对方括号括住，变量名之间用逗号分隔。输入变量名列表用一对圆括号括住，变量名之间也用逗号分隔。接着函数说明的是语句体。您的答案：题目分数：4.0此题得分：0.0教师未批改18 .第18题MATLA规定逗号有哪些用途?标准答案：命令之后加

28、一个逗号，MATLA就行命令，并显示结果。创建数值数组时，同一行的元素用逗号或空格分隔。输入或输出变量名之间用逗号分隔。您的答案：题目分数：2.0此题得分：0.0教师未批改19.第19题什么是强健性分析？为什么要做强健性分析？”强健的模型”有什么含义？标准答案：强健性就是模型假设相对于实际情况的精确程度对模型解答的影响.从现实对象到数学模型，需要提出一些模型假设，假设相对于实际情况的精确程度，会影响数学模型能否取得符合或近似现实对象信息的解答.如果模型假设相对于实际情况的精确程度对模型解答的影响不大，就称该数学模型是强健的(robust)；反之,如果数学模型的解答很依赖于某个假设相对于实际情况

29、的精确程度，就称该数学模型是脆弱的（fragile）.由于在数学建模的过程中都要对实际情况作出一定的简化假设，所以对数学模型进行强健性分析是很有必要的.强健的模型就是说：虽然模型建立在较强的假设上，假设对实际情况做出了较多的简化，但是模型解答已经符合或近似现实对象的信息，已经获得预期的建模效果.1 .第3题名词解释：测试分析标准答案：测试分析，就是当研究对象内部机理无法直接寻求的时候，可以测量系统的输入、输出数据，运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型.您的答案：题目分数：2.0此题得分：0.02 .第9题名词解释：二阶差分方程标准答案：定义数列9才9

30、=。工心）的二阶差分为：=A1tH=%芭一2KHi十/a=&L&-）三%W勺工I=O,LZ的方程，其中7是与上革的二元函数（3试即数列递推关系其中二元函数产（马力=2x-y-i-y（工M*（娱t也可以称为二阶差分方？您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.03 .第10题名词解释：机理分析标准答案：机理分析，就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，尤其是从变化率、守恒律等角度入手分析，找出反映内部机理的数量规律，从而建立数学模型.采用机理分析方法建立的数学模型常有明确的物理或现实意义.您的答案：题目分数：2.0此题得分：0.04 .第11题名词解释：线性模型标准答案：如果

31、待数据拟合的函数模型关于全体待定参数都是线性的，就称为线性模型。您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.05 .第5题司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长.请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系？标准答案:表1符号说明出单至名称说明Vm/s车速atn刹车距离从司机决定刹车到车先全停住汽车行驶的距离%tn反应距离从司机决定制车到踩下刹车踏板汽车行驶的距离dqm制动距离从司机踩下刹车踏板到车完全停住汽车行我的距离右£反应时间从司机决定刹车到踩下刹车踏板的时间am/sa减速度汽车制动过程的减速度Fn制动力汽车

32、制动过程的制动力矩汽车质量能号=1/(2®模型假设：(1)假设道路、天气和驾驶员等条件相同J汽车没有超载I没有故障；(2)假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把房车踏板踩到底n汽车在刹车过程没有转方向；(3)假设驾驶员的反应时间为常数，汽车在反应时间做匀速线运动；(4)假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，喊速度是常勤制动力所做的功等于汽车动能的损失；G)假设刹车距离等于反应距离加制动距离.根据假设(3b立即得到.=iTjV根据牛顿第二定律和假设(4)，有F=m必Fd2=mv2(1所以=总期其中=1/0日).最后根据假设(5),有d=制十%上式就是汽车刹车距离的数学模型.您的

33、答案：题目分数：5.0此题得分：0.06 .第6题回答以下关于常系数非齐次差分方程(6/0)4a=Q+r>R+耳2二°1冬的问题:初始值记作,当r=0时，写出Q减的解的通项公式.(2)初始值记作.当r,O时，写出式的解的通项公式.C)当r#。时,求出。试的平衡点.<+)平衡点渐进稳定的充分必要条件是什么？标准答案：偿(1)当D时，。酒的解即公差为h的制数列(2)当京)时，(1浅的#%4=(与+B(i")*_Ljt=o,L4(3)04=9=£,则(1)式工=(1十，)x十方.当厂40>第“-加，所以当0时0月清*的平衡点工=-切广(4)平衡点工=-

34、6分是渐进稳定的当且仅当2K0.您的答案：题目分数：7.0此题得分：0.07 .第17题阅读材料商品在市场上的上市量和价格出现反复的振荡.是d费者的需求关系和生产者的供应关系决定的.一方面，这一时期的6取决于上市量.上市量越多价格越低：另一方面，下一时期的上市贵取决于这f期的价格.价格越低上市量越少.把时间离散成时段，一佃段相当于一协产周期，记商品在年时段的上市量为侪格为骂.一方面，价格凡取决于上市量鼻，市%=/（，），/反映消费者的需求关系，称为需求函数，其函数条下降曲线，称为需求曲线,另一方面.下一时段的上市量%由时段的价格K决定，记作为=双维+J，月反映生产者的供应关系，湛供应函数.其函

35、数图像是T上升曲级称为供应曲线.在直角坐标系画出需求曲线和供应曲线，两条曲线相交于平缴稣&j/D-由于种种干扰,使得上市量和价格不可能保持在平衡点j不妨设/偏离M利用需求曲线和供应曲强分析,和K的变化趋孰们形象的将此模型称为蛛网模型.平衡点线有稳定或不稳定两种惚见图L问题1为什么说线是平衡点?问题2详细说明蛛网模型的点列400是怎样核迭代的P。是稳定平衡点.（%,yj趋向网P。是不稳定平衡点,九）远离P©Bl蛛网模型示意标准答案:解答（1）设第4时段的上市量则由需求曲线决定第J段的价格X=4）=）=先,然后T由供应曲线决定第4+1时思上市量/=虱_y.）=鼠nJ=3，”，即上

36、市量和价格永班保持在点所以点用是平衡点.（2）不妨设、偏离个，蛛网模型的点列鼻鼻鼻是按一下算书步迭代产生的：由需求曲线决定第I时段的价格片=1M得到点”QjJ；由供应曲线决定第2时段的上市量得到点招（o,j1r由需求曲线决定第2时段的价格%=可，得到点鸟（0兑卜由供应曲线决定第3时段的上市量。=虱%），得到点片（0%）;您的答案：题目分数：9.0此题得分：0.08.第18题考虑弹簧-质量系统，收集弹簧伸长的长度与弹簧末端悬挂的质量的实验数据，记录在表1（单位省略）.请计算出伸长与质量的函数关系的经验公式.表1弹簧伸长和质量的测量数据质量50100150200250300伸长11.00011.8

37、7512.75013.25014.37514.875质量350400450500550伸长5.6756.5007.2508.0008.750标准答案:解答记弹簧末端悬挂的质量为自变量X,弹簧的伸二因变量丹由表1的样本数据a*xE=Lz,1绘制散点可以直观的看出y与之大致呈线性关系，所以采用一元线1归模型=凡+用产+E.以下是回归分析的MATLAB脚本:x=C5fc50:550y；产1;L875275;325;4375;42750675;6_5;7.25;8;&75;X=ones(size(x)Xx;UbinFrinlSat=regressg9figure(lX诅0(0环Islinele

38、gendf观测数据？回!直线;2)xlabdC质量Xyl疝dC伸长)时式弹簧-质量系统)figme(2X式皿即加分计算结果整理成表2.由结果得知；F统计量很大，pl小于0.05,谟明回归模型是显著的；回归系数的置信区间i含零点，说明回归模型的自变量和截距两项对因变量的影【显著；决定系数很接近L说明回归模型的拟合精确程度彳R虽然第5个数据的误差均值置信区间0.0427%037179不1计学褥果点，但是置信区间偏离零点的程度不严重，不必剔除回归系数回归系数估计值回归系数置信区A%=0.324550.17445,0.474fA4=0.0153730.01493,0.0158表2y=0324554D.

39、015373XR勇854,26173,p=4A365l(Tu9，=0.010528绘得的图形:ResidualC%eOrderPtot234557S91011CaseNmrf»您的答案：题目分数：9.0此题得分：0.09 .第7题请编写绘制以下图形的MATLAB命令,并展示绘得的图形1¥+/=、/+y=4分别是椭圆二十产=1的内切圆和外切圆.4标准答案:的参数方程为x=cssf,y=sinr(0<t工2升)并利用伸缩变换严+*=4的横、纵坐标都是，+，=1的两倍，2十/=的横,纵坐标分别是/+/=1的两倍和一倍.编写程序时运用好MATLAB函数plot的语法格式2中横

40、坐标数组圈是向量，而纵坐标数组y是矩降的语法规定以及格式4,使程序简洁.使用命令axi£B%aL才肯缆得真正的圆LMATLAB程序：t=linspace(O2*pi381);x=cas(t);尸sin(t);plot(x,y*ZF|yZ*y,kaxisequal绘得的图形：您的答案：题目分数：9.0此题得分：0.010 .第13题离散形式的阻滞增长模型是一阶非线性差分方程，请回答以下问题:(1)写出其表达式；(2)以研究种群数量演变为背景，说明其模型假设；(3)以研究种群数量演变为背景，解释模型的参数的数学意义和实际意义；(4)求出平衡点；(5)说明平衡点渐进稳定的条件.标准答案：解

41、答(1)离散阻滞增长模型就是一阶非线性差分方程INJ(2)当研究种群数量演变的时候，记/为种群在第工时段的数由于有限的资源环境对种群数量增长的阻滞作用，假设用前差公窗的增长率随着种群数量横加而线性递减，即qInJ由限假发即得离散阻而增长模型.(3)下面解释离散阻滞增长模型的参数r和N的意义.分别记口y是同一时段的种群数量和用前差公式计算的增长率，则在直角坐苍面内，直线方程片由-可切的纵截距为1横截距为龙参数,称为“固有增长率，既然r是直线方程尸=41-工/N)的受距，所以,在理论上是当种群数量E)时的增长茶实际上r是当不数量工很小时的增氏率.电所以N在理论上是当增长率月)时的种群数量；实标上，

42、N是窄的资源和环境所能容纳的种群的最大数量.(4)在离散阻而增长模型中，令%=/=工，得Hlr/N)=Oi得D或EV,它们是042)式的两个平衡点.(5)平衡点k0渐进稳定当且仅当-2D；平衡点E渐进稳:11 .第14题骰子呈正方体，有6面，点数分别是1、2、3、4、5、6,如果骰子是质地均匀的，那么掷骰子掷出每一个点数的机会都是1/6.设计算法，编写MATLAB程序，模拟掷质地均匀的骰子这种随机行为.标准答案:算法：设X是(”)区间均句分布随机数,定义0<r<1/6表示掷出1点，l/6«xV1/3表示掷出2点，,5/6I<1表示掷出6点.输入掷骰子的总次数口输出掷

43、出每一个点数的频率p(有六个分量)第1步初始化计数器k(有六个分量)；第2步对i=l,2,n,循环进行第3,4步；第3步x=raiid；第4步如果0<无<1/6,kQJ加1；如果1/6名工w1/3,k(2)加1；如果5/64算之1，k(6)加1；第5步计算频率p=k/n班TLAB程序：11=10000;k=zcros(l);fori=l:nxrand;ifx<l/6k(l)=k(l)+l;dseifx<2/6k(2)=k(2)H;elseifx<3/6k3)=k+1;dseifx<4/6k*4)+1;elseifk<5/6k(5)=k(5)U;else

44、k(6)=kC6)+l；endendp=kJn您的答案：题目分数：9.0此题得分：0.012 .第16题请详细阐述一次函数的最小二乘数据拟合的原理已知的数据为（与x）0=1,2,刀），要拟合一次函数y二件+自，其中£。和区待定.当工=&时，因变量y的实际值为凡，理论值为4片+片，误差等于误差平方和为S（d,2=Z（%-布-用）2=1S是青和小的二元函数.按照最小二乘准则，要确定待定参数饱和4的值（分别记作4和4）,使得误差平方和S达到最小值.这是二元函数极值问题,可以这样解决：首先，计算函数5&屑）的驻点.因为月-£月2=1as“n彳=-2Z（Ji一同七一品

45、）=2,汽风十£七"oJ=1Iki=l/dS丽=-2之天（X-能-房）=2,2=1Ex.A+A-Ex-2=1所以令as/ao=as/a用=0，即得到被称为正规方程（normalequation：的线性方程组？（nXrn?A+S2A=Svr2=1ld=l（1）式有唯一解当且仅当其系数短阵行列式不等于。.（1）式的系数矩阵行列式为2,=0当且仅当天=%=-=%.所以,只要天不全相等，可解得sg.）的唯一驻点回RJ,其中:-2工£他坦孙厂E工工i=li=lf=lRCn211=1。彳-X马2s1然后，因为函数S（A，A）的黑塞矩阵（Hessian）为2nIJ=12M.3=

46、1必:2=1所以只要天不全相等，H都是正定的.所以（瓯幻是函数S直出）的唯一的极小值点，即3（心幻在（片，自）=电,幻时达到最小值.综上所述，根据已知数据（工”）。=1,2,孙只要工，不全相等，那么按照最小二乘准则，要拟合的一次函数、=乩工+向的待定参数13 .第19题硬币有正反两面，抛质地均匀的硬币，正面和反面朝上的机会都是二分之一，请设计算法，编写MATLAB程序，模拟抛质地均匀的硬币这种随机行为标准答案：算法：设x是弧1）区间均匀分布随机数，定义工之。3表示正面朝上，x<0.5表示反面朝上.输入抛硬币的总次数n输出抛硬币正面朝上的频率p第1步初始化计数翳第2步对i=12m循环进行第

47、3,4步；第3步x=raiid；第4步如果k之。.5,k加L否则k不变：第5步计算频率p=kJu.MATLAB程序:n=100000;k=0;fori=l:iixrand;if传7.5kk+1;endendp=k./n14 .第1题请分别说明两个数组之间以及数组与数之间的数组运算的规则。标准答案：数组运算可以在规模相同的两个数组之间进行，相同位置的元素之间做运算，得到的结果也是数组，而且结果的规模与参与运算的数组相同.数组运算也可以在数值数组和数值之间进行，比如数组A和数k之间，这时系统会在数组A的每个元素和数k之间做运算，结果是规模和数组A相同的数组.15 .第2题如何求得二阶差分方程耳二四

48、4v黑工七二也LA的平衡点？标准答案:对于二阶差分方程%工三蚂小.事工上=0.L2(4)令,=&i=曰=Xj就得到一元代数方程x=K(x,x)(6)(6M的解工=/就是(4区的平衡点.16 .第4题对于离散动态过程的状态瓠列次J,有哪三种常用算法计算第1段的增长率？标准答案：对于离散动态过程的减数列国,有三种常用算法计算第工/的增长率：前差公式A(2)中点公式如二%；U)后差公式4rl.17 .第8题MATLA系统有哪几个主要部分？标准答案：MATLA系统包括五个主要部分：(1)桌面工具和开发环境，这里集成了处理MATLA函数和文件的工具和功能，多数都有图形用户界面，包括：MATLAB

49、g面、命令窗口i、编辑器及内置的调试器、帮助文件浏览器、工作空间、命令历史、当前目录、文件和路径搜索、开始等.(2) MATLA做学函数库，这里有数量巨大的计算算法，包括基本数学函数(例如求和、三角、复数计算)、矩阵函数(例如逆矩阵、特征值)、特殊数学函数(例如Bessel函数、快速Fourier变换)等.(3) MATLAB!言，这是高级的矩阵/数组语言，有控制流语句、函数、数据结构、输入/输出、面向对象编程等功能.(4) 图形，MATLAB有把矩阵和向量显示成图形、以及注释和打印图形的丰富功能，包括：用于2维和三维数据可视化、图像处理、动画和演示的高级函数、用于个性化图形外观以及建立完善的

50、图形用户界面的低级函数.(5) MATLAB卜部界面和应用编程接口.18 .第12题写出以下公式：按照最小二乘法，由样本数据计算一元线性回归模型的回归系数的点估计.标准答案:解答按照最小二乘法,由样本数据乃X"L2,g，回归模型”凡+用+£的回归系数声的点估计为A=%/£回归系数月的点估计为百二?一巧工其中%耳-力/"19 .第15题什么是函数M文件？函数M文件的变量有什么特点?标准答案：接受输入变量，执行一系列MATLA酷句，然后产生输出的程序文件叫做函数M文件。函数M文件中的变量一般是局部变量，除非用关键字global把变量说明为全局变量。第1题名词

51、解释：机理分析标准答案：机理分析，就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，尤其是从变化率、守恒律等角度入手分析，找出反映内部机理的数量规律，从而建立数学模型.采用机理分析方法建立的数学模型常有明确的物理或现实意义.2 .第2题名词解释：二阶差分方程定义数列=。工4）的二阶差分为：=ArM-Aj=z-2rH4+xt3=&LA-）二阶差分方程就是形其八匕二%甘工3t=。1工的方程，其中f是与上公的二元函数（3试即数列递推关系%=F（玉mG*=0予LA其中二元函数产（x»）=2x-y-h/（xj）.（续£也可以称为二阶差分方？3 .第17题名词解释：最小二乘法标准答

52、案：由函数模型和已知数据，按照使误差平方和达到最小值的目标进行数据拟合。4 .第18题名词解释：非线性模型标准答案：如果待数据拟合的函数模型关于某些待定参数是非线性的，就称为非线性模型。5 .第4题回答以下关于常系数非齐次差分方程（6/0）%L=Q+rAt+耳£=°J当的问题：（O初始值记作不，当=0时，写出。减的解的通项公式.<2）初始值记作中当r/0时，写出式的解的通项公式.U）当r#0时,求出。跟的平衡点.<4）平衡点渐进稳定的充分必要条件是什么？标准答案:造CO当z时，（1酒的解即公差为8的制数列当¥0时，（1皮的解为q=（%+|+，）*'/=4