华师数学史离线作业

1、华师数学史离线作业一、填空1、数学史的研究对象是（数学这门学科产生、发展的历史）；2、数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（数学学科自身的研究对象、内容结构知识领域的演进）来分期，其一是根据（数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁）来分期；3、17世纪产生了影响深远的数学分支学科，它们分别是（解析几何）、（微积分）、（射影几何）、（概率论）、（数论）；4、18世纪数学的发展以（微积分的深入发展）为主线；5、整数458用古埃及记数法可以表示为（,"""）。6、研究巴比伦数学的主要历史资料是（契形文字泥板），而莱因特纸草书和莫斯科纸草书是研究古代（埃及数学

2、）的主要历史资料；7、古希腊数学发展历经1200多年，可以分为（古典）时期和（亚历山大里亚）时期;8、17世纪创立的几门影响深远的数学分支学科，分别是笛卡儿和（费马）创立了解析几何，牛顿和（莱布尼茨）创立了微积分，（笛莎格）和帕斯卡创立了射影几何，（）和费马创立了概率论，费马创立了数论；9、19世纪数学发展的特征是（创造）精神和（严格）精神都高度发扬；10、整数458用巴比伦的记数法可以表示为（11、数学史的研究内容，从宏观上可以分为两部分，其一是内史，即（数学内在学科因素使其发展），其一是外史，即（数学外在的似乎因素影响其发展）；19世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（

3、1）分析基础严密化和（复变函数论创立），（2）（非欧几里得几何学问世）和射影几何的完善，（3）群论和（非交换代数诞生）；13、20世纪数学发展“日新月异，突飞猛进”，其显著趋势是：数学基础公理化，数学发展整体化，（电子计算机）的挑战，应用数学异军突起，数学传播与（研究）的社会化协作，（新理论）的导向；14、九章算术的内容分九章，全书共（246）问，魏晋时期的数学家（刘微）曾为它作注；15、整数458用玛雅记数法可以表示为（二、选择数学史的研究对象是（C）;C、数学学科产生、发展的历史A、数学学科知识B、历史学科知识2、中国传统数学以（B）为基础，以算为主，寓理于算;A、算筹B、筹算C、珠算3、

4、阿尔-花拉子模称为“平方和根等于数”的方程形如（A）;A、X2+2X=3B、X2+2=3XC、X2=2X+34、九章算术的作者（C）;A、是刘徽B、是杨辉C、不可详考5、柯西把分析学的基础建立在（B）之上。A、导数论B、极限论C、集合论三、解释古希腊数学学派古希腊数学一般指公元前600年至公元641年间，在希腊半岛.爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部这个广泛地理范围内发展起来的数学.公元前6前5世纪，特别是希波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济高度繁荣，生产力显著提高.在这种条件下，希腊人民创造了光辉灿烂的文化，尤其是在数学方面更取得了举世瞩目的成就，对后

5、世有深远影响.阿拉伯数学阿拉伯数字是国际上通用的一种数字符号。就是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个计数符号。采取位值法，高位在左，低位在右，从左往右书写。借助一些简单的数学符号（小数点、负号等），它自成一个记数表意系统。这个系统可以明确的表示所有的有理数。为了表示极大或极小的数字，人们在阿拉伯数字的基础上创造了科学记数法。这是人类文明进步的一大重要表现和文明成果。中国传统数学从远古到明代，在中国独立产生、发展起来的数学知识体系。它以筹算为基础，以算为主，寓理于算，广泛应用。它有明显的算法化、模型化、程序化、机械化的特征方程术中国古算法.指九章算术中提出的一种解线性方程组的消元法印

6、度数学起源和其它古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一个特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸易的往来，印度数学和近东，特别是中国的数学便在互相融合，互相促进中前进6 .几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。这本著作是欧几里得几

7、何的基础，在西方是仅次于圣经而流传最广的书籍。7 .阿尔-花拉子模全名穆罕默德本穆萨阿尔花剌子模（AbuJa-farMuhammadibnMsaal-Khwarizl）,拉丁名阿尔戈利兹姆（Algorismus）。花剌子模人。波斯著名数学家、天文学家、地理学家。代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。他的故乡花剌子模，是现在乌兹别克斯坦的花剌子模州2200多年前，希腊数学家阿基米德（Archimedes)已经8 .牟合方盖球体体积是求积法其中一项需要研究的题目。在发现球体体积的公式。在中国则要到秦汉时代才正确地求出球体的体积，而使用的方法称为牟合方盖筹算是中国古代的计算方法之一，以刻有数字的算

8、筹记数、运算，约始于春秋，直至明代才被珠算代替不可分量原理意大利数学家Cavalieri,FrancescoBonaventure(1598-1647)在用新的方法推进连续体的不可分量的几何学(1635)提出“不可分量原理”：线段是无数个等距点构成，面积是无数个等距平行线段构成，体积是无数个等距平行平面构成，这些点、线段、平面是长度、面积、体积的“不可分量”大衍求一术中国古代求解一类大衍问题的方法。大衍问题源于孙子算经中的“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。宋代数学家秦九韶在数书九章(1247年

9、成书)中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。德国数学家C.F.高斯是在1801年才建立起同余理论的，大衍求一术反映了中国古代数学的高度成就。超实数域实数域R在分析的非标准模型中的自然扩张，记为，R.超实数域与实数域一个重要区别是：尽管实数域与超实数域都有各种不同的建立办法，但精确到序同构，实数域是惟一的，而超实数域不是惟一的.容易证明，在K饱和的非标准全域中的无限内集至少具有基数K,因而在这个模型中，*R至少具有基数K.由于在拓扑学的研究中，需要任意大基数的非标准全域，因而不能固定,R的基数.但是，如果只是研究非标准微积分，任何一个超实数域即可巴比伦楔形文字泥板巴比伦楔形文字泥

10、板一现在我们研究巴比伦数学知识的积累最可靠的资料，它是用截面呈三角形的利器作笔，在将干而未干的胶泥板上斜刻写而成的，由于字体为楔形笔画，故称之为楔形文字泥板书.从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多.其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据推测这些数表是用来运算和解题的.这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆内，并且被一一编号.在这些泥板书中，记录了巴比伦人当时的数学成就口海岛算经海岛算经是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础。由刘徽于三国魏景元四年(公元263年)所撰，本为九章算术注之第十卷，题为重差。穷竭法原理穷竭法的严

11、格性是无可挑剔的。这对希腊数学家来说尤为可贵。事实上，严格正是希腊几何学的精神。穷竭法所完成的证明一般可分为两个步骤：首先是一个可称之为“穷竭”的逼近程序，然后用“双重归谬法"(doublereduetioadabsurdum完成证明四、求解用几何直观的方法证明：正五边形的边与其对角线不可以公度。解：b=a+rita=ri+门=门十门,口=口+n.，rD=rntl+n,l2以X2+8X=84为例，说明阿尔-花拉子模求解一元二次方程正根的方法，并给出相应的几何释意。解法步骤3以x0+6x=20为例，说明泰塔格利亚和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。ta4-a-iM1ry”中，I

12、P-uj-fMI-a.HIRTI-1jf-f'«I*J-B*_«H,一,一1tr-k|-|gi-泰塔格利亚的解法士设*AT-n,考虑到Cn).mJ-«3则有3MH6fIm*(-h)-S对于这个方程组用巴比伦人的方法可以求解:卡丹的工作：用尸=*三变换，化为x'*E=q型三次方程，再用3泰塔格利亚的方法求解，此后他还对这种方法给出了几何证明.如图，考虑两个正方体AE.CL,其体积之差值为200若令ACXCK=2,能作出RC=CK,则AB=ACBC为所求口为此，在正方体A£中划分出正方体DC,使Vm=Vd,于是产生以下分割上Vdc=BG,VD

13、f=AB3>VOE=BCXABJVDa-ABXBC2,VAe-ACBC3-CK由图，可见AC3-BCJ=3Vda+3Vde+VDF(1)由于ACXCK=2,所以ACX3CK=6,即有ABXACX3CK-6AB,3ABXACXBC=6AB而ABXACXBC=VDA+VDF,所以6AB-3ABXACXBC-3XDA+3XDE将0)代入(1)得ACj-BC3=6AB+Vdfi即有AB+6AB=20,故AB=AC-BC.4.曲边四边形由XY=k(k0),X=2,Y=0,X=8所围成，试用不可分量原理求该曲边四边形绕Y轴旋转一周所成旋转体体积。解:取OA=2d2k，任取垂直户y轴的截面MN.可有：

14、“=2nOLLM=2k-it,S«=n<OA/2P=2k-n：对应.两两相等，rfl不可分量原理*得V=2k-m九正用古希腊的“几何代数法”求解一元二次方程X2-6X-16=0;解：将方程化为X2-6X-42=0,如图，取AB=6,AP=PB,作BC垂直于AB,取BC=4,以P为圆心，以PC为半径，划弧，交AB的延长线于D,则有向线段AD或DB为所求的解.APBU用秦九韶的“大衍求一术“求解一次同余式组：N1(mod7)2(mod8)3(mod9)解工求”定数二78a尸7日2=&油闰阳3为Ai的最小公倍数，且宙内,即得母数数率衍衍奇乘*”求求求求求“泛用失N=1(mod

15、7)=2(mod8)=3(mod9)M=7X8X9-504nij=72gi=2kiX2=l(mod7)ki=4kimi=288g63gw=7k2X7=l(niDd8)k?=7k3012441g-56ga=2k3X2=l(mod9)kw=5故得N=1X288+2X441+3X280(mod7X8X9)N=2010-3X504=498.用几何直观的方法证明：正方形的边与其对角线不可以公度。*1-W-W-*-WiThF用几何直观的方法证明:正方形的边勺其对角线不可以公度.如上外正方形ABDC的边府一j对角线同由A作NBAD的平分线交BD于E*过E作EB'J_AD,交AD于B',过E作

16、NB'ED的平分线交B'D于E'，过作E'交BC于过E'作/B"E'D的平分线交丁D于丁，BE二门，B'E'=0通过简单的几何证明,就可以得到如下的关系式：b=a+=2r.+r.r=2r.+r*+r=2r_.+r+工rirIzfiiij*4i+i.其中的A可以无力无尽地写下去，所以正方形的边与对珀线&之比成为不可公度比，即无法找到一个单位能够分别把&和b量尽.2,2用古希腊的“几何代数法”求解x-ax+b=°并给出相应的几何释意。如图,设AH=Jt,HB=(a-j),应有工(。一上)=*,即解方

17、程=E+1=0.12五、注释1、“对于给定的两个数分别加上某个数，使它们成为两个平方数。丢番图方法用现代数学符号可以表示为:2.2x+a=yx+b=z2丢番图的解题方法是：取a=2，b=3;构成差3-2=1;取两数积等于该差:2442、2解得97x二一64要求：分析丢番图解法的要点，并论证其合理性。我们不妨设心.，取人WV'J*9关键在于f上）41I2JI22、张丘建算经卷上第23问：“今有女善织日益功疾初日织五尺今一月日织九匹三丈问日益几何答曰五寸二十九分寸之十五术曰置今织尺数以一月日而一所得倍之又倍初日尺数减之余为实以一月日数初一日减之余为法实如法而一”将题文、术文翻译成现代汉语，

18、注释题文、术文，论述其造术原理。I，*/、AU|,JiJUJJf4/h解法(9匹3丈/30)x2,5尺x2,(9匹3丈/30)x2-5x2,30-1,(9匹3丈/30)x2-5尺乂2/(30-1)造术原理按现代数学的观点，这是关于等差数列的问题.已知：首项H,前口项的和Sn,求：公差d；解法：Sn-(iii+iin)Xn/2,而Un=ai+(n-1)d,Sm=(ai+aj+(n-1)d)/2,d=(Snx2-2ai)/(n-1)这与以上解法的表达完全一样，可见中国古代数学中已经有关于等差数列的解：3、“求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍然是一个平方数。丢番

19、图解法取四组数(65,52,39)、(65,56,33)、(65,60,25)、(65,63,16),令L4工Xi=65。igx1=2父52tx39。=4056巴22=2m56*m33Z=3696t2x1=2M60tx25。=3000巴2x1=2M63s16。=201622将Xi=40562,X2=36962,X3=30002,X4=20162Xi=40564'、Xi=652代入i-.65解得一一4056369630002016故Xj(j=1、2、3、4)可求得。要求：分析丢番图解法的要点，并说明其合理性。解分析丢番图解法的合理性，关键在于巧妙地取了四组勾股数.在百角三角形中，斜边。9

20、两百角边口祥有12»a1+b1±lab=(a±1j故能满足1J,±zf所以，能确保结论的正确口“今有人持米出三关外关三而取一中关五而取一内关七而取一余米五斗问持米几何答曰十斗九升八分升之三术曰置米五斗以所税者三之五之七之为实以余不税者二之四之六之为法实如法而一”要求：将题文、术文翻译成现代汉语，论述其造术原理。54x3x5x7,2x4x6,(5斗冥3K5乂7)/(2x4x6)造术原理按现代教学的观点，可以列方程如下；设原带米x,则有：xx(I-1/3)xCI-1/5)xQ-1/7)-54即：xx(2/3)x(4/5)x(6/7)=5斗x=(5斗/3乂5*7)/(2x4x6)小这与上述解法的表达完全一样，可见造术原理-解：5、“已知一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。”丢番图解法x2+y2=m2+n2取13=22+32,令x2=(+2)2,y2=(2-3)2,由(+2)2+(2-3)2=13,解得=8/5,故x2=324/25,y2=1/25。10要求：分析丢番图的解法原理，并探讨其解法的变化；另法令*=7，/=（2-7y>9+（2自-7尸工】3即528+49-13,5-28自+36=0解得自=1皆5或自=2,但占=2应舍弃评论显