北京朝阳区2014届高三数学上学期期末考试试题理

1、北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）2014.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .函数f（x）=一+JX的定义域为x-1A.0,）B.（1pC.0,1）U（1FD.0,1）2 .如果点P（2,y°KE以点F为焦点的抛物线y2=4x上，则|PF=A.1B.2C.3D.43 .命题p：VxRR,x2+ax+a220；命题q：三xwR,sinx+cosx=2

2、,则下列命题中为真命题的是A.pAqB.pvqC.，p)qD.(一p)(-q)4 .在ABC中，NA=30*,AB=，3,BC=1,则ABC的面积等于A.32.34皮或小245 .执行如图所示的程序框图，输出结果是4.若a。w1,2,3,则%所有可能的取值为A.1,2,3B.1C.21,26.已知正方形的四个顶点分别为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点D,E分别在线段OC,AB上运动，且OD=BE,设AD与OE交于点G,则点G的轨迹方程是A.y=x(1x)(0<x<1)B.x=y(1-y)(0<y<1)-22,C.y=x(0<x<1)

3、D,y=1-x(0£x£1)7 .已知平面向量a,b的夹角为120°,且ab=-1,则|a-b|的最小值为A.褥B.用C.应D.18 .已知数列aj满足an=nkn(nwN*,0<k<1)下面说法正确的是1当k=一时，数列an为递减数列；21 .当一<k<1时，数列an不一定有最大项；21 .当0<k时，数列匕0为递减数列；2k当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项.1-kA.B.C.D.第二部分(非选择题共110分)、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9 .某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽

4、查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图(如图所示)，那么这100名学生中阅读时间在4,8)小时内的人数为10 .在各项均为正数的等比数列QJ中，若log2a2+log2a8=1,则a3a7=11 .直线y=kx与圆(x2)2+y2=4相交于O,A两点，若|OA=23,则实数k的值12 .一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是26侧视图13.实数x,y满足xy_32x-y<0,'若y之k(x+2)恒成立，则实数k的最大值是14 .所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数.如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1

5、+2+4+8+16+31+62+124+248.已经证明：若2n-1是质数，则2n4(2n1)是完全数，nWN”.请写出一个四位完全;又6=2父3,所以6的所有正约数之和可表示为(1+2)(1+3);22、.，一28=2父7,所以28的所有正约数之和可表示为(1+2+2)(1+7)；按此规律，496的所有正约数之和可表示为、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 .(本题满分13分)已知函数f(x)=-cosx-sinx+1.(I)求函数f(x)的最小值;5一(n)若f(c)=一，求cos2c的值.1616 .(本题满分13分)甲、乙两名同学参加“汉字听写

6、大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩(单位：分)如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595(I)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)(n)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中,90分以上的个数为X,求随机变量X的分布列和期望EX.17 .(本题满分14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,AB_LAC.(I)求证：AC_LPB；(n)设O,D分别为AC,AP的中点，点G求证：DG/面PBC；(出)若AB=AC=2,PA=4,求二面角A-PB-C的余弦值.

7、18.(本题满分13分)已知函数f(x)=(xa)lnx,awR.(I)当a=0时，求函数f(x)的极小值;(n)若函数f(x)在(0,+s)上为增函数，求a的取值范围.一一-119 .已知椭圆C两焦点坐标分别为F1(73Q),F2(J3,0),且经过点P电).2(I)求椭圆C的标准方程；(n)已知点A(0,-1),直线l与椭圆C交于两点M,N.若AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l的方程.20 .(本题满分13分)已知a,b,c是正数，a1=lga,a2=lgb,a3=lgc.(I)若a,b,c成等差数列，比较a1-22与a2a3的大小；(n)若a1a2Aa2a3A%a1，则a

8、,b,c三个数中，哪个数最大，请说明理由；(出)若a=t,b=t2,c=t3(t亡N*),且a1,a2,a3的整数部分分别是m,m2十1,2m2+1,求所有t的值.北京市朝阳区2013-2014学年度高一年级第丁数学答案（理工类）一学期期末统一考试2014.1一、选择题题号1234567答案CCBDBAA二、填空题1214题11口9号0154231823638128(12222324)(131)三、解答题15.解：（I）因为2f(x)=-cosx-sinx1一_2=sinx-sinx又sinx(n)由(i)1二(sinx-)1-1,11,所以当sinx=，-1得(sin)21一,41时,25函

9、数1f（x）的最小值为-一.416一,129所以(sina一)=一.216.5.1于是sina=(舍)或sina=-13p212又cos2=1-2sin71-2()416 .解：（I）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好.（n）随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=CvC5c516一,255678825，2C1p(xFKC5C5P(X=2)=1c5c525X012P162582512516EX=0父十1258122+2m=一,，25255随机变量X的分布列是:13分17 .证明：(I)因为PA，平面ABC,ACu平

10、面ABC,所以PA_LAC.又因为AB1AC,且PAQAB=A,所以AC_L平面PAB.又因为PBc平面PAB,所以AC_LPB.(n)解法1:因为PA_L平面ABC，所以PA_LAB,PA_LAC,又因为AB_LAC,所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设AC=2a,AB=b,PA=2c,则A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0)P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0).一11-又因为OG二-(OAOB)，3所以G(-,b,0).33十日二77zab、于DG=(,c),33BC=(2a,-b,0),PB=(0,b,2c).设平面PBC的一个法向量rTnBC

11、=0,n=(x0,y0,Z0)，则有«rnPB=0.i2ax0-by0=0,即070by。-2cz0=0.2ccc2c不妨设z0=1,则有y0=，X0=一，所以n=(一，一,1).baabma,c2c.、，ab、ca2cb.,、一因为nDG=(一,1)(,-c)=,一十一十1(-c)=0,ab33a3b3所以n.LDG.又因为DGs平面PBC,所以DG/平面PBC.P解法2:一一F1-1取AB中点E,连OE,则OE=(OA+OB).一口1F?2"i由已知OG=-(OA+OB)可得OG=-OE,33则点G在OE上.连ZAG并延长交CB于F,连PF.因为O,E分别为AC,AB的

12、中点，所以OE/BC,即G为AF的中点.又因为D为线段PA的中点，所以DG/PF.又DG值平面PBC,PFu平面PBC,B所以DG/平面PBC.,9分c2c(出)由(n)可知平面PBC的一个法向量n=(一，1)=(2,2,1).ab-I又因为AC，面PAB,所以面PAB的一个法向量是AC=(2,0,0).nAC又cosn,AC42=,nACA-PB323-C为锐角，所以二面角APBC的余弦值为2.,14分318. 解：(I)定义域(0,此).当a=0时，f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1.一一.一1令f(x)=0,得x=1.e.一1当xJ0,)时，f(x)<0,f(x)为

13、减函数；e1 一.一当xj一,收)时，f(x)>0,f(x)为增函数.e11所以函数f(x)的极小值是f(1)=；,5分ee(n)由已知得f(x)=lnxxa.x因为函数f(x)在(0,g)是增函数，所以f'(x)之0,对xW(0,g)恒成立.x-a由f(x)之0得lnx+之0,即xlnx+x之a对x-(0,y)恒成立.x设g(x)=xlnx+x,要使“xlnx+x之a对x(0,)恒成立“，只要aWg(x)min.因为g(x)=lnx+2,令9)=0得*=2.e.一1、当xw(0,不)时，g(x)<0,g(x)为减函数；e-1.一当xw(w，)时，g(x)>0,g(x

14、)为增函数.e11所以g(x)在(0,收)上的最小值是g(J2)=_J2.ee1故函数f(x)在(0,十£)是增函数时，实数a的取值范围是(-叱-下,13分e2219.解：(I)设椭圆标准方程为3=1(a>ba0).依题意a2b22a=PF1+|PF2=,12+J1=4,所以a=2.又c=J3,所以b2=a2-c2=1.2于是椭圆C的标准方程为L+y2=1.,5分4(n)依题意，显然直线l斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m,则2，2y2=1.2.、22一由4y得(4k+1)x+8kmx+4m4=0.y=kxm因为=64k2m24(4k2+1)(4m24)a0,得4k2m2+

15、1>0.,设M(x必)，N(x2,线段MN中点为Q(xc¥0),则x2二Xx2=8km-24k14m2-44k21目4kmm口。二一4卜21,y°=kx0m=4k21因为AM=AN,线段MN中点为Q,所以AQ_LMN.(1)当#0,即k#0且m#0时,y1.一2一-k=-1,整理得3m=4k+1.,x0因为AM_LAN,AM=(x1,y1+1),AN=(x2,y2+1),所以=%x2(y1)(y21)=(1k2)x1x2k(m1)(x1x2)m22m1224m-4=(1k2)k(m1)(4k18km、2z)+m+2m+1=0,4k212.一3整理得5m+2m3=0,解

16、得m=或m5当m=1时，由不合题意舍去.由知，m=°时，k=±Y555(2)当x0=0时，(i)若k=0时，直线l的方程为y=m,代入椭圆方程中得x=±2,1-m2.设M(-211-m2,m),N(21-m2,m),依题意，若4AMN为等腰直角三角形，则AQ=QN.即2,1-m2=1+m,解得m=1或m=3.m=-1不合题意舍去，53即此时直线l的方程为y=35(ii)若k#0且m=0时，即直线l过原点.依椭圆的称性有Q(0,0),则依题意不能有AQ.LMN,即此时不满足AMN为等腰直角三角形3.综上，直线l的万程为y=g或，5x-5y+3=0或J5x+5y-3=

17、0.,14分a20.解:(I)由已知得(a1-a2)-(a2-a3)=lg-bbac一兀二1g.一ac因为a,b,c成等差数列，所以b=-ac2,4ac则(a1-a2)-(a2as)-lg；j，(ac)因为a2+c2之2ac,所以(a+c)224ac,即瓷厂则(a1-a2)-(a2-a3)W0,即a1-a2wa2-a3,当且仅当a=b=c时等号成立.(n)解法1：令m=aa2,n=a2a3,p=a3-a1,依题意，mn>p且m+n+p=0,所以m>0Ap.故aa2A0,即1ga>1gb；且a1a3A0,即1ga>1gc.所以a>b且a>c.故a,b,c三个数

18、中，a最大.解法2：依题意IggAlgbAlgf,即ab下£.bcabca因为a>0,b>0,c>0,所以ac>b2,a2>bc,ab>c2.于是，abcb3,a3-abc,abcc3,所以a3>b3,a3>c3.因为y=x3在R上为增函数，所以a>b且a>c.故a,b,c三个数中，a最大.,8分(出)依题意，1gt,1gt2,1gt3的整数部分分别是m,m2+1,2m2+1,则mWgt<m+1,所以2m<21gt<2m+2.22又1gt=21gt,则1gt的整数部分是2m或2m+1.当m2+1=2m时，m=1；当m2+1=2m+1时，m=0,2.(1)当m=0时，1gt,1gt2,1gt3的整数部分分别是0,1,1,1 212所以0W1gt<1,1<1gt2<2,1E