压轴题中路径最值问题

1、学习必备欢迎下载路径最值问题，一一一11、如图，已知直线y=x212+1与y轴父于点A,与x轴父于点D,抛物线y=x2，bx，c与直线交于AE两点，(1)(2)与X轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）。求该抛物线的解析式；动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。(3)在抛物线的对称轴上找一点M使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标。学习必备欢迎下载22、如图，已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴

2、上某点(设为点F),最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.学习必备欢迎下载3、已知，如图11,二次函数y=ax2+2ax_3a(a*0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧)，点H、B关于直线l:y+*对称.(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK/AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.学习必备欢迎下载4、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(aW0)的顶点为(1,4),交x轴于AB,交y轴于D,其中B点的

3、坐标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H,使D、GF、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及GH的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线，垂足为M,过点M作直线MN/BD,交线段AD于点N,连接MD使DNMhABMID若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.学习必备欢迎下载路径最值问题1191、如图，已知直线丫=一*+1与丫轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x+bx+c与直线交于

4、22AE两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。（3）在抛物线的对称轴上找一点M使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标。解：（1）将A（0,1）、B（1,0）坐标代入-c=1f3o=+A+=01133得12,解得M=1.抛物线的解折式为二子一5；1J3（2）设点e的横坐标为m则它的纵坐标为3掰-3a+1,即E点的坐标（桁，+l又丁点E在直线=5工+1卜1:3,11-m-m+l=m+1八A(4,3);.222解得色=。（舍去），叫二,.e的坐标为（I）当A为直角顶点时，过A作AR,D豉x轴于目

5、点，设R（a,0）易知D点坐标为（-2,0）DOOA2111由RtAOSRtAPOA次=历即,a5,（3,。）；11（n）同理，当E为直角顶点时，的点坐标为（亍，0）；（m）当P为直角顶点时，过E作EFx轴于F,设P3（b、3）由/OPA+FPE=90,得/OPA=FERRtAAOPRtAPFEAOOP1b=Ji-jhI由尸产EF得4-63,解得：一，.此时的点P3的坐标为（1,0）或（3,0）111综上所述，满足条件的点p的坐标为（5,0）或（1,0）或（3,0）或cy,0）;3_3（田）抛物线的对称轴为二3，=RC关于工=3对称，MC=MB要使dtf-最大，即是使也心最大，由三角形两边之差

6、小于第三边得，4RM在同一直线上时的值q,北码最大,易知直线AB的解折式为y=-x+1,v=-x+i2_3,31、XV=（一，一一）由I2得卜工，/.M22。学习必备欢迎下载22、如图，已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.解：(1)根据题意，c=3a4-3=0,百目、125a+5i+3=0.所以i解得3a=5rT

7、5所以抛物线解析式为3(3)如图，由题意，可得M(0,-)乙3点M关于x轴的对称点为M(0,-)点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A(6,3),连结AM根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM的长就是所求点P运动的最短总路径的长所以AM与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点3_3可求得直线AM的解析式为y=彳-5.3可得E点坐标为(2,0),F点坐标为(3,)15由勾股定理可求出AM=_15所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA的长为万学习必备欢迎下载3、已知，如图11,二次函数y=ax2+2ax_3a(a*0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧)，点H、B关

8、于直线l:y=x+*对称.N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK/AH交直线l于K点，M、HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值解：(1)依题意，得ax2+2ax-3a=0(aw0),解得xi=-3,x2=1,B点在A点右侧，A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),证明：直线当x=一3时，(2)二.点H八,3,，点A在直线l上;B关于过A点的直线l:3对称，AH=AB=4过顶点H作HCAB交AB于0,贝产=.=2依=2母，顶点H3,2V3a*v代入二次函数解析式，解得？，.二次函数解析

9、式为(3)直线AH的解析式为y=yx+由L=u3tY,解得=6筵+33，直线bk的解析式为y=取-3=即*323?则bk=4,二点HB关于直线AK对称,HN+MN勺最小值是MBKD=KE=2c,过点K作直线AH的对称点Q连接QK,交直线AH于E,则QM=M=E*=2V3,ae!QK，BM+MK勺最小值是BQ即BQ的长是HN+NM+MK最小值，BK/AH,/BKQ=HEQ=90,由勾股定理得QB=8.HN+NM+MK最小值为8,学习必备欢迎下载4、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(aW0)的顶点为(1,4),交x轴于AB,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)。(1)求抛物线的解析式(2)如

10、图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H,使D、GF、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及GH的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线，垂足为M,过点M作直线MN/BD,交线段AD于点N,连接MD使DNMhABMID若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.Q15解：(1)设所求抛物线的解析式为：二4一犷+4,依题意，将点b(3,0)代入，得：83犷+4=。解得：a=-1 所求抛物线的解析式为：4(2)如图6,在y轴的负半轴上取

11、一点I,使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H,连接HRHI、HGGDGE,则HF=HI设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b(kw0), 点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入抛物线丁二一(之=1),+4,得 点E坐标为(2,3)又抛物线W4图像分别与x轴、y轴交于点A、RD.当y=0时，GMHI最小即可由图形的对称性和、，可知，学习必备欢迎下载DGGHHF=EG+GHHI只有当EI为一条直线时，EJGMHI最小设过E(2,3)、I（0,1）两点的函数解析式为:分别将点E（2,3)、点i（0,1）代入二总，十飞,得:”占十&=3I*热=-11解得:过A、E两点的一次函数解析式为：y=2x-1当x=1时，y=1;当y=0时，x=点G坐标为（1,1）,点H坐标为（，0)，四边形DFHG勺周长最小为：DF+DUGMHF=DF+EI由和，可知：DF+EI=2+275四边形DFHG勺周长最小为（3）如图7,由题意可知，/NMD=