双曲线离心率取值范围的解题策略

1、双曲线离心率取值范围的解题策略求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。一、利用双曲线性质,t、,-y-77=Ka>0Fb>0）下二例1设点P在双曲线一b2的左支上，双曲线两焦点为昂当,已知IPRI是点P到左准线I的距离日和IPBI的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。、皿八1%=Ka>0,b>-c-c2设点P在双曲线b*的右支上，双曲线两焦点昂瓦,IPF1|=4|P耳|,求双曲线离心率的取值范围。3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知：°耳户c+a,|

2、PF?'c-a|,g2s5-a>c+a,-a>c-a-a>cIveM一即33，两式相加得：3，解得：3。4-4-lfe>0,b>0）e4已知点P在双曲线国b的右支上，双曲线两焦点为耳、后，11最小值是跖，求双曲线离心率的取值范围。5（2000年全国高考题）已知梯形ABCDK1ABi=2QD|,点e分有向线段AC23所成的比为工，双曲线过GDE三点，且以AB为焦点，当34时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为-A（一*DCQ,hEg,兀）汝b，设2其中h是梯形的（h-2）cAhXq=p.y,Q=高，由定比分点公式得2（入+1）九+

3、1,把GE两点坐标分别代入双曲三工_1-甘；空尸1线方程得用m”，4（九十1），,仇+1丁，两式整理得（卜2）2：入4Q+"Q+】y4,从而建立函数关系式/+2,由已知L2三一乜33一4得，弓一丁+2-4,解得版。yy2=l（a>0）_-.6已知双曲线区与直线I：x+y=l交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。-y2=l（a>0）7已知双曲线上存在已q两点关于直线区+2y=i对称，求双曲线离心率的取值范围。PQ中点为M由点差法求得次+2M+2,当点M1>1在双曲线内部时值”+2）（1+2）口,整理得：/+膏+5<口无解；当点m在双曲线外部时，点M应

4、在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可/2_l0仁、3MO士1匕富=+>2（知：你+G3，即a<1,则a，所以e>J2。8已-7-77=Xa>0,b>0）知过双曲线汝b左焦点耳的直线1交双曲线于P、Q两点，且QP_L°Q（Ci为原点）,求双曲线离心率的取值范围。OP!OQMI町十y，"。，b4（P+l）_2bVc2hc3=Qt3=b4-a3c3即：bat3-aab卡一，解得：一，因为t飞0,所以42244223+7575+1、,a4-3aaca+c4>0,e4-3e2+1>0,>LLe>b-ac之0，贝U2,所以

5、2。解析：点评：二、利用平面几何性质例解析：a+-a>2c3解得:网卜铲,阿卜铲,由三角形性质IP月1+能罔咽I得:点评：三、利用数形结合例解析：Q9|PF/=|PF#33占,八、四、利用均值不等式例四二（|P任2?解析：IPR|PF?|五、利用已知参数的范围解析:六、利用直线与双曲线的位置关系例解析：七、利用点与双曲线的位置关系例解析：八、利用非负数性质例解析:卜J力为;E彳，町町=Oyc)(tyc)=tRi%一ct(y+y2)+c2bt-a，由求双曲线离心率的取值范围时要根据题情，因题制宜挖掘题中隐含的不等关系,构造不等式，从而求出双曲线离心率的取值范围设POqi).Q(叼6),过左

6、焦点巧的直线l方程：火=野-C,代入双曲线方程_2b%得：&产_/)mtcy+b、0,由韦达定理得：%"一6千-，设PQ】,y】),Q(M,yD,弦把双曲线方程和直线方程联立消去k得：(1-2/-2¥+1-=01-=0时，直线与双曲线有两个不同的交点则2口，A=4-4。-心*=4/(2-/)>0,即/<2且鼻*1,所以2dlm灰亡T=1+->一曰)T-k02,即2且时也。如图由均值定理知：当且仅当|PF#2a时取得最小值现又|PF*c-鼠所以22之c-a,则。由例求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。由双曲线第一定义得：出耳|一比B|=2,与已知|PK卜41PBi联立解得：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P在双曲线炉r的左支上则区三一团；若点P在双曲线/b*的右支上则芯会。西二里眄|_由题设明