反比例函数复习讲义

1、反比例函数复习讲义知识点一：反比例函数的概念k一般地，如果两个变量x、yN间的关系可以表不成y=(k为常数，上黄。)的形式，那么称y是x的反比例函数.注：kkk(1)反比例函数y=一中的一是一个分式，自变重xW0,y=也可写成y=kx，或xy=k,其中kwo；i5i(2)在反比仞函数y=kx(kw0)中，x的指数是一1。如，y=也写成：y=5x；xk1(3)在反比例函数y=(kwo)中要注息分母x的指数为1,如y=F就不是反比xx例函数。知识点二：反比例函数的图象k,反比例函数y=(k#0)的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、x三象限或第二、四象限.它们关于原点对称，反比例函

2、数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.注：k,(1)观察反比例函数y=(k#0)的图象可得：x和y的值都不能为0,并且图象既x是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.(2)用描点法画反比例函数y=k的图象时，应注意自变量x的取值不能为0,一般x应从1或-1开始对称取点.(3)在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴分别围成的矩形面积为S,S2则S1=&.知识点三：反比例函数的性质1 .图象位置与函数性质当k>0时，x、y同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内

3、，y随x的增大而减小；当k<0时，x、y异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大.k,2 .若点(a,b)在反比仞函数y=(k#0)的图象上，则点(-a,-b)也在此图象上，故x反比例函数的图象关于原点对称；3 .正比例函数与反比例函数的性质比较。正比例函数反比例函数解析式y=W0)k1y=不0)工图像直线后两个分支组成的曲线(双曲线)位置k>0,一、三象限；k<0,二、四象限k>0,一、三象限k<0,二、四象限增减性k>0,y随x的增大而增大k<0,y随x的增大而减小k>0,在每个象限，y随x的增大而减小k<0,在每个

4、象限，y随x的增大而增大4.反比例函数y=k中k的意义x反比例函数y=k(kw0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=-(k0)±xx任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k.知识点四：反比例函数解析式的确定k反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式y=R(k¥0)x中，只有一个待定系数k,确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、yk,的对应值或图象上点的坐标，代入y=(k#0)中即可求出k的值，从而确定反比例函数x的解析式.知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1 .反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知

5、识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。2 .针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。3.列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。如，某三角形的面积是2时，底边长y4与该底边上的图x之间的关系式是y=(x0)。x规律方法指导1 .反比例函数的概念需注意的问题(1)k是常数，且k不为零；(2)自变量x的取值范围是的一切实数；(3)自变量y的取值范围是口的一切实数.2 .画反比例函数的图象时要注意的问题(1)画反比例函数图象的方法是描点法；(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是因此不能把两个分支连接起来；(3)由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0,所以画

6、出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势.3.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤(1)设所求的反比例函数为：y=k(kstO);x(2)根据已知条件，列出含k的方程；(3)解出待定系数k的值.类型一：确定反比例函数的解析式例1.已知函数y=(m+1)x/是反比例函数，则m的值为,举一反三：【变式1】已知y=yi+y2,yi与x成正比例，y2与x成反比例，且x=2与x=3时，y的值都等于10.求y与x间的函数关系式.类型二：参数k与反比例函数图象k-例2.函数y=kx+b(k¥0)与y=(k#0)在同一坐标系中白图象可能是().举一反三

7、：【变式1】已知ab,且a#0,b#0,a+b#0则函数y=ax+b与y=x【变式2】如下图是三个反比例函数y=&、y=k2、y=k3xxx在x轴上方的图象，由此观察得到k1,k2,k3的大小关系：()A. k1>k2>k3B. k3>k2>k1C. k2>k3>k1D. k3>kok2【变式3】如下图是反比例函数y=n-7-_、皿的图象的一支，根据图象回答下列问题:x(1)图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？“、4n7一(2)在y=图象上任取两点A(a,b)和B(az,bz),如果a<az,那么b和bz的大小关系？类型三：参

8、数k与比较大小5.例3.已知(1,yi),(3,y2),(-2,y3)是反比例函数y=的图象上的二个点，x则71%的大小关系是.举一反三：【变式1】知(),(®)4)是反比例函数y=-2的图象上的三个点，x并且力必为°,则内的大小关系是.【变式2】如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点AB的横坐标分别为a,2a(a>0),AC±x轴，垂足为点C,BD±x轴，垂足为点D,且AOCW面积为2。(1)求该反比例函数的解析式。(2)若点(-a,yO,(-2a,v2在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。类型四：参数k与图形面积2,一一.、.例4.

9、如图，过反比仞函数y=(xA0)的图象上任意两点A、B,分另I作x轴的垂线,x垂足为A'、B',连接OA,OB,AA与OB的交点为P,记AO叫梯形PA'B'B的面积分别为&、&，试比较Si与S2的大小.举一反三：【变式】一次函数y=kx+b的图象与反比例函数A(-2,1),B(1,n)两点.(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;(2)求AOB勺面积.类型五：反比例函数的实际应用例5.在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I(A)与电阻R(Q)之间的函数图象如图所示：(1)I与R的函数关系式为：;(2)结合图象回答：当电路中的电流不得超过1

10、2A时，电路中电阻R的取值范围是.举一反三：【变式1】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度P也随之改变。P与V在一定范围内满足P=它的图V象如图所示，则该气体的质量m为()A.1.4kgB.5kgC.6.4kgD.7kg【变式2】电压一定时，电流I与电阻R的函数图象大致是().k把k值代入函数关系式y=(k=0)中.x基础达标填空题1 .已知函数德是反比例函数，且图象在第一、三象限内，则加;.八一-k2-21、一2 .在函数y=（k为常数）的图象上有二个点（-2,yi）,（-1,y2）,（,丫3）,函数值yi,y2,y3的大小为.k3 .如图1,

11、面积为3的矩形OABC勺一个顶点B在反比仞函数y=的图象上，另三点在坐x标轴上,贝Uk=.选择题1 .平行四边形的面积不变，那么它的底与高的函数关系是（）.A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数12 .如图2,在y=（x>0）的图象上有二点A,B,C,过这二点分别向x轴引垂线，交x轴于A,Bi,C1三点，连OAOBOC记OAA,OBB,OCC的面积分别为S2,S3,则有（）.图2A.S1=S2=S3B.SkS2<S3C.S3VSV&D.S>&>与k3 .反比例函数y=（k>0）在第一象限的图象上有一点P,PQLx轴，垂足为Q连xPO设

12、鼻POQW面积为S,则S的值与k之间的关系是（）.A.S=KB.S=C.S=kD.S>k4 2a4.已知abv0,点P（a,b）在反比例函数y=的图象上，则直线y=ax+b不经过的象限是（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限k5.函数y=与y=kx1(k00)在同一坐标系中的图象大致是()x16.右点(xi,yi)、(X2,y2)、(x3,ys)都是反比例函数y=的图象上的点，并且xiV0VX2VX3,则下列各式中正确的是().A.yiy2y3B.y2y3yiC.y3y2yiD.yivysVy22k7.右P(2,2)和Q(m-m)是反比例函数y=图象上的两点，则一次函数y

13、=kx+m的图象经过().A.A、二、三象限B.A、二、四象限三、四象限能力提升解答题1、如图所示，已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=n).(1)求反比例函数及一次函数的解析式；(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数值的ky=(k>0)2如图，P1是反比例函数x在A象限图像上的一点，点A1的坐标为(2,0).(1)当点P1的横坐标逐渐增大时，P1OA的面积将如何变化？(2)若P1OA1与4P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及Aa点的坐标.C.A、三、四象限D.第二、m,一、一，“-一的图象父于点A(-3,1),B(1,xytx的取值范围.)4(-3。1AiA-X1k3 .如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(k00)在第一象限的图象交于A点,2x过A点作x轴的垂线，垂足为M