吉林长春东北师大附中高三数学上学期第一次摸底试卷理含解析

1、吉林省长春市东北师大附中2015届高三上学期第一次摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.（5分）集合A=x|log3（x1）<1,B=x|2xv1,则AnB=（）4A.（1,2）B,（1,4）C.（-2,0）D,（0,2）2. （5分）命题“又任意的xCR,都有2x2-x+1>0”的否定是（）A.对任意的xCR,都有2x2-x+1<0B,存在xqCR,使得2x。2-x0+1V0C.不存在x°eR,使得2x。2-x0+1<0D.存在x°eR,使得2x。2-x0+1>0

2、23. （5分）曲线y=p亍"在点（4,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.-B.4e2C.2e2D.e2e4. （5分）下列函数中是偶函数且在（0,+8）上单调递增的是（）A.y=2xB.y=lnxC.y=x2D.y=|x|一15. （5分）“a>1”是“工<1”的（）aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. （5分）若0vbvav1,则下列不等式成立的是（）A.abvb2<1B.log>log工-b-22C.2b<2a<2D.a2vab<17. （5分）如图，直线l和圆c,当l从l0开始在

3、平面上绕点。按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）8.(5分)定积分；2H_dx的值是()Ai+ln2B二C.3+ln2249.(5分)偶函数f(x)的定义域为R,g(x)=f(x1),g(x)是奇函数，且g(3)=1,则f=()A.B. 1C. -1D.201410. (5分)函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则点(a,b)为()A.(3,-3)B.(-4,11)C.(3,-3)或(-4,11)D.不存在11. (5分)若-1,1?x|x2-tx+t|W1,则实数t的取值范围是()A.-1

4、,0B.2-22,0C.(-00,-2D.2-2&,2+2血12. (5分)x表示不超过x的最大整数，函数f(x)=|x|-xf(x)是周期为1的函数；f(x)的定义域为R;f(x)的值域为0,1)f(x)是偶函数；f(x)的单调增区间为(k,k+1)(kCN).上面的结论正确的个数是()A.2B.3C.4D.5二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)7/T，工213. (5分)设函数f(x)=19'，若f(f(1)=2,则a的值为.log3(x_a)，14. (5分)函数f(x)=x3-3x+m恰好有两个零点，则m的值为.15. (5分)函数f(x)是定义在(0,4)上的减

5、函数，且f(a2-a)>f(2),则a的取值范围是.16. (5分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,若对任意的xCt,t+2,不等式f(x+t)>2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是.三、解答题：解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. (12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>-2x的解集为x|1<x<3.(I)若方程f(x)=2a有两个相等正根，求f(x)的解析式；(n)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.18. (12分)根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率

6、为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：方案1:运走设备，搬运费为3800元.方案2:建保护围墙，建设费为2000元.但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施.试比较哪一种方案好.并简单分析你的选择对气象情况多次发生和对一次具体决策的影响.19. (12分)在四棱锥S-ABCD43,SL底面ABCDADLAB,AD/BCAD=1,AB=BC=2cos<DS,DB>=-.5(I)求直线BS与平面SC所成角的正弦值；(n)求面SABW面SCD所成二面角的正弦值.2220. (12分)分别过椭圆E

7、:二+七=1(a>b>0)左、右焦点Fi、F2的动直线1i、l2相交于Pab点，与椭圆E分别交于AB与CD不同四点，直线OAOBOCOD的斜率分别为k、k2、k3、k4,且满足k1+k2=k3+k4,已知当1i与x轴重合时，|AB|=2加，|CD|=#3.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点MN,使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出MN点坐标，若不存在，说明理由.21. (12分)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点xx2,(XiX2)(I)求实数a的取值范围；(n)求证：f(xi)<0,f(X2)>一1.2四、选做题考生在第22、23、24题中任

8、选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1几何证明选讲】22. (10分)如图，已知PA与圆O相切于点A,经过点O的割线PBC交圆O于点B,C,/APC的平分线分别交AB,AC于点D,E.(I)证明：/ADEMAED(n)若AC=AP求匹的值.PA【选修4-4,坐标系与参数方程】23. 在直角坐标系中，直线l经过点P(2,2),倾斜角a=三,以该平面直角坐标系的原点3为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，圆C的极坐标方程为p=2cos0.(I)写出直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；(n)直线l与圆C相交于A、B两点，求+的值.

9、【选修4-5:不等式选讲】24.证明：-2=-<n+1+-+-+<2232n2n(n=2,3,4).吉林省长春市东北师大附中2015届高三上学期第一次摸底数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. (5分)集合A=x|log3(x1)<1,B=x|2XV1,则AAB=()A. (1,2)B.(1,4)C. (2,0)D. (0,2)考点：交集及其运算.专题：集合.分析：利用交集的性质和不等式的性质求解.JK-1>0解答：解：A=x|log3（x1）<1=x|,=x|1vx&l

10、t;4,x-l<3B=x|1<2x<1=x|0vx<2,4.AnB=x|1vx<2=（1,2）.故选：A.点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数、指数函数的性质的合理运用.2. （5分）命题“又任意的xCR,都有2x2-x+1>0”的否定是（）A.对任意的xCR,都有2x2-x+1<0B,存在xoR,使得2x，-xo+1V0C.不存在x。CR,使得2x0-x0+1<0D,存在x°eR,使得2x02-x0+1刀0考点：命题的否定.专题：简易逻辑.分析：将量词改为“存在”，将结论否定当结论.由此得到原命题的否定.解答：解：

11、由全称命题的否定方法得：“对任意的xCR都有2x2-x+1>0”的否定是“存在xoCR,使得2x2-x+1<0成立.故选B.点评：本题考查了全称命题的否定方法，属于容易题.13. （5分）曲线y=e在点（4,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）AB.4e2C.2e2D.e22e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：计算题.x轴，与y轴的交点）然后求切线与坐标分析：利用导数求曲线上点切线方程，求直线与轴所围三角形的面积.解答：解：.曲线y=/:12 .y=/X-,切线过点（4,e）c22 f（x）|x=4=e,乙，切线方程为：y-e2=Jle2（x-4）,2令y=0,得

12、x=2,与x轴的交点为：（2,0）,令x=0,y=-e2,与y轴的交点为：（0,-e2）,，曲线y=/工在点（4,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=_lx2x|-e2|=e2,e2故选D.2点评：此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线丫=尸亍豆能够正确求导，此题是一道基础题.4. （5分）下列函数中是偶函数且在（0,+8）上单调递增的是（）A.y=2xB.y=lnxC.y=x2D.y=|x|一1考点：函数奇偶性的性质.专题：函数的性质及应用.分析：根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0,+8）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案.解答：解：A

13、,y=2x定义域是x|xW0,是偶函数，且在（0,+8）上单调递减，则A不符合；B,函数y=lnx的定义域是（0,+8）,则是非奇非偶函数，B不符合题意；C,函数y=x-2的定义域是x|xw。,但在（0,+oo）单调递减，C不符合题意；D,y=|x|-1为偶函数，在（0,+8）上单调递增，D正确.故选：D.点评：本题考查函数奇偶性与单调性，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，以及基本函数奇偶性和单调性，考查了推理判断的能力.5. （5分）“a>1”是“工1”的（）aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点：充要条件.分析：可以把不等式“工

14、<1”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两a边同乘以分母a要分类讨论，分a>0,a<0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法.解答：解：由q<1得：a当a>0时，有1va,即a>1;当a<0时，不等式恒成立.所以工<1?a>1或a<0a从而a>1是工<的充分不必要条件.a故应选：A点评：本题考查不等式的性质及其应用，解分式不等式的问题，不等式的等价变形！本题需要注意的是在利用不等式的乘法单调性时易出错，比如本题中若原不等式两边同乘以a,等到a>1就是对不等式两边同乘以一个正数还

15、是负数不等式是否改变方向认识不足导致的错误.6. （5分）若0vbvav1,则下列不等式成立的是（）A. abvb2<1C.2bv2a<2B.D.log工>loglb2a2<abv11.ia2考点：不等式的基本性质.专题：计算题；不等式的解法及应用.分析：取特殊值，确定A,B,D不正确，0vbvav1,2>1,利用指数函数的单调性，可得C正确.22解答：解：b,a-,贝Uab=,b=,故A不正确；a,ab=,故D不正确；42S1648log.二二-2,10gD2',0<b<a<1,2>1,2b<2a<2,故选：C.点评：

16、本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，若利用特殊值代人法，可排除不符合条件的选项.7. （5分）如图，直线l和圆c,当l从10开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）,5仍,'|/I1JT/fiz/IKA.B.C,D.考点：直线与圆相交的性质.专题：图表型；规律型；数形结合法.分析：由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项解答：解：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大

17、再变小，由此知D符合要求故选D点评：本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力.8. (5分)定积分d2/_dx的值是(),1XA_+ln2B-C.3+ln2D.242考点：定积分.专题：分析：计算题；导数的概念及应用.求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案解答：2解：:dx=I-I1W=!工1汾/产1n21n1+恭产-NJ*ln2W4心乙故选：A.点评：本题考查了定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题.9. (5分)偶函数f(x)的

18、定义域为R,g(x)=f(x-1),g(x)是奇函数，且g(3)=1,则f=()A.0B.1C.-1D.2014考点：函数奇偶性的性质；函数的值.专题：函数的性质及应用.分析：根据g(x)是奇函数及已知条件得到f(x+1)=-f(x-1),即f(x-1)=-f(x+1),所以f(x)=-f(x+2)=f(x+4),所以函数f(x)的周期是4,所以f=f(2+503X4)=f(2),所以根据已知条件求f(2)即可.解答：解：g(x)是奇函数，g(x)=f(x1)=-g(x)=-f(x1)；又f(x)是偶函数，f(x+1)=-f(x1),即f(x1)=-f(x+1),，f(x)=-f(x+2)=f

19、(x+4);1 .f(x)是周期为4的周期函数；2 .f=f(2+503X4)=f(2)=g(3)=1.故选B.点评：考查奇偶函数的定义，以及函数周期的概念.10. (5分)函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则点(a,b)为()A. (3,-3)B. (4,11)C.(3,-3)或(-4,11)D.不存在考点：函数在某点取得极值的条件.专题：计算题.分析：首先对f(x)求导，然后由题设在x=1时有极值10可得.解之即可求f(1)=10出a和b的值.解答：解：对函数f(x)求导得f'(x)=3x2-2ax-b,又,在x=1时f(x)有极值10,，产。Lf(1)=

20、l-a-b+a210在力/曰34nQ3斛付1或d,gl3验证知，当a=3,b=-3时，在x=1无极值，故选B.点评：掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题.11. (5分)若-1,1?x|x2-tx+t|W1,则实数t的取值范围是()A.T,0B.2-2/2,0C.(-00,-2D.2-2&,2+2近考点：集合的包含关系判断及应用.专题：计算题；函数的性质及应用；集合.分析：令y=x2-tx+t,由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围.解答：解：令y=x2-tx+t,若t=0,则x|x2<1=-1,1,成立，若t>0,贝Uym

21、a尸1-1)2-t1-1)+t=2t+1W1,即t<0,不成立；若tV0,则ymak(1)2-t+t=1<1,成立，、2ymin=(_)t?_+t>一1,22即t2-4t-4<0,解得，2-2&wtW2+2加，则2-2泥wt<0,综上所.，2-2V2<t<0.故选B.点评：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题.12. (5分)x表示不超过x的最大整数，函数f(x)=|x|-xf(x)是周期为1的函数；f(x)的定义域为R;f(x)的值域为0,1)f(x)是偶函数；f(x)的单调增区间为(k,k+1)(kCN).上面的结论正确的个数是()A

22、.2B.3C.4D.5考点：函数解析式的求解及常用方法.专题：函数的性质及应用.分析：根据已知中冈表示不超过x的最大整数，我们可以分别求出函数y=|x|-x的值域，奇偶性，周期性，单调性，比较已知中的个结论，即可得到答案.解答：解：.£(x)=|x|-x,函数的定义域为R.f(x+1)=|x+1|x+1=|x+1|-x-1=|x|x=f(x),.f(x)=|x|-x在R上为周期是1的函数.:当0<x<1时，f(x)=|x|x=|x|-0=|x|,，函数x的值域为0,1),函数y=|x|-x为非奇非偶函数，:函数y=|x|-x在区间(0,1)上为增函数，.f(x)的单调增区

23、间为(k,k+1)(kCN)故正确，故选：C点评：本题的考查的知识点是函数的值域，单调性，奇偶性和周期性，其中正确理解新定义是解题的关键.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)x<213. (5分)设函数f(x)=口，若f(f(1)=2,则a的值为-5.log3(J-a),考点：函数的值.专题：函数的性质及应用.分析：由已知得f(1)=2e1=2,从而f(f(1)=f(2)=log3(4-a)=2,由此能求出a的值.x<2解答：解：二.数f(x)7门,f(f(1)=2,log3(1-a),.f(1)=2e11=2, .f(f(1)=f(2)=log3(4-a)=2, -4-a=

24、9,解得a=-5.故答案为：-5.点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用.14. (5分)函数f(x)=x3-3x+m恰好有两个零点，则m的值为-2或2.考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性.专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用.分析：若函数f(x)恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0,建立方程即可得到结论解答：解：.1f(x)=x33x+m,f(x)=3x2-3,由f(x)>0,得x>1或x<-1,此时函数单调递增，由f(x)v0,得-1vxv1,此时函数单调递减.

25、即当x=-1时，函数f(x)取得极大值，当x=1时，函数f(x)取得极小值.要使函数f(x)=x3-3x+a只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0,由极大值f(1)=1+3+m=m+2=0解得m=-2;再由极小值f(1)=1-3+m=m-2=0,解得m=2综上实数m的取值范围：m=-2或m=2故答案为：-2或2.点评：本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题.15. (5分)函数f(x)是定义在(0,4)上的减函数，且f(a2-a)>f(2),则a的取值范围是(-1,0)U(1,2).考点：函数单调性的性质.专题：函数的性质及应用.2分

26、析：因为f(x)是定义在(0,4)上的减函数，所以由f(a-a)>f(2)得!,la2-a<2解该不等式组即得a的取值范围.解答：解：根据已知条件，原不等式变成，解得-1vav0,或1vav2；a2-a<2.a的取值范围是(-1,0)U(1,2).故答案为：(-1,0)U(1,2).点评：考查函数单调性的定义，根据函数的单调性解不等式，以及函数的定义域，解一元二次不等式.16. (5分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,若对任意的xCt,t+2,不等式f(x+t)>2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是巫，+8)考点：函数恒成立问题；函

27、数奇偶性的性质.专题：计算题.分析：由当x>0时，f(x)=x2,函数是奇函数，可得当x<0时，f(x)=-x2,从而f(x)在R上是单调递增函数，且满足2f(x)=f(Vx),再根据不等式f(x+t)>2f(x)=f(V2x)在t,t+2恒成立，可得x+t>V2x在t,t+2恒成立，即可得出答案.解答：解：当函数是奇函数当x<0时，fx>0时，f(x)/、2(x)=-x.f(x)在R上是单调递增函数,且满足2f(x)=f(血x),不等式f(x+t)>2f(x)=f.-x+t>bx在t即：x<(1+灰)-t+2<(1+'次)解

28、得：tA爽,故答案为：二,2=x(«x)在t,t+2恒成立,t+2恒成立,t在t,t+2恒成立,t+oo).点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性.三、解答题：解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>-2x的解集为x|1<x<3.若方程f(x)=2a有两个相等正根，求f(x)的解析式;f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.考点：专题：二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；一元二次不等式的解法.函数的性质及应用.分析:(I)由题意可得ax

29、2+(b+2)x+c>0的解集为x|1<x<3,可得ra<01+3=-2,1X3=-ara<0b二-4a-2,代入ax2+bx+c=2a整理，根据此方程的判别式=0,求得a的值，可得b、Lc=3ac的值，从而求得f(x)的解析式.fa<0(n)由题意可得12整-(4a+2)2,由此求得a的范围.4a解答：解：(I)二.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>-2x的解集为x|1<x<3.ra<04g-4a-2,Lc=Saa<01+3;-b+2故ax2+(b+2)x+c>0的解集为x|1<x<3,

30、故有,2,整理可得1父於£la代入ax2+bx+c=2a可得ax2-(4a+2)x+a=0.再根据此方程的判别式4=(4a+2)2-4a2=0,求得a=T,或a=-.3当a=1时，b=2,c=-3,此时，f(x)=-x2+2x-3,满足条件.当a=-4时，b=-,c=-1,此时，f(x)=-lx2-x-1,此方程有2个负实数根，不满足3333条件，故舍去.综上可得，f(x)=-x2+2x-3.ra<0(n)若f(x)=ax2-(4a+2)x+3a(a<0)的最大值为正数，贝U有112屋一(4a+2)?，二4a求得av-2-行,或0>a>-2+V5.点评：本题主

31、要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题.18. (12分)根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：方案1:运走设备，搬运费为3800元.方案2:建保护围墙，建设费为2000元.但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施.试比较哪一种方案好.并简单分析你的选择对气象情况多次发生和对一次具体决策的影响.考点：函数模型的选择与应用.专题：函数的性质及应用.分析：用X表示方案i(i=1,2,

32、3)的损失，由题意即可得出：若采用第一中方案，X=3800.采用第二种方案,62000,有大洪水“一(2000,无大洪水同样，采用第三种方案，有60000,有大洪水乂3=10000,无大洪水.再利用数学期望的计算公式即可得出.0,无洪水解答：解：用X表示方案i(i=1,2,3)的损失，若采用第一中方案，无论是否有洪水，都损失3800元.即X=3800.采用第二种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元，没有大洪水时，损失2000元,(62000,有大洪水212000,无大洪水60000,有大洪水同样，采用第三种方案，有无大洪水.0,无洪水于是E(Xi)=3800,E(X0=6

33、2000XP(%=62000)+2000XP(%=2000)=62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600.E(X3)=60000XP(*=60000)+10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0)=60000X0.01+10000X0.25=3100.综上可知：采用方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2.点评：上述选择是通过比较“平均损失”而得出的，我们可以这样来理解“平均损失”：如果问题的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小，由于洪水是否发生的大小都是随机的，因此个别的因此决策，方案2也不一定是最好的.19. (12分)在四棱锥S-ABCD43,SL

34、底面ABCDADLAB,AD/BGAD=1,AB=BC=2cosvDS,DB>=-5(I)求直线BS与平面SC所成角的正弦值；(n)求面sabW面scd所成二面角的正弦值.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角.专题：空间角.分析：(I)设SA=m由已知得4+吊=1+吊+5-2y1nX娓X工从而得m=2,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,利用向量法能求出直线BS与平面SCD所成角的正弦值.(II)求出平面SAB的法向量，利用向量法能求出平面SAB与面SCD所成的二面角的正弦值.解答：解：(I)设SA=mSaMdS+D甘一2DS?DBcos或，况，.4+m2=1+m

35、+5-2/爪2Tl*V5x,5解得m=2以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),B(0,2,0),BS=(0,-2,2),DC=(1,2,0),DS=(T,0,2),设平面SCD的法向量为ir=(x,y,z),则居,号+2产。DS-nF-x+2z=0令z=1,则n=(2,-1,1),设直线BS与平面SCD所成角为0,则sin0=IBEjg_|_=0+2+2=21.IBS|-|mIVW63(n)SL底面ABCDADLAB平面SAB的法向量为AD=(1,0,0),C0sV刈，='.='IADIIm|3平面SAB与面S

36、C所成的二面角的正弦值为点评：本题考查直线BS与平面SC所成角的正弦值的求法，考查面SAB与面SCD所成二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.2220.(12分)分别过椭圆E：三十与=1(a>b>0)左、右焦点F1、F2的动直线1人12相交于P屋b2点，与椭圆E分别交于A、B与CD不同四点，直线OAOBOCOD的斜率分别为k、k2、k3、k4,且满足k+k2=k3+k4,已知当1i与x轴重合时，|AB|=245,|CD|=&U1.3(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点MN,使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出MN点坐标，若不存在，说明理由.

37、考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题.分析：(1)由已知条件推导出|AB|=2a=2娟，|CD|=2-二由此能求出椭圆E的方程.a3(2)焦点Fi、F2坐标分别为(-1,0),(1,0),当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1,0)或(1,0),当直线l1,l2斜率存在时，设斜率分别为m,m,设A(xi,y。，B(X2,V2），由'十下=1，得3叫2）J+62/32_6=0,由此利用韦达定理结尸叫（x+1）I1合题设条件能推导出存在点MN其坐标分别为（0,-1）、（0,1）,使彳#|PM|+|PN|为定值2&.解答：解：（1）当li与x轴重合

38、时，ki+k2=ks+k4=0,即k3=k4,12垂直于x轴，得|AB|=2a=2/j,|CD|=2h二生巨，a3解得a=b=/,22椭圆E的方程为工+工二1.321（2）焦点Fi、F2坐标分别为（-1,0）,（1,0）,当直线11或12斜率不存在时，P点坐标为（-1,0）或（1,0）,当直线11,12斜率存在时，设斜率分别为m,H2,（22设A（必，y”,B（X2,y2）,由，32,尸叫（x+l）得一：，一.一-，6m1之3mj2-61上2+3mJ1上2+3mJyy2/"i+i"2+1、,xi+xn_4wi一二=:.=12KlK21工1x21盯工2ip/-2-同理k3+k

39、4=',叫2-k1+k2=k3+k4,-4叫"4叫r=,即(mm+2)(m>-m)=0,m/-210/-2由题意知mwm2,.ni1n2+2=0,设P(X,y),则三.一片。，l+lK-12二1，xw±1,由当直线11或12斜率不存在时，P点坐标为（-1,0）或（1,0）也满足,点P(x,y)点在椭圆式+宜2二上,2存在点MN其坐标分别为(0,-1)、(0,1),使得|PM|+|PN|为定值2&.点评：本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点MN,使得|PM|+|PN|为定值的判断与证明，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，解题时要注意函数与方程思想

40、、等价转化思想的合理运用.21. (12分)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点xi、X2,(X1VX2)(I)求实数a的取值范围；(n)求证：f(x。<0,f(x2)>-.2考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.专题：导数的综合应用.分析：(1)利用导数研究函数的极值，求导，f'(x)=lnx+1-2ax.令g(x)=lnx+1-2ax,由于函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点？g(x)=0在区间(0,+8)上有两个实数根.对a分类讨论，解得即可.(2)先求出f'(x),令f'(x)=0,

41、由题意可得lnx=2ax-1有两个解x1,x2?函数g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点？g'(x)在(0,+8)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.解答：令g(x),函数fg'(x)解：(1)f(x)=xlnxax2(x>0),f'(x)=lnx+1-2ax.=lnx+12ax,(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则g(x)=0在区间(0,+8)_1_1_2ax=一一2a=,xx上有两个实数根.g(x)=0在区间当a<0时，g'(x)>0,则函数g(x)在区间(0,+8)单调递增，因此(0,+8)上不可能有两

42、个实数根，应舍去.当a>0时，令g'(x)=0,解得x=.2a令g'(x)>0,解得0<x<,此时函数g(x)单调递增;2a令g'(x)<0,解得x>,此时函数g(x)单调递减.2a，当x=4时，函数g(x)取得极大值.2a当x趋近于0与x趋近于+8时，g(x)-oo,要使g(x)=0在区间(0,+8)上有两个实数根，则g(上)-/>0,解得0vaA.2aln2a2实数a的取值范围是(0,J).7(2)由(i)得0vxivx2,f'(x。=lnxi+i2axi=0,f'(x2)=lnx2+i2ax2=0.2a且f

43、(xi)=xi(lnxiaxi)=xi(2axi1axi)=xi(axi1)<xi(axi)=一a丫工v0,f(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2i)>ix(axi)=-.2a2点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.四、选做题考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-i几何证明选讲】22. (i0分)如图，已知PA与圆O相切于点A,经过点O的割线PBC交圆O于点B,C,/APC的平分线分别交AB,AC于点D,E.考点：专题：分析：(I)证明：/ADE=AED弦切角；相似三角形的性质.证明题.(I)根据弦切角定理，得到/BAP=C,结合PE平分/APC可得/BAP吆APDWC+/CPE最后用三角形的外角可得/ADEMAED(n)根据AC=AP导至ij/APCWC,结合(I)中的结论可得/APCWC=ZBAP再在APC中根据直径BC得到/PAC=90+/BAP利用三角形内角和定理可得NO/APC=/BAP二乂90*=30”利用直角三角形中正切的定义，得到，-二,最后通3Ad一_PCCA过内角相等证明出AP