参数法求轨迹方程

1、参数法求轨迹方程之袁州冬雪创作一、讲授方针（一）知识讲授点深入懂得曲线的参数方程与普通方程的区别与接洽，进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法.（二）才能训练点掌握运用参数求轨迹方程的方法，懂得设参的基来历根基则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流利性.（三）学科渗透点通过学习选参方法，学会透过现象挖掘实质的哲学思想方法.二、教材分析1 .重点：运用参数求轨迹方程的方法.2 .难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论.3 .疑点：设参的基来历根基则.三、活动设计1 .活动：问答、思考.2.教具：投影仪.四、讲授过程（一）回忆、点题和

2、明白任务求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系比较分明，那末可以用直接法，也就是建系、列式、化简.如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合莫种二次曲线的定义，那末可以用定义法，也就是定型（曲线类型）、定位（曲线位置）、定量（曲线几何量），然后直接运用二次曲线的方程写生动点的轨迹方程.如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽而且很难断定动点符合奥种二次曲线的定义，那末便可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程.同学们常常使用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法.

3、在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步调是：首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参.其中，最关键的一步是设参，参设得分歧，整个思维和运算过程分歧，参设得欠好，运算量增大，甚至根本就算不由来；最畏难一步是消参，常常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论.如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结.（二）讲例1,设参基来历根基则请看屏幕（投影，读题）.例1矩形ABC»,AB=2a,BC=b,a>b,E、F分别是ARCD的中点，平

4、行于EC的直线l分别交线段EF、FC于MN两点，求直线AM与BN交点P的轨迹（图3-9）.首先需要建立坐标系，请思索，建立直角坐标系一般应选择什么位置？学生1答：选择鸿沟、中心等特殊位置.那末，这一题如何建立坐标系?解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系.各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标).运动系统中，l主动，MN从动，P随之运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法？学生2答：(1)1的纵截距c,(2)|OM|=t,(3)|FM|=t.为什么可以这样设参？一参对一点P,一P对一参，参变更P运动，参固定P运动，一句话：一切可以节制运动系统的量都可以设参.这就是设参的基来历根基

5、则.设|FM|=t,t60,b,P(x,y).学生3答：不需要，只要找x、y、t间的最简单式子，从中能消参即可，这是列式的基本要求.上面的消参方法，可以视x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参.参数t60,b范围分明，但由于没有显参数方程，所以方便通过议参来确定x、y的范围，此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性.l过F时，P合于F,l-OC时，PfB故xA0,y>0.影片，显示轨迹）.（三）讲例2,选参的一般依据上面例1,设一个参数便可以了，而且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕（投影，读题）.例2点A（1,1）、B、C是抛物线y2=x上的动

6、点，知足AB，AC,作矢!形ABPC求P点的轨迹方程（图3-10）.运动系统中，概况上看有B、C两个动点，实际上由于AB±AC,所以若B主动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量便可以节制整个运动系统.请思考，这题有几种设参方法？各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连络起来？学生4答:(2)设点B坐标(t2,t)-kABfkACHCfP.上述两种设参方法中，参数与动点P的关连都比较远，课后大家可以计算一下，实现这一关连，计算很是复杂.那末再思索，可否再找一种设参方法，这种设参方法不局限于一个参数，但确使参数与动点P间的关连比较近？学生5答：解：设B(t12,t1),C(t2

7、2,t2)-P(x,y).参数与P的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、t2之间自己有一个关系，F(t1,t2)=0,而这一关系在消参的运用上或许无需显解成t1=f(t2),只需要将F(t1,t2)=0用一下便可以达到消参目标.而前面的两种设参方法在消参过程中，实际上就是把t1、t2的关系F(t1,t2)=0显解成t1=f(t2)，然后消参时又恢复成F(t1,t2)=0的重复计算过程.这种重复计算就是一开端所说的有时很复杂，有时根本就算不由来.是否真的如此，算算看：(t1+t2)2=t12+t22+2t1t2,(y+1)2=x+1+2-(y+1)-2即：（y+2）2=x-

8、2.想一想看，如果显解由t1=f（t2）再两式消t2,将会由现两个关于t2的二次方程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基来历根基则确定的所有可设的参数中，选择与动点坐标关连紧密亲密的为参数.这就是选参的一般依据，而且选参不要求唯一，多个参之间纷歧定独立.例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来讲，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式停止整体消参.最后来讨论纯粹性和完备性.同例1纷歧样，显然x、y是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有关连，并不是独立，所以x、y范围难求.而用几何直观也比较坚苦，把二者连络起来：示轨迹）.由此可知，讨论轨迹的纯粹

9、性和完备性，可以把几何直观与参数函数相连络.（四）小结（已在讲授过程中逐条总结并板书）参数法求轨迹方程的步调:设参：一切可以节制运动系统的量都可以设参（基来历根基则），从中选择与动点关连紧密亲密的为参数（一般依据）.设参数不要求唯一，多个参数之间纷歧定独立.用参：列式要弃繁就简，n个参数需列n+1个式.消参：视x、y为常数，代人消参，两式作用消参，整体元消参.假含参式（即虽有x、y,但并不是动点坐标）不克不及参与消参.议参：几何直观与参数函数相连络.五、安插作业1.E、F是边长为2的正方形ABCD勺边ADBC中点，长为的轨迹（图3-11）.解：以EF为x轴，EF中点为原点建立直角坐标系，则E（-1,0）,-Tt3-td=i.即x2-y2=1.据M点从A到OA中点及角到O的运动过程，画图可知，轨迹为双2 .点A(1,1),B、C是圆x2+y2=4上的动点，且ABXAC,求BC中点P的轨迹方程(图3-12).解：设B(2cos2,2sin乜)、C(cosB,2sinB)、P(