2020届重庆市第十一中学高三下学期3月线上测试数学(文)试题(解析版)

1、2020届重庆市第十一中学高三下学期3月线上测试试题数学(文)一、单选题1 .已知复数 Z (2 i)(1 i),则 |z| ()A. .、5B.10C. 5D. 10【答案】B【解析】化简得到 z 3 i ,计算复数模得到答案.【详解】z (2 i)(1 i) 3 i ,故 |z 710.故选：B.【点睛】本题考查了复数的化简，复数模，意在考查学生的计算能力2,已知集合A123,4B 0,1,2P A B ,则P的子集共有()A. 2个B. 4个C. 6个D.【解析】计算得到P AI B 1,2,再计算子集个数得到答案集合 A 1,2,3,4B 0,1,2P AI B 1,2 ,故p的子集共

2、有22 4 个.故选：B.本题考查了交集运算,子集，意在考查学生的计算能力r3.设向量a(m,1)(2, 1),且 aA. - 2B.C.D.【解析】直接根据向量垂直计算得到答案向量 a (m,1), b (2, i),且ai r r一则 a b 2m 1 0,故 m故选：C.本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力4.下列说法正确的是()A.截距相等的直线都可以用方程二 丫 1表示a aB.方程x my 2 0 ( m R)能表示平行于x轴的直线C.经过点P(1,1),倾斜角为的直线方程为y 1 tan (x 1)D.经过两点P(x1, y1),P2(X2,y2)的直线方程(y2

3、 y1)(x x1)(x? x1)(y y1)【答案】D【解析】根据直线方程的截距式，一般式，点斜式，两点式方程，依次判断每个选项得到答案.【详解】A当截距为零时不能用方程 - y 1表示，A错误； a aB.方程x my 2 0 (m R)不能表示平行于 x轴的直线，B错误;C倾斜角为 £时不成立，C错误；D.经过两点P(oy1), P2(x2,y2)的直线方程(y2 y1)(x x1) (x2 x1)(y y1) 0,代入验证知 D正确；故选：D.【点睛】x R, x2x 1 0,则下列命题中本题考查了直线方程，意在考查学生的推断能力5.已知命题P ： x R , x2 x3 ；

4、命题q：为真命题的是()a. p qb. ( p) qc. p ( q)d. ( p) ( q)【答案】A【解析】判断p为真命题，q为真命题，再判断复合命题的真假得到答案【详解】命题p ： x R , x2 x3,取x 2 ,满足不等式，故 p为真命题；1 2 3命题q： x R, x x 1 x 0,故q为真命题；24故p q为真命题,(P) q为假命题,P ( q)为假命题，(P) ( q)为假命题.【点睛】本题考查了命题的真假，复合命题的真假判断，意在考查学生的计算能力和推断能力6.已知偶函数f (x)满足f (x)2x0),则x f (x 1) 1 ()A. x |x0B.x|x0 或

5、 x 2C. x |x2D.x|x1 或 x 1种情况,x 0时,f(x)2x代入计算得到答案当x 0时，xf(x)2x1时,f(x 1)1时,f(x 1)1x 11x 1综上所述：x x|x2 或 x 0.0.2.故选：A.本题考查了根据函数的奇偶性求解析式,解不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.f(x)可以为()7.已知函数f(x)的图象如图所示，则eB.f(x)C. f(x)叫 eD.f (x)|x| xe【解析】根据图像知函数为偶函数，且在0,上单调递减，依次判断每个选项得到答案.根据图像知函数为偶函数，且在0,上单调递减.3x f(x) E ef(x)3x ef x ,奇函

6、数，排除;B.f(x)当 x 0 时，f'(x)1 x ex 1 x exx x 2e ef( x) x x x f x ,偶函数, e exx x1 x e , g' x x e e 0,函数g x单调递减，且g 00,故 f '(x) 0在 0,上恒成立,故f x在0,上单调递减，满足图像;I x IIxlC f(x)曷，f ( x)叫 f x ,偶函数， eex1 xx 0时，f (x) , f'(x)函数先增后减，排除;eeD. f(x) xe|x|, f( x)xe|x|f x ,奇函数，排除； 故选：B.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数解析式，

7、根据图像确定函数的单调性和奇偶性是解题 的关键.8 .为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量 y（ mjm3）与时间t（卜）成正比（0 t 1）；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y （1）ta（a为常数，t3），据测定，当空 42气中每立方米的含药量降低到0.5（ mg/m3）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前（）分钟进行消毒工作A. 30B. 40C. 60D. 90【解析】计算函数解析式，取1 t !1，一f t (-) 2 ,计算得到答案【详解】根据图像：函数过点;,12x,0 t1 t 2(4)

8、 2，t12121小时 60分钟.1当t 时，取f t 2故选：C.本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力45，点M是PC9 .四棱锥P ABCD的底面是正方形，且各侧棱与底面所成角均为的中点,则异面直线 AM与CD所成角的余弦值为（）a. 35c.410D. 3J10P在平面ABCD的投影为 ABCD的中心。，故 PACPCA 45连接MN , AN , AMN或其补角为异面直线 AM与CD所成角,根据余弦定理计算得到答案如图所示：P在平面ABCD的投影为ABCD的中心O,故 PAC PCA45 .取PD中点N ,连接MN , AN ,易知MN /CD ,故 AMN或其补

9、角为异面直线 AM与CD所成角.设正方形ABCD边长为1,则PA PB PC PD 1,1 一 1AMN 中：MN CD 一22ANAP2 PN2AM ' AP2根据余弦定理:AM 2 cos AMNMN 2 AN22AM MN3,510故选：D.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力10 .已知函数f(x) J2sin x和g(x) ，2cos x (0)图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到y g(x)的图象，只需把y f (x)的图象()A.向左平移1个单位B.向左平移一个单位2C.向右平移1个单位【答案】AD.向右

10、平移一个单位2【解析】如图所示，计算kf (x) g(x)得到x ,k Z ,取靠近原点的三个交4点，A 3-, 1 , B ,1 , C - 4441 ,得到5-且一2- 4 ,故 一，442根据平移法则得到答案【详解】如图所示:f (x) x 2 sin x g(x)& cos x ,故 tan x 1 ,kx ,k Z.4335,取靠近原点的三个交点，A ，1,B ，1,C ,1444ABC为等腰直角三角形，故 5- 3- 2 4,故44、2cosx 、-2 sin2故 f(x) .2 sin - x , g(x)2故为了得到y g(x)的图象，只需把 y f(x)的图象向左平移

11、1个单位本题考查了三角函数图像， 三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用211.已知E, F2是双曲线C :、 a1 a 0的两个焦点，过点Fi且垂直于x轴的直线与C相交于A, B两点，若ABJ2,则 ABF2的内切圆的半径为（C.【解析】设左焦点3F1的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程,左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割三角形的面积之和可得内切圆的半径由双曲线的方程可设左焦点Fi(c,0）,由题意可得 AB2所以双曲线的方程为：2所以 Fi（ ,3,0）, F2（-3,0）所以SVABF21一AB F1F2 2、6三角形

12、ABF的周长为C AB AF2 BF2 AB2a AF12a BF14a 2AB 4 2 2 2 6-2 11-设内切圆的半径为 r,所以三角形的面积 S - C r -6.2 r 3、, 2r,22故选：B【点睛】内切圆的半径与三角本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法, 形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题1 o 1,.B(X2,g(X2)处的切线重12 .已知函数 f(x) -x x a 1 (x 0), g(x) 1n 42若f (x)的图象在点A(xi, f (xi)处的切线与g(x)的图象在点合，则a的取值范围是(A. ( 11n2,)B.

13、 (1n2,)C. ( 1ln2,)D. ( ln 2,求导得到切线方程,根据切线重合得到1a x14ln12x11x10求导得到函数的单调性，得到范围1 f (x) x41-x2f'(x)1-x2故切线方程为:12 x11 24X112x11;g(x)1nx，故g'(x) 1,切线方程为:X2x2ln x2；1故二x1212x11Zx112x1x2化简整理得到:1 4x1ln12x1 x120,ln x2 ，设 g x 1x4lng'故 a ln2.故函数在1,0上单调递减，故g 0 ln2,当x 1时，g x故选：B【点睛】本题考查了函数的切线方程，利用导数求范围，

14、意在考查学生的计算能力，转化能力和 综合应用能力.二、填空题13 .已知函数y f(x)的图象与y 2x的图象关于直线x 1对称，则f(4) .-1【答案】-4【解析】直接利用对称性计算得到答案.【详解】函数y f(x)的图象与y g x 2x的图象关于直线x 1对称，故,1f (4) g 2-.4,1故答案为：1.4【点睛】本题考查了函数的对称性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用1 x 3,一14.设x, y满足约束条件, 则z x 2y的最小值为.0 x y 2,【答案】1【解析】先根据条件画出可行域，设 z x 2y ,再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线

15、z x 2y,取得截距的最小值，从而得到z最小值即可.【详解】由约束条件得到如图可行域，11 1由目标函数z x 2y得至|J y x z； 22当直线经过 A时，直线在y轴的截距最大，使得 z最小，x 1由得到A(1,1),x y 2所以z的最小值为12 11 ;故答案为：1 .【点睛】本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性， 用几何方法处理代数问题， 体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定.15 .羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成，某班级从3名男生A1, A2,A3和3名女生B1，B2, B3中各随机选出一名组成一队参赛，则A1和B

16、1两人组成一队参加比赛的概率为.【答案】19【解析】列出所有情况共有 9种，满足条件的有1种，得到概率.【详解】根据题意共有：A,B1 , A,B2 , A,B3 , A2,B , A2,B2 , A2,B3 , AB , A3, B2 , A3,& 9种1情况，满足条件的有A,B1 1种，故p -.9,1故答案为：1.9【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力、一 一一4 一116 记Sn为数列a的前n项和，若2Sn an 2口,则 a3a4数列an 2an的前n项和Tn 【答案】2n【解析】（1）根据Sn与an的关系即可推导出an 1 a0(2)由(1)知

17、 an 1an1-n,利用上式可信 an 22n1 人一，“二，令n 3即可求解；2 n1an 产，由等比数列求和公式即可求解Q2Sn an2n 12Sn 112n两式相减可得：2an 1 an 1即 an 1an所以a3a4由 an 1an12n，11238，2可得an 2两式相减可得：an 2 anan 112n 112n 1，112n2n 11 3一an 2 an是以一为首项,41 ,一为公比的等比数列, 2故答案为:2n2n本题主要考查了数列的递推关系,Sn与an的关系，等比数列的求和公式，属于较难题三、解答题17.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了 20

18、0个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm,得到如下的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，求这 200个零件尺寸的中位数(结果精确到0.01 );(2)已知尺寸在63.0,64.5)上的零件为一等品，否则为二等品.将这200个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取 1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的 概率.【答案】(1) 63.44; (2) 0.2【解析】(1)确定中位数在 63.0: 63.5之间，设中位数为t,则2 t 63 0.40 0.05 0.10 0.50,计算得到答案1 p20.202设中位数为t0.8,得到概率.0.10, P3 1 0.80 0.4

19、0.2，则2 t 63 0.40 0.05 0.10 0.500.4 0.3 0.1 0.8,0.2.意在考查学生的计算能力和应用能(2)尺寸在63.0,64.5)上的零件的频率为【详解】(1) P1 1 0.10 0.05, 2故中位数在63.0: 63.5之间，解得 t 63.4375 63.44.(2)尺寸在63.0,64.5)上的零件的频率为：故抽取的零件是二等品的概率为p 1 0.8【点睛】本题考查了频率分布直方图，中位数，概率的计算, 力.18 .已知 a,b, c分别是 ABC 内角 A, B,C 的对边，sin2 a sin C(sin A sin C) sin2 B .(2)

20、若 b 7,ABC的面积为 应3 ,求 ABC的周长.(1)求sin B的值;【答案】(1) sin B ; (2) 15 2【解析】（1）根据正弦定理得到 a2 ac c22、 一b ,再利用余弦定理得到答案（2）根据面积公式得到 ac 15,化简得到a【详解】，一、2_2 _(1) sin A sinC(sinA sinC) sin B,2ac cb2 ，222根据余弦定理知：cos B a一c一-2ac0,，故 sin B(2) S 1acsin B 15-，故 ac 1524ac故a c 8,故周长为15.本题考查了正弦定理， 余弦定理，面积公式, 意在考查学生的计算能力和综合应用能力

21、19 .如图，三棱锥P ABC中，PA PCAB BC , APC 60 , ABC 90 ,（2）求点C点平面PAB的距离.【答案】（1）证明见解析；（2） R427【解析】（1）取AC中点D ,连接PDBD ,根据AC PD , AC BD得到答案.(2)证明PD平面ABC ,故VP ABC2 6 一2-6 ,根据等体积法计算3VC ABPVP ABC-6，计算得到答案.3【详解】(1)取AC中点D ,连接PD , BD , PAPC , ABBC , AC 中点 D.故 AC PD , AC BD ， PDBD D ,故 AC 平面 PBD ,PB 平面 PBD,故 AC PB.(2)A

22、C 242，故 PA PC2应，BA BC故 PB2 PD2 BD2,即 PD BD ,又 PDAC , ACI BD D ,故PD 平面ABC ,故vp ABCIsabc PD 1 26".333ABP 中，AP 2无，AB 2，pb.PD2 BD272 62>/2，故 SABP 1 AB JPABJ7,11-设点C点平面PAB的距离为h ,则VC ABP - S ABP h J7h VP ABC33故h ” 7【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力20.设函数 f(x) ex ax 1 (a R).(1)若a 2,求函数f (x)在区间0

23、,2上的最大值和最小值；(2)当x 0时，f (x) 0,求a的取值范围.【答案】(1)最大值为e2 5,最小值为1 21n2 ;a ,0【解析】(1)求导得到函数在0,ln2上单调递减，在ln2,2上单调递增，计算得到最值.(2)讨论a 0和a 0两种情况，分别计算函数单调T得到最小值，得到证明.【详解】(1) f (x) ex 2x 1 ,取 f '(x) ex 2 0 ,即 x In 2 ,函数在0,ln 2上单调递减，在 ln2,2上单调递增，且 f (0) 0, f 2e2 5, f ln2 121n 2,2.故函数的最大值为 f 2 e 5,最小值为f ln2 121n 2

24、.(2) f (x) ex ax 1, f'(x) ex a , f (0) 0.当a 0时，f '(x) ex a 0 ,函数单调递增，故f(x) f 00 ,成立；当 a 0 时，f'(x) ex a 0,即 x ln a,故函数在 0,lna上单调递减，在 lna, 上单调递增，故f ln a f 00 ,不成立.综上所述：a 0 ,即a ,0 .【点睛】本题考查了函数的最值，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键1 221 .已知点P是抛物线C：y -x3的顶点，a, B是C上的两个动点，且4uur uuuPA PB 4.(1)判断点D 0, 1是否

25、在直线AB上？说明理由;(2)设点M是4 PAB的外接圆的圆心，求点 M的轨迹方程.21【答案】(1)点D 0, 1在直线AB上，理由见解析(2) x2 - y2【解析】(1)由抛物线的方程可得顶点 P的坐标，设直线 AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积,求出数量积PAgPB ,再由题意PAgPB 4可得直线AB恒过(0, 1),即得D在直线AB上；(2)设A, B的坐标，可得直线 PA, PB的斜率及线段 PA, PB的中点坐标，进而求出线段PA, PB的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M的坐标，由(1)可得M的横纵坐标关于参数 k的表达式，消参数可得 M的轨迹方程.【详

26、解】 点D 0, 1在直线AB上.理由如下，1 2由题意，抛物线C：y x2 3的顶点为P(0, 3)4因为直线与抛物线有 2个交点，所以设直线AB的方程为y kx b, A xI,y1 , B x2,y2 y x 3 zt=r t 2联立 4 得到 x2 4kx 4(3 b) 0, y kx b其中 16k2 16(3 b) 0,xi x24k,x1x24(b 3)x1 x24(b3)一一 ._2_所以 yy2k x1x22b 4k2b ,22yy2k%bkx2b kxx2kbxx?b2224k (b 3) 4k b b12k2 b2unruuu因为 PAx1,y1 3 , PBx2,y2

27、3unr uur所以 PA PB x1x2 y13y2 3xx2 小小 3 % y29_22_2_4(b 3)12k2 b23 4k2 2b 9b2 2b 34,所以 b2 2b 1 (b 1)2 0,解得b 1,经检验，满足，所以直线AB的方程为y kx 1 ,恒过定点D 0,（2）因为点M是 PAB的外接圆的圆心，所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点,设线段PA的中点为F ,线段PB的中点为为因为 P(0, 3),设 A(X1 , y1)B(X2 , V2)所以 f(Z, ), e(丝， 222所以线段PA的中垂线的方程为:y23 k)，kPA2y13y 丁vX1X2因为A在抛物线上，所以y1 31 2Xi42_ X1PA的中垂线的方程为：y 一84(xX1同理可得线段PB的中垂线的方程为:联立两个方程由（1）可得X1所以XMX28324k4XX14XX24k,即点M（k,2k2）,所以即点M的轨迹方程为:2X182X2解得X1X24(b3)2X12X28X y1X1)4XX2yM3(XX1X2(X14XX1X2)3222x1x2 x1x2 8822X1X2 (X1 X2)21xm-yM ,21x -y.2本题考查求直线恒过定点的方程及直三角