第五章 角动量角动量守恒(2011)(1)

1、LrpLrPrmv说明说明LO rPS1. 角动量是矢量，角动量是矢量， 大小大小:2. 为表示是对哪个参考点的为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量角动量，通常将角动量L画画在参考点上。在参考点上。方向：方向：r ,v决定的平面决定的平面LrpmoLrpmrv2mr sinLmrrpvvmroRrA任意时刻任意时刻 t， 有有 212rgt tgmmpv（1） 对对 A 点的角动量点的角动量3102ALrpmt ggRrr（2） 对对 O 点的角动量点的角动量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。确定质点有无角动量，要看位矢

2、是否存在绕参考点的转动。确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。rMrOFFrMFsinrFM FrFrMrFFrtL ddvmrttLddddvvmtrtmrddd)d(0vvmMFrtLMddLtMdd 12d21LLtMtt FrtL dd - - 质点的角动量定理质点的角动量定理合力的冲量矩合力的冲量矩角动量的增量角动量的增量 若对于某一参考点，质点所受合力矩为零，若对于某一参考点，质点所受合力矩为零，则质点对则质点对该参考点该参考点的角动量保持不变的角动量保持不变 - 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律tLMdd常

3、矢量，则若LM 0 ddddLFtPMtMtLddLtMPtFttttdd212100FPML常矢量常矢量21tttFPFd21tttMLMd0Mrf常常矢矢量量 LLrmvsinsinrLrmrmt vsin22rrmt tSm2常量常量1sin2Srr2LStm= =常量常量mvrL行星行星mvr r S sinr L太阳太阳行星行星近近r远远r近v3、行星行星近近地点速度地点速度大大，在，在远远地点速度地点速度小小v远远vvr例例5-1 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为一质量为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动并可在

4、圆环上滑动. 小球开始时静小球开始时静止于圆环上的点止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然后然后从从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球求小球滑到点滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度. 解解 小球受重力和支持力作小球受重力和支持力作用用, 支持力的力矩为零支持力的力矩为零,重力重力矩垂直纸面向里矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理cosmgRM tLmgRddcostLmgRddcosdcosdLm gRt考虑到考虑到2ddLmRmR,tv dcos

5、d32gRmLL得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL iiiiiLLrmiviCi vvviCi rrrCiiirrmviiCmrviCiim r vvCCMrviiiCiim r rm vviiiCCm rMr vvOccriririmCCMrLv轨道iiim rL v自旋0MrmriiciiiCCm rMrL vv自旋轨道LLLCCMrLv轨道iiim rL v自旋 iiLLiiiiiMMrF外外 iiLttL）（dddd ）（内内外外iiiMM iitLdd1m2mimjmirjrjirr jif

6、ijf ijjijijijifrrfrfr ijf jirr 0jiijMM内内外外MM 0)( ijijiiiifrMM内内内内 ddLMt外ddMtL外221121ddtLtLMtLLLL 外1m2mimjmirjrjirr jifijf iiLttL）（dddd iitLddjiijMM ijjijijijifrrfrfr 0jiijMM内内外外MM 0M外iiLL常矢量ddLMt外ddMtL外221121ddtLtLMtLLLL 外tLMd d 外外) (iiimrLv L 时时，外外0 MtLMd d 外外if外0iirf外0外Miifm g外ir角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保

7、持不变角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变, 因而产因而产生了季节变化生了季节变化.北北南南北北南南角动量守恒的现象角动量守恒的现象:mRMO0v0rv解：解：引力场（有心力）引力场（有心力）质点的角动量守恒质点的角动量守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒Rmsrmvvin00RGMmmrGMmm20202121vvsin4sin000vvvRr21200231/RGMvvv212023141sin/RGMv例例5-2 发射一宇宙飞船去考察一发射一宇宙飞船去考察一 质量为质量为 M 、半径、半径为为 R 的行星，当飞船静止于空间距行星中心的行星，当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以

8、时，以速度速度v 0发射一质量为发射一质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面星表面 求求:角及着陆滑行的初速度多大？角及着陆滑行的初速度多大？一、刚体运动的基本形式一、刚体运动的基本形式刚体：刚体：受力时不改变形状和体积的物体受力时不改变形状和体积的物体AA A BB B 用质心代表用质心代表刚体的平动刚体的平动CamF外平动平动刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+dtd dd是矢量，是矢量，方向用右手螺旋法则确定。方向用右手螺旋法则确定。 dxOP rv角坐标：角坐标： ( ) t角位移：角位移： )()(0tt ,

9、,dtd d00zz22)(rrardtdrdtrddtdarntvvv22tnrddrdarrd td td tarr() vvv22)(rrardtdrdtrddtdarvntvv vraat0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100ttFrMdFrFMsin方向如图方向如图FrMsin rFM方向如图方向如图Pz*OMFrdMZFrPO转动平面转动平面/FFM?amF MJ irirzMiOizFiFFioirimiivizriFioiiM= rFoiioiizrF+ rFoiiiiizirF= rF+ rF|izMrFiisinir Fiiziz

10、MMMsinir FiirFiizizMMMsinir FiiiFr TTRMiRTTRMiTTTTOjiijMMjririjdijMjiMijfjifiririOoirimivizriLizL?zizLLvioiiiLrmsiniziLLsin vi oiim r vizi iiLm rsinioirrim质元质元到转轴的垂直距离到转轴的垂直距离viir2()i im r 2()zi iiLmr vo iir viioiiLm r刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量2zi iJm r iiiiamfF zOrifiFi mi i i外力矩外力矩内力矩内力矩 iitra ir两两边边同同乘

11、乘0iiirfsin)(sin2iiiiirmrF 2iirmJ 令令itiiiiiamsinfsinF 2iiiiiiiirmsinrfsinrF )rm(sinrfsinrFiiiiiiii 2MJ 转动惯量转动惯量 2iirmJ 令令 )rm(sinrFiiiii 2转动定律转动定律: :定轴转动的刚体，定轴转动的刚体，其角加速度与其所受的对轴的合外其角加速度与其所受的对轴的合外力矩成正比，与其转动惯量成反比。力矩成正比，与其转动惯量成反比。2.合外力矩、转动惯量和角加速度均合外力矩、转动惯量和角加速度均。amF1. 与与 地位相当，地位相当，m反映质点的平动惯反映质点的平动惯性，性，J

12、反映刚体的转动惯性。反映刚体的转动惯性。MJ 3.对定轴转动，力矩和角加速度只有两个方向，可用对定轴转动，力矩和角加速度只有两个方向，可用哪种握法转动惯量大？哪种握法转动惯量大？三三 、转动惯量、转动惯量 niiirmJ12mrJd2dldm dsdm dVdm 1m 2m 2r1rZ2i iJm rzmlzl/2l/2ROdm220mJR dmmRrmdd20dlJrrz22321d12l /l /Jrrlz231mlrrmrJddd22ml2121mldrr412hR 2ddJrm2dJrm rhrrd22 Rrrh03d2 本例转动惯量本例转动惯量与与h 无关无关。所以，。所以，实心圆柱

13、实心圆柱对中心轴对中心轴的转动惯量也是的转动惯量也是 。221mRJ Ordr2212mJmRR h O 前例中前例中 Jz -相对质心轴的转动惯量，相对质心轴的转动惯量， Jz -相对通过棒端的轴的转动惯量。相对通过棒端的轴的转动惯量。 两轴平行，相距两轴平行，相距L /2，有：，有：222211121243zzLJJmmLmLmL推广推广: 平行轴定理平行轴定理。2mdJJC 故通过质心轴的转动惯量最小故通过质心轴的转动惯量最小平行轴定理平行轴定理dCOmmLzzL/2L/2对于薄板刚体对于薄板刚体, , 薄板刚体对薄板刚体对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量zJ等于对等于对 x 轴的转动惯量

14、轴的转动惯量xJ与对与对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量yJ之和之和yxzJJJ ACCBAzJJJJBz垂直轴定理垂直轴定理转动惯量的叠加转动惯量的叠加dmrxyz yxO mJRGozGR2l231mlJZmJRZG例例:731312.lmmlG 不是质心不是质心CG2GmRJ 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ JM TRm1m2a =?am1gm2gT11m gTm a22Tm gm a1212()m gm gmma1212mmagmmT1T212TTT1T2111m gTm a222Tm gm a12T

15、R T RJaR212JMR121212mmagmmMM.1M2MRrkg241 Mkg52 Mkg10 mm5 . 0 h21121RMJ 22221rMJ mg2T2T1TmaTmg 22122T rTrJ 111T RJ 12aRr2m/s4 a1cos2mglM MJ21cos213mglml3 cos2glC Omglmddtddddtdd3 cos2gl003 cos2gddl 3 singlC Omglm15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199sin14mg1121cos10sinFtgtgF212nal3 sin2g2tla3 cos4g1sinnFmgma2

16、costmgFma3 singlF1F2F3 cos2glrTTmgamJ+J02222ah / t ,a / rh / (rt ) 022()(1)hTrJJrt22thmTmg 220(1)2gtJmrJhI0rh,tm 0roRdrdlfdd2dmr r , ddMm g r 222dm grrR 2mR22022dd3RmgMMrrmgRR ddMm g r 222dm grrR 22 341 23MJMmgRgJmRR , 2002, 20316Rg 2024N 22022dd3RmgMMrrmgRR J)rm(LLiiiii 22iiiiiLmrm r ivzivirim LJ d

17、MJJdt d( J)dLMdtdt 00t0t LLMdtdLJJ MdtdLd(J) 0tt0 JJMdt 00t0t LLMdtdLJJ MdtdLd(J) dMJJdt d( J)dLMdtdt )CJ(L.JL,M dtLdM 00即即常常量量则则中中，若若在在)CJ (L.L,M dtLdM 00即即常常量量则则中中，若若在在0tt0 JJMdt 00LJJ, 常量，000 则时，当,JJM 0dLMM,dtJC 在中，若 tJrmkk2 常量tJ tJ tJ 茹可夫斯基转椅克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施： 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺仪）惯性导航

18、仪（陀螺仪） 角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 1. 构造构造 2.原理原理 3.应用应用 常平架回转仪常平架回转仪 (陀螺仪陀螺仪)0v40lmvl0712vtJtJtLMddd)(dddt)4(12122lmml)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlgtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22已知：已知：两平行圆柱在两平行圆柱在水平面内水平面内转动，转动，求：求：接触且无相对滑动时接触且无相对滑动时20221011 ,Rm;,Rm,? 21 .o1m1R1.o2R2m210 20 o1.o2.1 2 解一：解一：因摩擦力为内力，外力过轴

19、因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，外力矩为零，则：则：J J1 1 + + J J2 2 系统角动量守恒系统角动量守恒 ，以顺时针方向旋转，以顺时针方向旋转为正方向：为正方向：又：又： 3212111RmJ 4212222RmJ 联立联立1 1、2 2、3 3、4 4式求解，对不对？式求解，对不对？ 12211202101 JJJJ 接触点无相对滑动：接触点无相对滑动： 22211RR o1. o21 2 1R2R.o1m1R1.o2R2m210 20 问题：问题：（1 1）式中各角量是否对同轴而言？）式中各角量是否对同轴而言？ （2 2）J J1 1 + +J J2 2 系统角动量是否

20、守恒？系统角动量是否守恒？0 20 11221 FFMo)(Mo)(为为轴轴为为轴轴系统角动量不守恒！系统角动量不守恒！此解法不对。此解法不对。分别以分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：为研究对象，受力如图：o2F2o1.F1f1f21R2R解二：解二：分别对分别对m1 , m2 用角动量定理列方程（也用角动量定理列方程（也可用转动定律求解）可用转动定律求解）)(22112mmgrmtAB11,rm22,rm122211rr2211 1122 221112211220frm rfrm rfm g() / t() / t)(22112mmgrmt00ABABJJ(JJ ) AABJJJ

21、5-6 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理21ddAAMddAFr有限的角位移，力做的功为有限的角位移，力做的功为元功元功ddAMrdFrdFtcos一、力矩的功一、力矩的功 -力矩的空间积累作用力矩的空间积累作用-力矩的功力矩的功二、力矩的功率二、力矩的功率 MP ddddAMPMtt比较：比较：21ddBAAFrAM 力的功力矩的功力矩的功率力的功率MPvFP三、转动动能三、转动动能 miri质元质元mi 的速率为的速率为: :iirv2221122iii immrv其动能为其动能为: :二、力矩的功率二、力矩的功率22222111111()222Nkkii

22、 ii iiiiEEm rm rJ整个刚体的动能为整个刚体的动能为: :221 JEk 刚体刚体转动转动动能动能平动动能平动动能212kEmv转动动能转动动能221 JEk 比较：比较：212221212121 JJdJMdWddJdtdddJdtdJJM 四、定轴转动的动能定理四、定轴转动的动能定理221122211122ddddM JJJJdtddtdWM dJ dJJ 212221212121 JJdJMdWddJdtdddJdtdJJM 212221212121 JJdJMdWddJdtdddJdtdJJM 2122212121 JJdJWddJdtdddJdtdJJM 2122212

23、12121 JJdJMdWddJdtdddJdtdJJM 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理: :合外力矩作的功等于刚体转合外力矩作的功等于刚体转动动能的增量动动能的增量. . 五、刚体的重力势能五、刚体的重力势能piiEm gyiim yMgMiigym任取一质元其势能为任取一质元其势能为(以以O为参考点）为参考点）pCEMgyOXY miMCCviyCy六、机械能与机械能守恒六、机械能与机械能守恒机械能机械能 = = 势能势能 + + 平动动能平动动能 + + 转动动能转动动能刚体与质点组成的系统，机械能包括：刚体与质点组成的系统，机械能包括：机械能守恒条件：机械能守恒条件：恒量

24、)2121(22JmvmghEc机械能机械能 = = 势能势能+ +平动动能平动动能+ +转动动能转动动能 = = 恒量恒量刚体与质点组刚体与质点组成系统的机械成系统的机械能守恒定律能守恒定律时非保内外0WW解解 (1)杆杆+子弹：竖直位置，外力子弹：竖直位置，外力(轴轴o处的力和重力处的力和重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒： )32(313222lmMllmo 解得解得)43(6mMlmo 例例5-10 匀质杆：长为匀质杆：长为l、质量质量M，可绕水平光滑固定轴可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的

25、子弹以水平速的子弹以水平速度度 o射入杆上的射入杆上的A点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中，a=2l/3, 求求:(1)子弹子弹射入后瞬间杆的角速度射入后瞬间杆的角速度; (2)杆能转过的最大角度杆能转过的最大角度 。oamv 222)32(3121 lmMl )322()32(31 2)32(1cos222lmglMglmMllmo 由此得：由此得：(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：杆在转动过程中显然机械能守恒：2lMg )mMlmo43(6 由前由前221 JEk 转动动能转动动能 cos32-cos2lmglMg 零势面零势面平动动能平动动能221 mEk 32-lmgoamv 区分两类冲

26、击摆区分两类冲击摆（1 1）olmM0v质点质点质点质点柔绳无切向力柔绳无切向力（2 2）0volmMFxFy质点质点 定轴刚体定轴刚体（不能简化为质点）（不能简化为质点） 水平方向：水平方向： Fx =0 ， px 守恒守恒 m v 0 = ( m + M ) v 对对 o 点：点： ， 守恒守恒 m v 0 l = ( m + M ) v l0 ML轴作用力不能忽略，动量不守轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对恒，但对 o o 轴合力矩为零，轴合力矩为零，角动量守恒角动量守恒2201()3mlm lMllvv注意注意00,AAvf v即摩擦力不做功。2220111(2)222cmghmvJm

27、gh ,JmR 式中0,(1)AccvvRvRA0143g ( hh )R043cvRg ( hh )1(sincmafmg)2(212mRJRfc)3(,RaRvccsin32,sin31gamgfc.31,cossin31,costgmgmgmgNf或)(3410hhgR? 例例5-12 已知：已知：匀质细棒匀质细棒 m , 长长 2l ；在光滑水平面内；在光滑水平面内 以以 v 0 平动，与固定支点平动，与固定支点 O 完全非弹性碰撞。完全非弹性碰撞。 求：求：碰后瞬间棒绕碰后瞬间棒绕 O 的的v0clBAl / 2l / 2 Om解：解：碰撞前后碰撞前后AB棒对棒对O的角动量守恒的角动量守恒思考：思考：碰撞前棒对碰撞前棒对O角动量角动量 L=? 碰撞后棒对碰撞后棒对O角动量角动量 =？L 撞前：撞前：自自旋旋轨轨LLL )1(020 lmvL思