全等三角形经典题型——辅助线问题0001

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法（含答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3 .角平分线在三种添辅助线4 .垂直平分线联结线段两端5 .用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构

2、成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。试验。三角形中两中点，连接则成中位线。中线。也可将图对折看，对称以后关角平分线加垂线，三线合一试要证线段倍与半，延长缩短可三角形中有中线，延长中线等二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法： 遇到等腰直角三角形， 正方形时， 或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相

3、等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.以在角平分线上的一点作该角

4、平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点， 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线， 构造一对全等三角形。4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的

5、定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图ABC中，AB=5,AC=3贝U中线AD的取值范围是.解：延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE2ADAB+BE故AD的取值范围是1AD4例2、如图，ABC中，E、F分另U在ABAC上，DEIDF,较BE+CFtEF的大/、.解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法）延长FD至G使F况2EF,连BGEG,显然B况FC,在4EFG中，注意到DEIDF,由等腰三角形的三线合一知EG=EF在BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFAC,/1=/2,

6、P为AD上任意一点，求证；AB-ACPB-PC解：（补短法）延长AC至F,使AF=AB,连PDAB国AAFF3（SAS故BP=PF由三角形性质知P-POPF-PC巳.解：（镜面反射法）延长BA至F,使AF=AC连FEAD为ABC的角平分线，MNLAD知/FA&/CAE故有FAACAE（SAS故EF=CE在BEF中有：BE+EFBF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+ACPBC=例2如图，在ABC的边上取两点DE,且BD=CE求证：AB+ACAD+AE.证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.vBD=CE,DM=EM,.,

7、.DMNAEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,WJBN+BPPN,DP+PAAD,相力口得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,.AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中，/B=60,ABC的角平分线AD,CE相交于点证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）/B=60AD,CE 均为角平分线,WJ/OAC+/OCA=60S=ZAOE=ZCOD;/AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO;/OAE=/OAF.则，OAE0AOAF(SAS),OE=O

8、F;AE=AF;/AOF=/AOE=60 度.则/COF=/AOC-/AOF=60 度=/COD;又 CO=CO;/OCD=/OCF.故，OCD0AOCF(SAS),O,求证：OE=ODDC+AE=AC贝叱 BAC+ZBCA=120 度;OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC中，AD平分/BACD(UBC且平分BCDEXAB于E,DFLAC于F.(1)说明BE=CF勺理由；(2)如果AB=a,AC力，求AEBE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD,DC由于AD平分/BACDELAB于E,DFAC于F,故有ED=DF故REDBERT-ADFC(H

9、L.)故有B已CRAB+A及2AEAE=(a+b)/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OPOP 是/MONMON 勺平分线，请你利用该图形画一对以 OPOP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解DG8直平分BC,故BD=DCAEGCBD/1=N2,AF为公共边,: :/ /3 3=/=/4 4 及 FCFC 为公共边答下列问题:（1）如图，在ABCABC 中，/ACAC 匾直角，/B B=60, ,ADCWUADCWU 是/BAC/BCA/BAC/BCA 勺平分线，ADCEADCE 相交于点 F F。请你判断并写出FEFE 与 FDFD 之间的数量关系;（2）如

10、图，在ABCABC 中，如果/ACBACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，在（1）中所得结论中仍然成立？若成就请证明；若不成立，请说明理由。E匚 pFDpFD解：（1）FEFE 防 FDFD 次词的我量关系为图西E=FCA=FCA（第23题图）图答:（1）中的结论FE=FD仍然成立。证法一:如图 1,1,在 ACAC 上截取AG=AE,连结 FGFG.AFE=.AFG,FE=FGCFG三CFD.FG=FD一FE=FD证法二：如图2,过点 F F 分别作FG_LAB于点 G GFH_LBC于点 H H/GEF/HDF可证EGF三.DHF=FE=FD五、旋转例1正方形ABC前，E为BC

11、上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/EAF的度数.证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形ABGWJGE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE,AF=AG,又一.HDF=.B.1所以三角形 AEF 全等于 AEG所以/EAF=/GAE=/BAE+/GAB=/BAE+/DAF又/EAF+/BAE+/DAF=90所以/EAF=45 度例2D为等腰 RtAABC 斜边AB的中点，DMLDN,DM,D的另交BC,CA于点E,F0(1)当/MDN 绕点D转动时，求证DE=DF(2)若AB=2,求四边形DECF勺面积。解：(计算数值法)(1)连接DCD为等腰 Rt

12、AABC 斜边AB的中点，故有CDLARCADACD平分/BCA=90,/EC氏/DC45由于DM!DN,有/EDN=90由于CDLAB,有/CDA=90从而/CDE=/FDA=故有CD珞MDF(ASA故有DE=DFSAABC=2,S四DEC=SAACt=1例3如图，AABC 是边长为3的等边三角形，ABDC 是等腰三角形，且/BDC=120,以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN则 AAMN 的周长为;解：(图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CE=BM.ABC为等边三角形，BCD为等腰三

13、角形，且/BDC=120,/MBD=/MBC+/DBC=60+30=90,ZDCE=180-ZACD=180-ZABD=90,又BM=CE,BD=CD,CDEABDM,./CDE=/BDM,DE=DM,/NDE=/NDC+/CDE=/NDC+/BDM=/BDC-/MDN=120-60=60,.在DMN和DEN中，DM=DEMDN=/EDN=60DN=DN.DMNDEN,.MN=NE 在DMA和DEF中，DM=DE/MDA=60-/MDB=60-/CDEWEDF(/CDE=/BDM)/DAM=/DFE=30.DMNDEN(AAS),MA=FE AMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF

14、=AF=6应用：1、已知四边形 ABCD 中，AB_LAD,BC-LCD,AB=BC,/ABC=120,/MBN=60,/MBN 绕B点旋转，它的两边分别交 AD,DC(或它们的延长线)于 E,F.当 ZMBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时(如图 1),易证 AE+CF=EF.当/MBN 绕 B 点旋转到 AErCF 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE,CF,EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.-I-I-I解：（1）AB1AD,BC_LCD,AB=BC,AE=CF11n.MBEACBF（SASSAS；./AB窜BEBF（

15、图 2 2）（图 3 3） 4ABE=NCBF,BE=BF,/.ABC=120,.MBN=60/ABE=ZCBF=300MEF为等边三角形1-.BE=EF=BF,CF=AE=BE2AECF=BE=EF(2)图2成立，图3不成立。证明图 2,2,延长 DCDC 至点 K,K,使CK=AE,连接 BKBK则BAE三.：BCK二BE=BK,/ABE=/KBC.FBE=60,.ABC=120.FBC.ABE=60.FBC.KBC=60.KBF=/FBE=60KBF三:EBFKF=EF/.KCCF二EF即AECF=EF图3不成立，AECFEFAECFEF 的关系是AECF=EF2、(西城09年一模)已知

16、:PA=V2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图，当/APB=45时，求AB及PD的长；(2)当/APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应/APB的大小.分析：(1)作辅助线,过点A作AE_LPB于点E,在RtAPAE中,已知NAPE,APAP 的值， 根据三角函数可将 AEPEAEPE 的值求出，由 PBPB 的值，可求 BEBE 的值，在RtAABE中，根据勾股定理可将 ABAB 的值求出；求 PDPD 的值有两种解法，解法一：可将牛AD绕点 A A 顺时针旋转90得到APAB,可得iPAD三APAB,求 PDPD 长即为求PB的

17、长，在RtMPP,中，可将PP的值求出，在RtAPP,B中，根据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点 P P 作 A AB B的平行线，与 DADA 的延长线交于 F,F,交 PBPB 于 G,G,在RtMEG中，可求出 AGEGAGEG 的长，进而可知PGPG 的值，在RtAPFG中，可求出 PF,PF,在RtAPDF中，根据勾股定理可将 PDPD 的值求出；(2)将MAD绕点 A A 顺时针旋转90%得到iPAB,PDPD 的最大值即为PB的最大值，故当P P，P P、B三点共线时，PB取得最大值，根据PB=PP，+PB可求PB的最大值，止匕时/APB=180J/APP，=135解：(1

18、)如图，作AE_LPB于点 E EDRtAPAE中，NAPB=459，PA=收A=12PEB;PB=4/.BE=PB-PE=3在RtMBE中,NAEB=90s-AB=.AE2BE2=.10解法一：如图，因为四边形 ABCABC 朋正方形，可将将APAD绕点 A A 顺时针旋转90口得至ljARAB,可得APAD三ARAB,PD=PB,PA=PACP丁.PAP90/APP45/PPB=90APP=2,PA=2.PD=Pb=，PP，+PB2=J22+42=2芯;-AE=PE=2解法二：如图，过点 P P 作 ABAB 的平行线，与 DADA 的延长线交于 F,F,设 DADA 的延长线交 PBPB

19、 于 G G在RtMEG中，可得AG=AE=AE=-10,EG=-,cos.EAGcos.ABE3DPG=PEEG=-3在RtAPFG中，可得PF=PGcosNFPG=PGcos/ABE=00,FG0A5G15PFEB在RtAPDF中，可得(2)如图所示，将3PAD绕点 A A 顺时针旋转90口，得到APAB,PDPD 的最大值，即为PB的最大值始PB中，PRYPP/PB,PPr=2PA=2,PB=4且 P P、D D 两点落在直线AB的两侧.二当PP P、B B 三点共线时，PB取得最大值(如图)止匕时PB=PP%PB=6,即PB的最大值为6止匕时.APB=180APP=1353、 在等边

20、MBC 的两边ARAC所在直线上分别有两点MN,D为 ABC 外一点， 且/MDN=60：/BDC=120：BD=DC.探究：当MN分别在直线ABAC上移动时，BMNCMNi间的数量关系及 MMN 的周长Q与等边 MBC 的周长L的关系.图1图2图3(I)如图1,当点MN边ARAC上，且DM=DNt,BMNCMN之间的数量关系是；此时Q=;L(II)如图2,点MN边ARAC上， 且当DMDN时， 猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III)如图3,当MN分别在边ABCA的延长线上时，若AN=x,则Q=(用x、L表示).分 析 ：(1)如 果DM=DN,ZDMN=/DNM,

21、因 为BD=DC,那 么ZDBC=ZDCB=30s,也 就 有ZMBD=ZNCD=60+30s=90,直角三角形 MBDNCMBDNC 珅，因为BD=DC,DM=DN，根据 HLHL 定理，两三角形全等。那么BM=NC,NBMD=NDNC=60,三角形 NCDtNCDt3 3, ,NNDC=30。，DN=2NC,在三角形 DNDNM M中，DM=DN,/MDN=60电，因此三角形 DMNDMN 是个等边三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM,三角形 AMNAMN 勺周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB,三角形 ABCABC 的周长L=3AB,因止匕Q:L=2

22、:3.(2)(2)如果DM#DN,我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长 ACAC 至 E,E,使CE=BM,连接 DEDE(1)(1)中我们已经得出，ZMBD=ZNCD=90,那么三角形 MB/MB/口 ECEC 并，有了一组直角，MB=CE,BD=DC,因此两三角形全等，那么DM=DE,ZBDM=NCDE,/EDN=/BDC-ZMDN=60。.三角形 MDNFMDNF 口 EDN4EDN43 3, ,有DM=DE,/EDN=/MDN=60)有一条公共边，因此两三角形全等，MN=NE,至止匕我们把 BMBM 专换成了 CE,CE,把 MNMN 专换成了 NENE 因为NE=CN+CE

23、,因此MN=BM+CN.Q Q 与 L L 的关系的求法同(1),1),得出的结果是一样的（3 3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2 2）过D D 作/CDH=/MDB,三角形 BDMBDM 和 CDHCDH 中，由（1 1）中已经得出的ZDCH=/MB=90口，我们做的角ZBDM=ZCDH,BD=CD,因止匕两三角形全等（ASA.ASA.那么BM=CH,DM=DH,三角形 MDMD 厢 NDhfr,NDhfr,已知的条件有MD=DH,一条公共边 ND,ND,要想证得两三角形全等就需要知道ZMDN=/HDN,因为/CDHZMDB,因止匕/MD隹/BDC120,因为ZMDN=

24、60%那么ZNDH=120-60=60工因止匕NMDN=NNDH,这样就构成了两三角形全等的条件.三角形 MDNMDN和 DNHDNH 就全等了.那么NM=NH=AN+ACBM，三角形 AMNAMN 的周长Q=ANAMMN=ANABBMAN+AC-BM=2AN+2AB.因为AN=x,AB=1L,因此三角形 AMNAMN 的周长32Q=2x+L.3解：（1）如图 1,BMNCMN11,BMNCMN1 间的数量关系：BM+NC=MN；此时9=2.L3（2 2）猜想：结论仍然成立.A证明：如图 2,2,延长 ACAC 至 E,E,使CE=BM,连接 DEDEMNBC;BD=CD,且NBDC=120D

25、图1ZDBCZDCB=30又伙BC是等边三角形.MBD=/NCD=90在dMBD与庄CD中，WBD三iECD(SAS(SASDM=DE,ZBDM=/CDE.EDN=.BDCf/MDN=60在iMDN与AEDN中WDN三AEDN(SAS(SAS-MN=NE=NCBM故MMN的周长Q=AM+AN+MN=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边MBC的周长L=3AB.Q2AB2L3AB3(3)(3)如图 3,3,当 MNMN 分别在 ABCAABCA 勺延长线上时，若AN=x，则Q=2X+L3(用 x x、L L 表示).点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根

26、据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形NBMD图2CEABMD图3HCAPPAPP【全等三角形经典题型】4.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图1所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块第4题图23. （8分）已知，在 MBC 中，/ACB=90,AC=BC,点D是AB边上的中点，点E在AC边上，点F在BC边上，且 AE=CF。试探究 DE、DF 两条线段之间的关系，并说明理由。第23题图24.

27、 （8分）用两个全等的等边三角形 AABC 和 MCD 拼成四边形 ABCD,把一个含60口角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60口角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB、AC 重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别于四边形的两边 BC、CD 相较于点 E、F 时（如图 a）,通过观察或测量 BE、CF 的长度，你能得出什么结论？并说明理由。（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边 BC、CD 的延长线相较于点E、F 时（如图 b）,你在（1）中得到的结论还成立吗？并说明理由25. （10分）（1）如图（1）,正方形 ABCD 中，E为边CD上一点，连接AE,过点A

28、作 AFXAE 交CB的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系为。（说明理由）（2）如图（2）在（1）的条件下，连接AC,过点 A 作 AMLAC 交CB的延长线于 M,观察并猜想CE与 MF 的数量关系。（不必说明理由）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中/A=/B=90,AB=AD。王师傅想切下一刀后把它拼成正方形。请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼得示意图。王师傅现在有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图：若不能，简要证明理由。20、（本题满分6分）如图，线段AB经过线段CD的中点E,且AC=AD.求证：BC=BD25、（本题满分10分）如图，AACB和ADCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90，点A、D、E在同一条直线上，CM为DCE中边上的高，连接BE.（1）求上 AEB 的度数（2）猜想线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由.26、（本题满分10分）在等腰直角三角形ABC中，/BAC=90AB=AC