第四章第2讲平面向量基本定理及坐标表示

1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示厂葫回旷菽雨知识梳理1. 平面向量基本定理a,有且如果ee2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量只有一对实数入，入2,使a=Xiei+力e2.-:其中，不共线的向量e1>e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a=(xi,y”，b=(x2,y2),贝Ua+b=(xi+X2,%+迪,ab=(xiX2,yi-yj),入a=(入x,_入yj,|a|=x辨明三个易误点(i) 注意能作为基底的两个向量必须是不共线的.注意运用两个向量a,b共线坐标表示的充要条件应为xiy2X

2、2yi=0.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小的信息.有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.做一做已知ei,e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是()A.a=0,b=ei+eB. a=3ei+3e2,b=ei+e：C. a=ei2e2,b=ei+eD. a=ei2e2,b=2ei4e答案：C已知向量a=(i,m),b=(m,2),若a/b,则实数m等于()+yi.(2) 向量坐标的求法： 若向量的

3、起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设A(xi,yi),B(X2,y2),则AB=(x?y?yj,|AB|=(x2Xi)2+(y2yi)2.3. 平面向量共线的坐标表示设a=(xi,yi),b=(X2,y2),其中0,a/b?xiy2x2yi=0.做一做i 若向量BA=(2,3),CA=(4,7)，则BC=()A.(2,4)B.(2,4)C.(6,i0)D.(6,i0)答案：A(8、3,32. 已知a=(5,2),b=(4,3)，若a2b+3c=0,贝Uc等于(4、3，3A.8答案：DB.'2D.0A.：2C.'2或'2答案：C考点一平面向量基本定理及其应用&#

4、163;!3>如图，以向量OA=a,OB=b为邻边作？OADB,BM=33b表示OM,ON,MN.解/BA=OAOB=ab,f1f11BM=zBA=zaZb,666fff15'OM=OB+BM=a+b.66->OD=a+b,ff1f1f1fON=OC+-CD=-OD+OD3262 f22=3OD=3a+3b，'MN=ONOM=3a+3b6a|b=利用两向量共线求参数；a1b.3 36626综上，OM=ga+5b,ON=2a+2b,663326规律方法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1) 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算

5、来解决.(2) 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.1.设e1、e2是平面内一组基向量，且a=&+2e2,b=e1+e2,则向量e+e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1+e2=a+b.解析：由题意，设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=e1+e2,所以e1+e2=m©+2e2)+n(e1+e2)=(mn)e1+(2m+n)e2.mn=1,由平面向量基本定理，得2m+n=1,_2m=3，1n=3.所以答案：考点二平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题

6、或填空题的形式出现，难度较小，属容易题.高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：1利用两向量共线的条件求向量坐标；三点共线问题.考点二_平面向量的坐标运算33已知A(2,4),B(3,-1),C(3,4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=2b.(1) 求3a+b3c;(2) 求满足a=mb+nc的实数m,n;(3) 求M、N的坐标及向量MN的坐标.解由已知得a=(5,5),b=(6,3),c=(1,8).(1)3a+b3c=3(5,5)+(6,3)3(1,8)=(1563,15324)=(6,42).(2) /mb+nc=(6m+n,3m+8n),6m+n

7、=5,m=1,n=1.解得|3m+8n=5,(3) 设O为坐标原点，CM=OMOC=3c,QM=3c+OC=(3,24)+(3,4)=(0,20).M(0,20).又/CN=ONOC=2b,ON=2b+0C=(12,6)+(3,4)=(9,2),N(9,2).MN=(9,18).规律方法平面向量坐标运算的技巧(1) 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2) 解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程并注意方程思想的应用.便熬2.已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且若已知有(组)来进行求解,A(1,1),

8、C(2,3),|BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是.x=4,t所以向量OB的坐标是(4,7).解析：由点C是线段AB上一点，|BC|=2|AC|,得BC=2AC设点B为(x,y)，则(2x,2x=2,3y)=2(1,2),即解得3y=4,Ly=7.答案：(4,7)(1)已知向量a=8,1x12X，b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)/(2a+b),则x的值为()C.0(2)已知点A(4,0),D.2B(4,4),C(2,6),贝UAC与OB的交点P的坐标为A.4B.8解析(1)a-2b=8-2x,*x2,2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)/(2a+b),显然2a

9、+b0,故有8-2x,*x2=X(1仔x,x+1),入R,8-2x=X(16+x)1?x=4(x>0).|x2=X(x+1)法一：由O,P,B三点共线，可设OP=xOb=(4人4X，则AP=OP-OA=(4X-4,4X.又AC=OCOA=(2,6),由AP与AC共线，得(4X-4)X6-4XX(-2)=0,解得=3,所以op=|(5b=(3,3)，所以P点的坐标为(3,3).法二：设点P(x,y),则OP=(x,y),因为OB=(4,4)，且Op与OB共线，所以寸=£即x=y.又aP=(x-4,y),AC=(2,6)，且AP与ACC共线,所以(x4)X6yX(2)=0，解得x=

10、y=3,所以P点的坐标为(3,3).答案(1)A(2)(3,3)规律方法(1)向量共线的两种表示形式设a=(X1,y”,b=(x2,y2)，a/b?a=?b(b*0):a/b?*y2X2y1=0,至于使用利用两向量共线的充要条OC=(k+1,k-2)，若A、B、哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，件可以列出方程(组)，求出未知数的值.3. (1)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()1A.k=-2B.k=C.k=1D.k=-1(2

11、) (2015河北唐山模拟)设向量a,b满足|a|=2,5,b=(2,1)，且a与b的方向相反，贝Ua的坐标为.n(3) (2014高考陕西卷)设0v0<,向量a=(sin20,cos0),b=(cos0,1)，若a/b,贝Utan0=.解析：(1)若点A、B、C不能构成三角形，则向量AB,AC共线，Ab=ob-oa=(2,-3)=(k,k+1),1X(k+1)-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-Oa=(k+1,k-2)-(1,2k=0,解得k=1./b=(2,1)，且a与b的方向相反，设a=(2入入)(X0).a|=25,222'4入+入=20,入=4,入=一2.a=

12、(4,2).22(3)因为a/b,所以sin20=cos0,2sinBcos0=cos0.n因为0v0<，所以cos0>0,1得2sin0=cos0,tan0=1答案：(1)C(2)(4,2)(3右卡IB豐4FS1.一.豐畳霽書I名师讲坛素养提升方法思想求向量中的范围、最值问题（解析法）定两个长度平面向M8MSBM们的夹角所示C在以O为圆心的AB上运动若OC=xOA+yOB，其中x,yR，求x+y的最大值.36解以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示,则A(1,0),B2，尹a0丰设/AOC=a，则C(cosa,sincos得sin由OC=xOA+yOB,

13、1a=x2.3；所以x=cosa+_33sina,2.3y=3sina,所以x+y=cosa+.3sin7t7ta=2sina+二,又a0，年,所以当a=时，x+y取得a=2y最大值2.名师点评本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x+y的最大值引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.已知|a|=|b|=2,a丄b,若向量c满足|cab|=2，求|c|的取值范围.解：因为a丄b,不妨令a=(0,2),b=(2,0),c=(x,y)，由|cab|=2，得(x2)22+(

14、y2)=4,|c|可看做(x,y)到原点的距离，而点(x,y)在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上.如图所示，当点(x,y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P时到原点的距离最远，而PO=OA2=2眾一2,P'O=0A+2=2承+2,所以222<|c|<22+2.两輛旷轻松闯关-基础达标1. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB=a,AD=b,则BE=（）11C.a+2bD.a->->->->11解析：选A.BE=BA+AD+DE=a+b+?a=b-?a.2. （2015宁夏质检）如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下

15、列向量组:DCB.D.AD与Ab:DA与BC；CA与DC；Od与OB.其中可作为该平面内其他向量的基底的是（）A.C.解析：选B.AD与AB不共线，CA与DC不共线，而DA与BC共线，OD与OB共线，由平面向量基底的概念知可作为该平面内其他向量的基底.3. 已知向量a=(3,1),b=(0,2).若实数k与向量c满足a+2b=kc,贝Uc可以是()A.(3,1)B.(1,-.3)C.(3,1)D.(1,3)解析：选D.-.a=(3,1),b=(0,2),'a+2b=(.3,3)=,3(1,.3),故向量c可以是(1,3).4. 已知点A(1,3),B(4,1)，则与向量AB同方向的单位

16、向量为()4釣5,5(4站5,534A.5,5B.C.'34、D5,5D.解析：选A.Ab=(41,13)=(3,4),则|AB|=l32+(4)2=5.与AB同方向的单位向量为AB|AB|（2015长春模拟）设向量OA=e1,OB=e2,若e1与e2不共线，且点P在线段AB上,|AP|:|PB|=2，则OP=（）,-4)=5,-£.712A-3ei_3e22,1B-3ei+3e212C3ei+3e221D-3ei_3e2解析：选C.由题意知AP=2PB,AAB=Ap+PB=3PB,OP=OB+BP=OB3AB=OB"(<5bOA)=+3e2.6. 若三点A(

17、1,5),B(a,2),C(2,1)共线，则实数a的值为.解析：AB=(a1,3),AC=(3,4),据题意AB/AC,.4(a1)=3x(3)，即4a=5,5'a=4.5答案：547. 在ABC中，点P在BC上，且bP=2PC，点Q是AC的中点，若PA=(4,3),PQ=(1,5),则EBC=.解析：AQ=PQPA=(3,2),AC=2AQ=(6,4).PC=PA+AC=(2,7),BC=3PC=(6,21).答案：(6,21)8. (2015江模拟)P=a|a=(1,1)+m(1,2),mR,Q=b|b=(1,2)+n(2,3),nR是两个向量集合，则PAQ等于.解析：P中，a=(

18、1+m,1+2m),Q中，b=(1+2n,2+3n).1+m=1+2n,m=12,贝U得|1+2m=2+3n.n=7.此时a=b=(13,23).答案：(13,23)9. 已知a=(1,0),b=(2,1).(1) 当k为何值时，kab与a+2b共线？(2) 若AB=2a+3b,BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值.解：(1)kab=k(1,0)(2,1)=(k2,1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).'kab与a+2b共线,2(k2)(-1)X5=0,1即2k4+5=0,得k=2.法一：/A、B、C三点共线，'AB=?BC,即2a+3b=Xa+mb),

19、(2=入3込，解得m=2.13=m入2法二：Ab=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).A、B、C三点共线，'AB/BC.8m3(2m+1)=0,即2m3=0,3'm=夕10. (2015山东莱芜模拟)如图，已知OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D是将OB分为2:1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E,设OA=a,OB=b.若OE=XA，求实数入的值.解：(1)由题意知，A是BC的中点，且3由平行四边形法则，得Ob+oc=2OA.OC=2OaOb=2ab,DC=OCOD=(2ab)|b=2a5b

20、.如题图，EC/DC.又EC=OCOE=(2ab)X=(2Rab,DC=2a-2入一14-T=5,"=5.3|能九提升1. 若a,B是一组基底，向量y=xa+yx,yR),则称(x,y)为向量丫在基底a,3下的坐标，现已知向量a在基底p=(1,1),q=(2,1)下的坐标为(一2,2)，贝Ua在另一组基底m=(1,1),n=(1,2)下的坐标为()A(2,0)B(0,2)C.(2,0)D(0,2)解析：选D.-.a在基底p,q下的坐标为(2,2),即a=2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(x+y,x+2y),x=0,即y=2.x+y=2,x+2y=4,a在基底m,n下的坐标为

21、(0,2).2. (2014高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0),B(0,.3),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD的取值范围是()A.4,6B.191,'19+1C.23,27D.71,.7+1解析：选D.设D(x,y)，则由|CD|=1,C(3,0)，得(x3)2+y2=1.又-OA+OB+OD=(x1,y+3),.|OA+Ob+OD|=：(x1)2+(y+3)2.-22|OA+OB+OD的几何意义是点P(1,.3)与圆(x3)+y=1上点之间的距离.由|PC|=.7知，|OA+OB+OD|的最大值是1+.7,最小值是.71故选D.3. 设

22、向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a?b=(a1b1,a2b2)，已知向量m=(2,，n=(y,0)，点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点，且满足OQ=m?OP+n(其中O为坐标原点)，则函数y=f(x)的值域是.亠1nn1解析：令Q(c,d),由新的运算可得OQ=m?OP+n=(2x,sinx)+(§,0)=(2x+,?sinX),nC=2x+3，消去x得d=坯芬6),7t1d=2sinx7t11易知y=f(x)的值域是2,2】-11_y=f(x)=?sin(?x-6),11答案：2，1】4.如图所示，A,B,C外的一点D，若OC=mOA+nOB,贝Um+n的取值范围是是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O解析：由题意得，OC=kOD(k<0)，又|k|=呻<1，1<k<0.又TB,A,D三点共线，|OD|QD=QA+(1ROB,mOA+nOB=kOA+k(1为OB,.m=k入n=