系列数学(理)试题金卷10套：【全国市级联考】湖南省益阳市2019届高三9月调研考试理数试题解析(解析版)

1、湖南塔益阳市2017届髙三9月调研考试理数试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.J+i1若z=（a2-1）-（a-1）i为纯虚数，其中a：二R，则等于（）1 +aiA.-iB.iC.1D.1或i【答案】B【解析】'222试题分析：由题意a一仁°，解得a=-1,aiI_（i）=2ij.故选b.a1式01+ai1-i（1i）（1+i）2考点：复数的概念，复数的运算.2设A，B是两个集合，则“卜B=A”是“AB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2、【答案】C【解析】试题分析：对任意xeA?贝Ue又则所以匸衣，充分性得证，若川匚占次!对任意xeAf有从而xeaCB，反之若xeACB，则xeAf此川门£=川,必要性得证，因此应选充分必要条件.故选考点：充分必要条件.3.设a=1.70.3，b=log30.2，c=0.25，则a，b，c的大小关系是（）A.a:b:cb.ba:：cc.c：bad.bc：a【答案】D【解析】试题分析：因为1.70.31，Iog30.2：0，00.25叮，所以acb.故选D.考点：指数函数与对数函数的性质.4.从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这A.B.C.D.【

3、答案】A【解析】31试题分析：这7个点中只有中心到三边中点的距离小于1,所以所求概率为p=1.故C；7选A.考点：古典概型.5.在等差数列a.中，已知a5aio=12，则3a7a()A.12B.18C.24D.30【答案】C【解析】试题分析：公差为力，则徨+砌=碣+钿+码=2q+1坯=1*3口-=3(吗十&£/)+8(/+=2(2o1+13<»=24.SftiiC.考点：等差数列的通项公式.6.已知(ax1)6的二项展开式中含5x3项的系数为，则a的值是()2八111A.B.C.D.2842【答案】C【解析】试题分析:(ax1)6二(1ax)6,含x3的项为C

4、；(ax)3=C；a3x3,所以C；a3=5,a=1.故22选C.考点：二项式定理的应用.n7.三角函数f(x)二Sin(-2x)cos2x的振幅和最小正周期分别是()6A.、2,B.、2，二C.、3，D.3,2 2【答案】D【解析】试题分析:sin2x兀nn3J3f(x)=sin(_2x)cos2x=sin_cos2x-cossin2xcos2x=cos2x66622S*；)，振幅为，周期为工n.故选D.考点：三角函数f(x)=Asin(wx-的性质.【名师点睛】简谐运动的图象对应的函数解析式:f(x)=Asin(wx册(x0,：),A.0,w0为常数).其中物理意义如下：A是振幅，wx-&

5、#169;为相位,©为初2n1相，周期T=，频率为f=wT8.一空间几何体的三视图如图所示,2n则该几何体的体积为(A.4I【答案】B【解析】试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥A-BCDE，如图，则1 1V(12)22故选B.3 2A考点：三视图，体积.【名师点睛】本题考查三视图，棱锥的体积，解题的关键是由三视图还原出原来的几何体，在由三视图还原出原来的几何体的直观图时，因为很多的几何体能够看作是由正方体（或长方体）切割形成的，所以我们能够先画一个正方体（或长方体），在正方体中取点，想图，连线得出直观图，这样画出直观图后，几何体中的线面关系、线段长度明确清晰，有助于快速解题.9.给

6、出一个如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）【解析】试题分析:本题程序框團实质上是a-2:.V<2个分段函数2.v-3:2<.y<5,由题意若F=x符合题意；若2.v-3=.v,则心儿符合題意,若一=厂贝'J-v=±6,其中只有心百符合题意，因此满足题意的有4个.故选取考点：程序框图.10.已知Fi,F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N，若过F,的直线MF,是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）A.,3-1D.【答案】A【解析】试题分析:由题意RM_F2M,|MF?二c,则

7、|MF=2a-c,所以c2(2a-c)2=(2c)2,解得e=*=J3一1.故选a.a考点：椭圆的几何性质.11.设a=2j2-cos2：）,则的取值范围是（）mb=(m,一：;sin二2），其中、:为实数，若B.-6,1C.-1,6D.4,8【答案】B【解析】试题分析：由m得用jcos:a=m+15ina®由得z*-m=cos:a+2sin(X-sin2fi+2sm«+l丄2,二一20/一助兰2,把九=2折一2代入得UrT1rr2乞斗稱'一9炖+斗乞2、所臥仝二二!二=2兰已一6J故选瓦斗mmtn考点：向量的平行.【名师点睛】在变形过程中，因为理解的不同，理解思路

8、的不同，还能够有如下解法:由a¥b得二严A-cosam2sina由得/：.-m=cos亠2sin:-22222-sin二*2sin二期-(sin：-1)2,-2-一m_2，即，一2_m_，2，又1 31m=1，如图，点，m)构成的图形是线段AB，其中A(-,),B(2,2)，而一表示2 24m线段AB上的点与原点连线斜率(与m轴交点斜率不存有除外)的倒数，所以_6：上<1.m12.定义在(0,二)上的函数f(x),f'(x)是它的导函数，且恒有f'(x)fjx)tanx成立.则有()AJ3f(才)<f()B.73f(§)>2cos1f(1)

9、JT7T7TC.2f()：、,6f()D.y2f():f()4 643【答案】A【解析】试題分析：由广(x)>/(x)tan工且工E(0=吕)，则fx)cosx-f(x)sinx>0,设g(x)=f(x)cosxr则gW=/Wcosx-/(x)sin>0,所g(x)在®申上是増的数.所以.肌申“(彳几丽/()cos>/()cos，即/(1)-故选心336636考点：导数与单调性.【名师点睛】对于已知条件是既有f'(X)又有f(x)的不等式，一般要构造一个新函数g(x),使得g'(x)可通过此条件判断正负，从而确定单调性，例如我们常常构造函数g(

10、x)二exf(x),g(x)=丄糾,g(x)=xf(x),g(xf(x)，要根据不等式的形式要确定新函数，如本题exg(x)二f(x)cosx.判断出新函数单调性后，可利用此单调性得出不等关系，从而得出结论.第H卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若过点（0,2）的直线l与圆（x-2）2（y-2）2=1有公共点，则直线I的倾斜角的取值范围是.【答案】oQ【¥，“）【解析】试题分析：设直线1方程八“2，由"O1得一彳*导，当35n:3ntan仁k,0）时，9',n，当tan9=k0时，00,所以倾斜角范3 636围是°Q可山-考点：直

11、线与圆的位置关系，直线的倾斜角.xy-5_014.已知变量x，y满足约束条件彳x2y+1兰0，则z=x十2y的最大值是.x-1_0【答案】9【解析】试题分析：作岀可行域，如图氐内部（含边界人作直线=平移直线匚当它过点出匕斗）时，取得最犬值9.故答案为9.考点：简单的线性规划.15.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n-5an23,nN*，则数列an的通项公式是an=.【答案】3（5）nl1【解析】试题分析：&=n-5an23，当n_2时，Sn-1)-5an23，得5an-1_5an5an1,6an-5an1,6(an_15(anJ1)，即an_1(anJ'1)，又印二Si=

12、1-5厲23,c=4,q-仁3，从而a.-1是等比数列，所以a.-1=3(5)nJ,即an=3（5）nJ1.6考点：数列的通项公式.【名师点睛】已知数列的和Sn与项an的关系f（SLan）=O，求数列的通项公式，一般再写出一个等式：当n_2时，f（Sn4,an）=0，然后两式相减得f（各，已）-f（Sn©）=0，利用an二Sn-Sn（n一2），能够得到数列an的递推公式，再由递推公式变形求通项公式，比较简单的这个递推公式经过简单的变形就可求出通项（如本题），稍微复杂的可能要象刚才一样把递推式再写一次（用n-1代n）后相减，得出简单的关系，从而得出结论.16. 已知三棱锥S-ABC的顶

13、点都在球0的球面上，ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积为.【解析】试题分析：由題意。是比的中点.设“是SBC的中心，则03/_平面遊.OC二写小洋迄倍，即半，X冲叽辰所以十Q乎工考点：棱锥与外接球，棱锥的体积.【名师点睛】在多面体的外接球中，关键问题是找出球心位置这里要用到一个结论，即球S-ABC的球心O的截面的性质：球的截面圆的圆心与球心连线与截面圆垂直.所以三棱锥一定在过ABC的外心且与平面ABC垂直的直线上，在计算时还可用到公式：设球半径为R,截面圆半径为r，球心到截面圆所在平面的距离为d，则Rr2d2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演

14、算步骤.)17. (本小题满分12分)已知ABC是半径为2的圆的内接三角形，内角A,B,C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosBbcosC.(I)求A;(n)若b2c2=18，求=ABC的面积.【答案】(I)AJ；(n)3迢.32【解析】试题分析：(I)已知边角关系，要求角，能够利用正弦定理化“边”为“角”，再由两角和的正弦公式变形即可求得A角；(n)有了角A,又有外接圆半径，同样由正弦定理可求得边a,从而由余弦定理可得b,c的关系式，结合已知条件护十可得比，最后由面积公式S=得三角形面积.试题解析：I)由正弦定理得：=4sin.4,i=4siti5,t：=4smC,.'l

15、acosA=cCQ5cosC.2sin-4*ccsAsinCeosB+win£cosC?2J*cqssin(B+C)'/AB+C=7Tfsin(B+Cj=sinH；2sinA*cosA=且：<A<7Tf."-Hu/hO,2cosJ=1即cos.4=2Q<A<7Tf“m*&分31(n)由cosA得:22由（I）得a二4sinA=2.222222abe2bcosA，二be二bca1812=6,12分SabcJbcsinA6222考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积.18. (本小题满分12分)某班50位学生在2019年中考中的数学成绩的频

16、率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100.(I)求图中x的值；(H)从成绩不低于80分的学生中随机选择2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为，求的数学期望1【答案】(I)X=0.018；(n)2【解析】试题分析：<I)由频率分布直方图所有频率之和为b即所有小柜形面积之不昉1可求得工；(11)经计算知不MT30分的学主有亡人，创分(含汕分)以上的学生有3人，随机娈量g的可能取值有D.1M,分别计息5=0=1.4=2的槪率，由期望公式£=OxP(>=0)-1xP(>=l)+

17、2xP(i=2)可求得数学期望、试題解析：【）由30x0.06H-10x0.01+10x0.054+10x=lJ得=0.018,4分(II>由题青知道：不低于30分的学生有12A,90分(含如分)以上的学生有3人，随机变量名的可能取值有0,1,2;C26P（；P（T）c9d=9；C12、2；12212?6TT9122二E=061921=112分1122222考点：频率分布直方图，随机变量的数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在直二面角E-AB-C中，四边形ABEF是矩形，AB=2，AF=2.3，ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF=3.（I）证明：

18、BF_面PAC；（H）求二面角A-BC-P的余弦值.E【答案】（I）证明见解析;【解析】试题分析：I）要证线面垂直，一般要证两个线线垂盲，观察直角三角形川5尸中，由已知三个线段长，可由射影定理或相佩三角形）由平面几何知识可证.妒_丹尸（也可余弦定理求出再勾股左理证得此结论*）,另外有面面垂直，ZBAC=90°r可得/C与平面腼F垂直从而有母F丄AC,有了这两个线线垂直，就可得绒面垂晝（IDB求二面角，團形中ABtAC.AF两两垂亶，以它们坐标立空闾直角坐标系后，可写出各点坐标，从而可求得平面-迪C和平面円E的法向量，由法向量夹角与二面甬相等（或互补）可求得二面角.考点：线面垂直的判断

19、，二面角.【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角.在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角.当然如果图形中已经有棱的垂面了，二面角的平面角已经出现了，所以直接用定义求二面角即可，没必要再用向量法求解.20. (本小题满分12分)2已知抛物线C:y=4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点P、F2和点F3、P，线段RP2、P3P4的中点分别为M!、M2.(I)求线段RP2的中点Mi的轨迹方程；()求.FM

20、1M2面积的最小值；(川)过M1、M2的直线I是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由【答案】(I)y=2(x-1)(x1)；(n)4；(m)直线I恒过定点(3,0).【解析】试题分析：（I）要求轨迹方程，而且抛物线的弦中点轨迹方程，可设中点J）,弦两端点为耳（可J1）,RgZ,由点.差法得直斜率乩二土，又此斜率为7、两者相等可得轨迹方程；対了（11）的需婪,设目耳方程为y=Jt（x-lXkO）,代入as齡方程后可得x的一元二次方程，从而有吗+兀，那么有独二逬互，即把用k表示，同祥把m也用疋表示，后消去*可得轨迹方稈；（II）在门）的基础上，得入盒坐标，可求得|皿订，把其中的血用-土

21、代替，可得得3妇坐标，匡討，由k弘皿二耳加阳i|猜上的函數可得最小值（HD【）中3<“）的坐标求出直线d的方程（与疋有关），变形后发现其过走点.，同时证明f斗率不存在时也过这个定点.试题解析：（I）由题设条件得焦点坐标为F（1,0）,设直线RP2的方程为y=k（x1）,k工0.y=k(x1)2222联立&2，得k2x22(2+k2)x+k2=0.y=4x.:=-2(2k2)-4k2k2=16(1k2)0.沁12设p(X1，yi)，F2(X2，y2)，则XMt=(xi+x2)=1中一2，2 k212yM1=k(XM11)=，XM1=1yM1.k22+Pk1同理丿=yv.)|FM,|

22、=J(2f)：+(-2k)；=2k,二线段目£的中点Af的轨迹方程为:r=2(x-l)(x>1).(U)由(I>因此J心|阿|皿|彳占+|柳4当且仅当亠弓刘，即=±1时，取到最小值4.8分比|k(川)当时，由(n)知直线I的斜率为：-一2,1-k2所以直线I的方程为：y+2k=(x2k2-1),即yk2+(x3)ky=0,(*)1-k当x=3,y=0时方程(*)对任意的k(k二1)均成立，即直线I过点(3,0).当k=_1时，直线I的方程为：x=3，也过点(3,0).所以直线I恒过定点(3,0)12分考点：求轨迹方程，直线与抛物线相交的综合问题.21. (本小题

23、满分12分)12设函数f(x)xInx-mx(m0).2(I)求f(x)的单调区间；(n)求f(x)的零点个数；(川)证明：曲线y=f(x)没有经过原点的切线【答案】m<：m2_4(I)0：m乞2时，f(x)在(0,=)内单调递增；m2时，x厂21x2=口；_,f（x）在区间（o,xj及（x2：）内单调递增，在（xx2）内单调递减；（n）有且仅有一个零点；（川）证明见解析.【解析】（0,：），再求出导数f'（x），研究试题分析：（I）本小题要求单调区间，可先求定义域为x2-mx1=0的根的情况,从而得出>0或/'（x）<0的解集,得单调区间MII）函数/（x）

24、的霧点个数,可利用（I）的单调ft证明，如S0<«£2时巧在（0L+®内单调递増，最多只有1个零点，如能说明阳有正有负，刚一定有一个零点，当时，f（在（0=画及:2内单调递増，在（心乞）内单调递廊，耳丹是沁+1=0的根，要讨论fgg的正员，从而确走零点个数；（IID用反证不地，假设雌>=/（x）在点（x./（x）（x>0）处的切纟蜒过原点、则有型=fx）f化简得l-lnx+l=（X>0）.x2下面只要证明此方程无解即可，可求函数S工+1的最小值，证得结论.1x2-mx亠1试题解析：（I）f（x）的定义域为（0,：）,f'（x）=X：

25、；1m.xx令f'（x）=0,得X2-mx1=0.当厶二m2-4乞0,即卩0：m空2时，f'（x）一0,f（x）在（0,：）内单调递增.22当厶二m40,即m2时，由xmxT=0解得，m-Vm4m+Vm4小洛,X2，且0人：x?,22在区间（0,xj及（X2,：）内，f'（x）0,在（为必）内，f'（x）:0,f（x）在区间（0,xj及（X2：）内单调递增，在（X1,X2）内单调递减3分（n）由（I）可知，当0：m乞2时，f（x）在（0,：）内单调递增，f（x）最多只有一个零点又tf(x)x(x-2m)Inx，二当0：x：2m且x:1时，f(x)：O;2当x2m

26、且x.1时，f(x).0,故f(x)有且仅有一个零点.当岗"时，-./(x)在(0心)及(心代)内单调递増，在(心可内单调違减,且/u)(；y+由一；_；-皿mJtn24440<=厂<22(w+vw:-4)4/(aj)<0j由此知f(花)</(xL)<07又T当"2壇且el时，/W>0,故/在(Q+巧内有且仅育一个零点.综上所述，当斑>0时00有且仅有一个零負.(川)假设曲线y二f(x)在点(x,f(x)(x0)处的切线经过原点，12)x+lnx_mx1则有一=f'(x)，即=x+_m，xxx1 2化简得：x2-Inx1=0

27、(x0).(*)21 1x2_1记g(x)=x2_lnx+1(xa0)，贝Hg'(x)=x_=，2 xx令g'(x)=0，解得x=1.当0：x：1时，g'(x)：0,当x1时，g'(x)0,3 13二g(1)是g(x)的最小值，即当x0时，一x2TnxV.由此说明方程(*)无解，曲线y二f(x)没有经过原点的切线12分考点：导数与单调性，函数的零点，导数的几何意义.【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程：求定义域t求导数f(x)i求f(x)=O在定义域内的根t用求得的根划分定义区间t确定f(x)在各个开区间内的符号t得相对应开区间上的单调性当f(x)不含

28、参数时，也可通过解不等式f(x)>0(或f(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.2导数的几何意义函数y=f(x)在x=xo处的导数f(xo)的几何意义是曲线y=f(x)在x=xo处的切线的斜率相对应地，切线方程为y-f(Xo)=f(xo)(x-xo).3.零点存有定理：函数f(x)在a,b上有定义，若f(a)f(b)：0，贝Uf(x)在(a,b)上至少有一个零点.请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，

29、BC是半圆O的直径，AD_BC，垂足为D,AB=AF,BF与AD、AO分别交于点E、G.(I)证明：/DAO=-FBC；(n)证明：AE=BE.【答案】证明见解析.【解析】趣分折：(1)要这两个角所在两个三角形中有一个公共角/因此只要证明另两个角相等即可，异外这两个角一个是垂直得直角，一个可由垂径定理证明是直甬，从而得证；(in要证应=BE只要证aMDE,这两个三甬形三对角对应味瞎了，还需要一对边相等艮呵，如证AG=BD,为此可证OD=OG这又可在RtiGE与证得.试题解析：(I)连接FC，OF，点G是BF的中点，0G_BF./BC是0的直径，CF_BF, OG/CF,AOB二FCB, .DAO=90_.AOB,FBC=90_.FCB,乙DAO=FBC5分(n)在RtXOAD与卫山OEG中,由(1)>DADAO=AGBO?T?OAOBfOAD=jOBGf于是0DOG.:.AG=OA-OG=OB-OD=BD.在RtAAGE与RfABD