圆中基本图形及结论

1、圆的证明与计算专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发 挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1.圆中的重要定理：(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮：主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明一一垂直关系.(6)切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理：线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相

2、互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来 互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现，第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算： 求线段长(或面积)；求线段比；求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：(1)若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、 勾股定理证垂直；(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)；直

3、线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化要善 于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：(1)如图，AB是。O的直径，BC±AB, AD/OC交。O于D点，求证：CD为。O 的切线；(2)如图，以Rt ABC的直角边AB为直径作。0,交斜边AC于D,点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是。0的切线.(3)如图，以等腰"BC的一腰为直径作。0,交底边BC于D，交另一腰于F,若DE±AC于E (或E为CF中点)，求证：DE是。0的切线.(4)如图，AB是。0的直径，AE平分/BAF,交。0于点E,过点E作直线ED±A

4、F,交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C,求证：CD是。0的切线.2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识 的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线 段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求 线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：(1)构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段(已知 任意两条线段可求其它所有线段长)；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； 构造勾股定理模型；构造三角函数

5、.(2)方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相 等关系建立方程，解决问题。(3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图 形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间 的数量关系。3、典型基本图型：图形1：如图1： AB是。0的直径，点E、C是。0上的两点，基本结论有：(1)在“AC平分/BAE”； “AD±CD”； "DC是。0的切线”三个论断中，知二推一。(2)如图2、3, DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距0F (或弓形BCE的半弦EF)。图2图1力 ADC。

6、力 ACB = AC2=AD-AB（4）在（1）中的条件、中任选两个条件，当BG ± CD于E时（如图5）,则: DE=GB ， DC=CG ；(3)如图(4)：若CK±AB于K，则：CK=CD ； BK=DE； CK=1 BE=DC；2AD+BG=AB；ADBG=1DG 2 =DC24图形2：如图：Rt力ABC中,于点E,基本结论有:在“BO平分ZCBA" ； “BODE" ； “AB是。O的切线”；“BD=BC"。四个论断中，(1)ZACB=90°0点O是AC上一点，以OC为半径作。O交AC知一推三。二1(2)G 是0BCD 的内

7、心： CG=GD ；力BCO。力CDE=BO<DE=CO*CE=-CE2；(3)在图（1）中的线段BC、(4)如图（3）,若BC=CE,CE、AE、AD中，知二求四。i aE 1一 .一一则：=-=tanZADE；BC： AC： AB=3： 4： 5 ；（在AD 2、中知一推二）设BE、CD交于点H,则BH=2EHDEEFBE 1五一72图形4： 如图，A ABC 中，AB=AC,以AB为直径作。O,交BC于点D,交AC于点F,图形3：如图：Rt A ABC中，/ ABC=90° ,以AB为直径作。O交AC于D,基本结论有:如右图：(1) DE切。OOE是BC的中点；(2)若

8、DE 切。O,则：DE=BE=CE；D、O、B、E 四点共圆n ZCED=2ZA CD-CA=4BE2, DE = CD = BC R BD BA图形特殊化：在(1)的条件下 如图1： DE AB O A ABC、A CDE是等腰直角三角形;如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,则:基本结论有：(1) DE±ACODE W0O；(2)在DE±AC或DE切QO下，有：ADFC是等腰三角形；BFEF=EC；D是的中点。与基本图形1的结论重合。连AD,产生母子三角形。图形5：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有:BO基本结论有:QPQR E

9、PP RBOQE p R(1)如图 1：AD+BC=CD ； N COD =Z AEB=90 °； OD 平分NADC (或 OC 平 分NBCD)；(注：在、及“CD是0O的切线”四个论断中，知一推三)ADBC = 1AB 2=R2 ；4(2)如图2,连AE、CO,则有：COAE， CO AE=2R2(与基本图形2重合)(3)如图 3,若 EF±AB 于 F,交 AC 于 G,则：EG=FG.图形6:如图：直线PR±0O的半径OB于E, PQ切。O于Q, BQ交直线PQ于R。AOIBCD图1D二EC图2CBDOGA(1) PQ=PR (力PQR是等腰三角形);(

10、2)在“PR±OB”、“PQ 切。O”、“PQ=PR” 中，知二推 (3) 2PR-RE=BR-RQ=BE-2R=AB2图形7：如图，力ABC内接于0 O, I为 ABC的内心。基本结论有:(1)如图 1,BD=CD=ID ，DI2 = DEDA;1NAIB=90°+- NACB;(2)如图 2,若NBAC=60°,则：BD+CE=BC.图形8： 已知，AB是0O的直径，C是BG中点，CD±AB于D。BG交CD、AC 于E、F。基本结论有：1(1) CD =-BG ； BE=EF=CE； GF=2DE1(反之，由CD = - BG或BE=EF可得：C是B

11、G中点)1(2) OE=-AF, OE/AC；力ODE。力AGF(3) BE-BG=BD-BA(4)若D是OB的中点，则：力CEF是等边三角形；嬴=££四、范例讲解:例题1: AABP中，ZABP=90°,以AB为直径作。O交AP于C点，弧CF = CB，过C作AF的垂线，垂足为M, MC的延长线交BP于D.(1)求证：CD为。O的切线；EF(2)连BF交AP于E，若BE=6, EF=2,求的值。AF例题2：直角梯形ABCD中，ZBCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.求证：CD为。O的切线;若BEABBF求而的值

12、。例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在。O上，AC/OP。(1)求证：PC为。O的切线。(2)过 D 点作 DE±AB，E 为垂足，连 AD 交 BC 于 G，CG=3，DE=4,DG求DB的值。例题4:如图，已次以ABC中，以边BC为直径的。O与边AB交于点D, 点E为言 的中 BD点，AF为 ABC的角平分线，且AF±EC。(1)求证：AC与。O相切；(2)若 AC=6, BC =8,求 EC 的长五、练习：BD=DE，过D作AE的垂线，1 .如图，Rt ABC,以AB为直径作。O交AC于点D, F为垂足.(1)求证：DF为。O的切线；(2)若DF=3,0O的半

13、径为5,求tan BAC的值.2 .如图，AB为。O的直径，。、D为。O上的两点，AD=DC，过d作直线BC的垂 线交直线AB于点E, F为垂足.(1)求证：EF为。O的切线；(2)若 AC=6，BD=5，求sinE 的值.3 .如图，AB为。O的直径，半径OC±AB, D为AB延长线上一点，过D作。O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.(1)求证:DE=DF；(2)连结 AE，若 OF=1, BF=3,求tan A 的值.4 .如图，RtAABC中，NC=90°, BD平分/ABC,以AB上一点O为圆心过B、D两点作。O,OO交AB于点一点E, EF±AC于

14、点F.(1)求证：。0与AC相切；(2)若 EF=3, BC=4,求 tan /A 的值.5 .如图，等腰 ABC中，AB=AC,以AB为直径作。0交BC于点D, DE±AC于E.(1)求证：DE为。O的切线；(2)若 BC=4<5 , AE=1,求 cos/AEO 的值.6 .如图，BD为。O的直径，A为BC 的中点，AD交BC于点E, F为BC延长线上 一点，且 FD=FE.(1)求证：DF为。O的切线；(2)若 AE=2，DE=% BDF 的面积为8<3，求 tan/EDF 的值.7、如图，AB是。O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F,且NECF=/E.(1)求证：CF是。O的切线；(2)设。O的半径为1,且AC = CE = <3，求AM的长.8、如图，AB是。O的直径，BC±AB，过点C作。O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.(1)求证：AD是。O的切线；(2)设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.9、如图， ABC中，AB=BC,以AB为直径的。O交AC于点D，且CD=BD.(1)求证：BC是。O的切线；(2)已知点M、N分别是AD、CD的