稳定性与能控能观性分解学习教案

1、会计学1稳定性与能控能观性分解稳定性与能控能观性分解(fnji)第一页，共92页。23.1 3.1 关于关于(guny)(guny)系统稳定性系统稳定性3.1.1 大范围稳定与小偏差稳定如前所述 , 线性系统的稳定性 , 是由干扰消失后的自由运动 ( 或瞬态响应 ) 是否收敛来衡量的。从数学模型上看 , 它完全取决于系统特征根 , 与偏离初始平衡态的偏差和输入的形式及大小无关。只要特征根为负根 , 无论初始偏差多大系统都稳定。因此 , 从纯数学角度所讨论(toln)的稳定性 , 被称为大范围稳定或全局稳定。第1页/共92页第二页，共92页。33.1.2 输出稳定与状态稳定经典控制理论的数学模型

2、是对系统的外部描述 , 它用输入作用下系统输出的变化来表征系统运动 , 稳定性所考察的对象是系统输出的变化 ( 自由运动或瞬态响应(xingyng)是否收敛 ) , 这种稳定性被称为输出稳定或外部稳定。3.1.3 系统稳定的充分必要条件前面不止一次提到过 , 线性系统稳定的充分必要条件是 : 系统特征根 ( 闭环极点 ) 全部具有负实部 , 下面对此加以证明。第2页/共92页第三页，共92页。4第3页/共92页第四页，共92页。5由上可见:1) 只要特征根为负根Pi 0 或具有(jyu)负实部 20 时劳斯表计算不能保证舍入误差稳定。我国学者谢绪恺于 1957 年在第一届力学学术会议上报告了一

3、个惊人的发现 :各项系数同号的多项式稳定的一个必要条件为第16页/共92页第十七页，共92页。18第17页/共92页第十八页，共92页。19俄国学者李亚普诺夫 ( Lyapunov) 于 1892 年提出了研究系统稳定性(dng xng)的间接法 ( 第一法 ) 和直接法 ( 第二法 ) , 直接法可以用于线性系统 , 也可以用于非线性系统。3.3.1 李亚普诺夫第一法第一法是针对系统的线性化提出的 , 按系统特征根进行稳定性(dng xng)的定性(dng xng)判断。 该法的主要内容是 : 若线性化系统的系统矩阵 A的特征根 : 1 ) 全部为负实部根 , 则实际系统渐近稳定 , 在线性

4、化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性(dng xng)无影响。即线性化模型渐近稳定 , 线性化前的非线性系统也渐近稳定。3.3 3.3 李亚普诺夫判据李亚普诺夫判据(pn j)(pn j)第18页/共92页第十九页，共92页。202 ) 只要有一个为正实部根 , 则实际系统不稳定 , 在线性化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性无影响。即线性化模型不稳定 , 线性化前的非线性系统也不稳定。3 ) 只要有一个实部为 0 ( 纯虚根 ) , 其余为负实部 , 则在线性化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性有影响 , 不能用线性化模型来判断实际系统的稳定性 , 必须(bx)采用实际系统的非线性模型来判断

5、。第19页/共92页第二十页，共92页。213.3.2 李亚普诺夫第二法第二法不按特征根而按系统能量变化直接获得其稳定性的信息(xnx) , 故称为直接法。( 1 ) 平衡状态与范数.设系统的状态方程一般形式为.第20页/共92页第二十一页，共92页。22第21页/共92页第二十二页，共92页。23(2)状态稳定性的提法设 S() 是一个满足x- xe的球域,平衡态xe是该域中当t = 0时的一个点。设S() 是xe的一个邻域,每对应一个域S(),存在一个域 S(),当 t无限增加时,系统从 S() 出发(chf)的状态轨迹 X(t) 有三种可能:第22页/共92页第二十三页，共92页。241

6、 ) 渐近稳定 不超出 S( ) 并最终收敛于平衡态 xe, 即 t 时有2 ) 在李亚普诺夫意义下稳定 不能达到平衡态 xe, 但对一切(yqi) t 都存在3 ) 不稳定 不能达到平衡态 xe, 且无论 怎样小 , 至少都有一个 t 使得第23页/共92页第二十四页，共92页。25( 3 ) 能量变化与状态稳定性系统的状态变化总是伴随着能量的变化。为了简单说明(shumng)问题 , 设系统的动能和势能分别为第24页/共92页第二十五页，共92页。26第25页/共92页第二十六页，共92页。27( 4 ) 李亚普诺夫稳定性定理把上述概念拓宽 , 设连续纯量函数 V( x) 是系统的广义能量

7、函数 , 又称为(chn wi)李亚普诺夫函数 , 它是正定的 , 即只有在 x = xe = 0 处 V( x) = 0 , 其余 x 0 处 V( x) 0 ; 它具有连续一阶偏导数 ; 它的变化遵循系统的状态方程。于是 , 可根据 V( x) 的正负来判别状态的稳定性。第26页/共92页第二十七页，共92页。28定理: 当选定 x0(即干扰产生偏离平衡状态 xe的初始(ch sh)偏差),V(x) 0 后,1) 如果 V(x) 0,则原平衡状态xe是不稳定的。3) 如果 V(x) 0,但 V(x) 不恒等于0,则原平衡状态 xe是李亚普诺夫意义下稳定的,不过不是渐近稳定的(可以保持一个稳

8、定的等幅振荡状态)。第27页/共92页第二十八页，共92页。293.3.3 线性系统稳定性的直接法李亚普诺夫稳定性定理没有给出正确寻找李亚普诺夫函数的方法 , 成为应用直接法的主要问题。但对于线性定常系统 x = Ax, 当选择(xunz)如下线性二次型李亚普诺夫函数 V( X) 时 , 则可以给出系统渐近稳定的充要条件 :第28页/共92页第二十九页，共92页。30例 3.7 用李亚普诺夫稳定性定理判断(pndun)系统.第29页/共92页第三十页，共92页。31第30页/共92页第三十一页，共92页。32频率判据(pn j)是一种几何判据(pn j) , 先由 HNyquist 于 193

9、2 年提出 , 称为奈奎斯特判据(pn j) , 在 20 世纪40 年代得到广泛应用。后来 Bode 将它转换到 Bode 图上 , 更加直观方便 , 称为波德判据(pn j)。3.4.1 奈奎斯特稳定判据(pn j)( 1 ) 开环极点与闭环极点间的关系要用开环频率特性来判断闭环系统的稳定性 , 必须要找到开环极点与闭环极点间的关系才行。设闭环系统如图 3.4.1 所示 , 其前向传递函数为3.4 3.4 频域判据频域判据(pn j)(pn j)第31页/共92页第三十二页，共92页。33第32页/共92页第三十三页，共92页。34第33页/共92页第三十四页，共92页。35( 2 ) 幅

10、角原理把特征函数 F ( j) 表示成零极点(jdin)形式第34页/共92页第三十五页，共92页。36第35页/共92页第三十六页，共92页。37第36页/共92页第三十七页，共92页。38(3)Nyquist 稳定性判据的叙述(xsh)= - +时,GK(j) 的Nyquist轨迹逆时针包围( - 1,j0) 点的圈数N等于GK(j)的正极点数P 时,则闭环系统稳定(此时Z = P - N = P - P = 0,即闭环无右半 s平面上的极点)。第37页/共92页第三十八页，共92页。393.4.2 Nyquist 判据的应用应用 Nyquist 判据时 , 先要知道 GK( j) 在右半

11、平面的极点数 P , 然后按最小相位系统或非最小相位系统两种情况(qngkung)分别按表 3.2 进行判别。第38页/共92页第三十九页，共92页。40( 1 ) 最小相位系统 ( P = 0 ) 的稳定性 例 3.8 设单位反馈系统的开环传递函数试用 Nyquist 判据判断该闭环系统稳定性。解 该系统为0 型, GK(j) 的 Nyquist 轨迹如图3.4.4 所示,其中 = - 0-段用虚线表示,= 0+ 段用实线表示, 它们以实轴为对称轴。前面(qin mian)第 2 章介绍的系统开环Nyquist 曲线是= 0+ 的那部分。第39页/共92页第四十页，共92页。41 临界稳定的

12、物理解释临界稳定时 GK(j) 的 Nyquist 轨迹(guj)正好通过( - 1,j0) 点,此时输出与输入的幅值相等,而相位正好差180。这相当于系统受到等幅值的“正负”反馈的交替作用,如图345 所示,因而系统的输出为xo, 即等幅振荡,故系统处于临界稳定状态。例 3.9 设单位反馈系统的开环传递函数试判断该系统的稳定性。第40页/共92页第四十一页，共92页。42第41页/共92页第四十二页，共92页。43例 3.9 设单位反馈系统的开环传递函数试判断该系统的稳定性。解 该系统为 0 型, 只是在前例前向通道(tngdo)中加入了一个超前环节 (s+ 1), 它的 Nyquist 轨

13、迹仍起于正实轴,但以最大相位滞后180收敛于 0 点,其中间过程取决于超前时间常数 。如果 T1(或 T2及T3),则有第42页/共92页第四十三页，共92页。44第43页/共92页第四十四页，共92页。45结论当 GK(j) 的Nyquist轨迹不穿越负实轴时, K的变化不影响系统稳定性;穿越负实轴时,K的变化要影响系统稳定性,K越大系统稳定性越差,超过临界值后系统变得不稳定。 在系统开环中加入超前环节可以改善系统稳定性(但 值要适当(shdng)。通过加入某种环节改变系统结构从而改善系统性能的方法称为系统校正(见第5 章)。第44页/共92页第四十五页，共92页。46第45页/共92页第四

14、十六页，共92页。47例 3.10 设单位反馈系统的开环传递函数试判断该系统的稳定(wndng)性。解 该 系 统 为 I 型 , K 较 小 时 Nyquist 曲 线 如 图2.4.7 所示。图中细双点画线为辅助圆弧线 , 顺时针跨越2 v = 2 个象限。整个曲线不包围 ( - 1 , j0 ) 点 , 系统稳定(wndng) , 但随着 K 增大 , 系统将从稳定(wndng)临界稳定(wndng)不稳定(wndng)。第46页/共92页第四十七页，共92页。48第47页/共92页第四十八页，共92页。49例 3.11 设单位反馈系统的开环传递函数 试判断该系统的稳定性。解 该系统为上

15、例加入一个积分环节 , 系统从型变为型( v = 2 ) , Nyqu ist 曲线如图 2.4.8 所示 , 辅助圆弧线顺时针跨越 2v = 4 个象限。因整个曲线顺时针包围(bowi) ( - 1 , j0 ) 点 2 圈 , Z = P - N = 0 - ( - 2 ) = 2 , 故系统不稳定 , 且对任何 K 值都不稳定。第48页/共92页第四十九页，共92页。50第49页/共92页第五十页，共92页。51结论 增加系统型号 v 对系统稳定性不利 ( 但对提高稳态精度有利 ) 。 不包含超前环节的型系统总是不稳定的 , 而且是结构不稳定 ( 闭环特征方程必定有缺项 ) 。此时调节(

16、tioji)系统参数 K和 T 对稳定性无济于事 , 必须采用校正的方法才能稳定。为了保证系统的稳定性 , 实际系统一般不超过型 ( 不采用型系统 ) 。第50页/共92页第五十一页，共92页。52( 2 ) 条件稳定系统当 Nyquist 曲线不止一次穿越负实轴时 , 系统稳定性并不随 K 值的增大简单(jindn)地从稳定临界稳定不稳定 , K 需要分段取值才能保证稳定。例 3.12 设单位反馈系统的开环传递函数试判断该系统的稳定性。第51页/共92页第五十二页，共92页。53解 当T1 T2时,Nyquist曲线如图2.4.9 所示。随着(su zhe)K增大,曲线扩展,相当于图中( -

17、 1,j0) 点沿负实轴向0点移动。当( - 1,j0) 点在 a点时曲线不包围a 点,系统稳定。当( - 1,j0) 点在b点时,曲线顺时针包围b点2圈,系统不稳定。当( - 1,j0) 点在c点时,曲线顺时针及逆时针各包围 c点1 圈,系统又变得稳定。第52页/共92页第五十三页，共92页。54( 3 ) Nyquist 判据的等价叙述(xsh)对于复杂系统 , GK( j) 的 Nyqu ist 轨迹将反复穿越负实轴 , 此时轨迹包围 ( - 1 , j0 ) 点的圈数很容易数错。第53页/共92页第五十四页，共92页。55第54页/共92页第五十五页，共92页。56例 3.13 设单位

18、反馈系统的开环传递函数试判断该系统的稳定性。解 该系统为带超前环节的型( v = 2),设 T1、T2 1、2 T3, Nyquist 半轨迹如图2.4.12 所示。在 K 较小时 , 无正穿越 , 有 1 次负穿越 , 0 - 1 = - 1 P /2 , 故系统不稳定。 若 K 增大 , 使( - 1, j0 ) 点移到图中 b 点时 , 有一次正穿越, 1 - 1 = 0 = P /2 , 故系统稳定。 若 K 再继续(jx)增大 , 使 ( - 1 , j0 ) 点移到图中 a 点时 , 又增加一次负穿越 , 1 - 2 = - 1 P /2 ,故系统不稳定。第55页/共92页第五十六

19、页，共92页。57第56页/共92页第五十七页，共92页。583.4.3 Bode 判据若将 Nyquist 图改为 Bode 图同样可以判别系统的稳定性 , 两图存在如下(rxi)对应关系 : Nyquist 图上的单位圆 ( 幅值为 1 ) Bode 图上的 0 分贝线 ; Nyquist 图上的负实轴 Bode图上的 - 180线 , 如图 2.4.13 所示。第57页/共92页第五十八页，共92页。59第58页/共92页第五十九页，共92页。60第59页/共92页第六十页，共92页。61穿越(chun yu)频率 为了今后分析方便 , 定义两种穿越(chun yu)频率 : c Nyq

20、uist 轨迹与单位圆交点的频率 , 即对数幅频曲线 L( ) 在 0dB 线上的交点频率 , 称为幅值穿越(chun yu)频率、幅值剪切频率或幅值交界频率。第60页/共92页第六十一页，共92页。62第61页/共92页第六十二页，共92页。633.4.4 非最小相位系统的稳定性非最小相位环节与对应最小相位环节的比较见图 3.4.15 和 3.4.16。由图可见 , 非最小相位环节与对应的最小相位环节的幅频特性相同(xin tn) , 而相频特性不同 , 它的相位变化范围大 , 高频段不存在 2.6.2 节中所述的 ( v + u + 2q - r) ( - 90) 的关系。第62页/共92

21、页第六十三页，共92页。64例 3.14 设单位(dnwi)反馈系统如图 3.4.17 所示 , 试判断该系统的稳定性。第63页/共92页第六十四页，共92页。65第64页/共92页第六十五页，共92页。66第65页/共92页第六十六页，共92页。67解 该系统有一个因被控(bi kn)对象含有正反馈而形成的非最小相位环节 G3 ( s) = 10 / ( 10s - 1 ) ,有一个 s = 01 的正极点 , P = 1 , 是一个非最小相位系统 , 其开环传递函数为Nyquist 图和 Bode 图如图 3.4.18 所示。第66页/共92页第六十七页，共92页。683.5.1 问题的提

22、出状态能控性和能观性是卡尔曼 ( Kalman ) 在 20 世纪 60 年代提出的现代控制理论的两个基本概念。能控性是指能否通过输入使系统在有限时间内从其初始状态达到目标状态 , 能观性是指能否根据有限时间内对输出(shch)的观测确定该时间段内的系统状态 , 它们分别表征了系统对状态的控制能力和识别能力。3.5 3.5 状态状态(zhungti)(zhungti)能控能观性能控能观性第67页/共92页第六十八页，共92页。69第68页/共92页第六十九页，共92页。703.5.2 能控性的定义及判别上例虽可直观理解系统的状态能控能观概念 , 但为了进一步揭示它是系统除稳定性之外的另一基本结

23、构特性 , 有必要介绍这两个概念的定义及其判别方法。(1)能控性定义线性系统 X= A(t)X+ B(t)u,如果对于取定初始(ch sh)时刻t0 J 的一个非零初始(ch sh)状态X(t0)= X0,存在一个时刻t1(t0 t1J) 和一个容许控制u(t)(tt0,t1),使得系统在 u(t) 作用下由初始(ch sh)状态X0出发的轨线,经过t1- t0时间后能转移到目标状态X(t1) =0,则称此X0是系统在 t0时刻的一个能控状态,见图3.5.2。第69页/共92页第七十页，共92页。71(2) 能控性判据(省略证明)1) 判据的第一种形式系统 X= AX + Bu 能控的充分必要

24、条件(b yo tio jin)是:能控性矩阵 Qc= BABAn- 1B 满秩,即从物理概念上看 , 式 ( 3.5.1 ) 表示 : 一个 n 阶系统可以被控制的状态数目为 n , 超过 n 的多余 状态必然是不能控的。第70页/共92页第七十一页，共92页。72第71页/共92页第七十二页，共92页。73例 3.15 考察如下(rxi)系统的能控性解 用 MATLAB 计算出再输入矩阵Qc= bAbA2b,用k= rank(Qc) 语句可求出能控性矩阵的秩 rankQc= n = 3,故此系统状态能控。第72页/共92页第七十三页，共92页。742)判据的第二种形式设系统 X= AX+B

25、u的特征根为相异单实根1,2,n,可通过非奇异变换(binhun)将其化为对角形 则系统状态能控的充分必要条件是:对角形的Bd中无元素全为0的行, 否则系统不能控,且全为0 元素的行所对应的状态是不能控状态。第73页/共92页第七十四页，共92页。75例 3.17 试判断系统(xtng)的能控性 , 并指出各状态变量能控或不能控。解 该系统(xtng)的对角形为第74页/共92页第七十五页，共92页。76因 Bd中仅第2 行元素是0,故x1和 x3能控而x2不能控,系统不能控(用Qc的秩判断结果(ji gu)相同)。第75页/共92页第七十六页，共92页。77第76页/共92页第七十七页，共9

26、2页。783.5.3 能观性的定义及判别( 1 ) 能观测性定义线性系统 X= A(t)X+B(t)u、y = C(t)X,如果对于取定初始时刻t0J的一个非零初始状态 X(t0) = X0,存在一个时刻 t1(t0 t1 J), 使得(sh de)由区间t0 t1 上的系统输出观测值y(t),可以惟一地决定系统的初始状态 X0,则称此 X0为能观测状态。第77页/共92页第七十八页，共92页。79( 2 ) 能观测性判据1 ) 判据的第一种形式(xngsh) 系统 X = AX + Bu、y = C( t ) X 能观的充分必要条件是 : 能观性矩阵第78页/共92页第七十九页，共92页。8

27、02)判据的第二种形式设系统(xtng) 的特征根为相异单实根1,2,n,可通过非奇异变换将其化为对角形珘 ,则系统(xtng)状态能观的充分必要条件是:对角形的Cd中列元素全为0。否则系统(xtng)不能观,且全为0 元素的列所对应的状态是不能观状态。第79页/共92页第八十页，共92页。81例 3.19 试判断例 3.17 系统的状态能观性。解 按判据第一种形式(xngsh) : 计算出因 rankQo= 3 = n, 故系统能观。按判据第二种形式(xngsh)结果相同:对角形的 Cd中不包含有0元素,故系统能观。从标量方程及仿真结构图3.5.3 看:能观状态与输出 y有关,不能观状态与输

28、出 y无关。第80页/共92页第八十一页，共92页。82例 3.20 试判别如下系统的能观测(gunc)性 :解 用 MATLAB 语句 q0 = obsv( a , c) 可直接得能观性矩阵为因 rankQo = 2 n = 3 , 故系统(xtng)不能观。第81页/共92页第八十二页，共92页。83( 3 ) 能控性与能观性间的对偶性如果两个系统间存在(cnzi)如下转置关系则称系统 珔A、珋b、珋c 是系统 A、b、c 的对偶系统。控制器规范形 ( 2.4.23 ) 与观测器规范形 ( 2.4.24 ) 便是对偶系统。对偶系统的传递函数和特征根相同 , 同时满足对偶性原理 :第82页/共92页第八十三页，共92页。843.5.4 能控能观性结构分解(1)卡尔曼分解定理卡尔曼指出,一个不能控系统 X= AX+bu,y = cX在非奇异变换珘X= P- 1X下的代数等价(dngji)系统 , 可以写成按能控能观性分解的显式表达式:第83页/共92页第八十四页，共92页。85第84页/