高中数学集合的概念和运算(1)

1、2009.1.1集合的概念和运算(1)一、知识回顾：1 .基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2 .集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.3 .集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.4 .集合运算：交、并、补.交：ABu x|xw A,且xw B并：AljB：=x|x A或x B补：QAu xwU ,且x更 A5 .主要性质和运算律(1)包含关系：A ,- A, ''D ,- A, A _ U , CU A _ U ,A B, B C= A C; A QB A, ApB B; AjB = A, AlJ B - B.(2) 等价关系：AB = AO

2、B = Au AJB=Bu CU AjB=U(3)集合的运算律：交换律：A B = B A; A B=B A.结合律：(A B) C=A (B C);(A B) C=A (B C)分配律:.A (B C) =(A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C)0-1 律：9 nA = 9, ljA = A,U A = A,U UA = U等幕律：A A=A,A A = A.求补律：An 81A=()AU'uA=U &JU=(|)讥小=U Ju(8ia)=A反演律：8u(AnB)= ( 8iA) U(&B)du(AU B)= (8iA)n(8uB)6 .有

3、限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合 A的基数，记为card( A)规定card(小) =0.基本公式：(1)card (A Lb) = card (A) card(B)-card (aCb)(2)card(AU bUC) = card(A) card(B) card(C)-card(AClB) -card(BClC) -card(CP A) card(AriBpC)(3) card ( A)= card(U)- card(A)(4)设有限集合A, card(A)=n,则(i )A的子集个数为2n;( ii )A的真子集个数为2n -1 ；(iii)A的非空子集个数为2n 1 ;

4、( iv)A的非空真子集个数为2n 2.(5)设有限集合 A B、C, card(A)=n , card(B)=m,m<n，则( i)若BGCA,则C的个数为2n；(ii)若BWCu A,则C的个数为2njm_1 ；(iii)若BuCG A,则C的个数为2n5一1 ；(iv)若BuCu A,则C的个数为2n小 一2.二、基础训练1. (08安徽1).若A位全体实数的集合，B =-2,-1,1,2则下列结论正确的是( D )A. ApB =1-2,-11B. (CrA)UB = (*,0)C. AUB=(0, FD. (CrA)DB=-2,-12. (08广东1)第二十九届夏季奥林匹克运动

5、会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A二(参加北京奥运会比赛的运动员)，集合B=(参加北京奥运会比赛的男运动员).集合C二(参加北京奥运会比赛的女运动员)，则下列关系正确的是(C )A.ABB.BCC.AA B=C D.BU C=A3. (08 湖南 1)已知 U =2,345,6,7, M =<3,4,57, N =<2,4,5,61,则(B )A. M c n =J,6B. M UN = UC. (CuN)Um =UD. (CuM)N = N4. (08 山东 1)满足 M J 2, a2, a3, a4，且 M Da-i, a2 ,a3 a a2 的集合 M 的 个数是

6、(B )A. 1B. 2C. 3D. 45. (08 陕西 2)已知全集 U =1,2,3,4,5,集合 A =1,3, B =3,4,5,则集合 eu(Ap B)= (D )A. 3B. 4,5C. 3,4,5D. 1,2,4,56. (08 重庆 13)已知集合=1, 2, 3, 4, 5, A=2, 3, 4, B=4 ,则ANU U B) =. 2,37. (04年全国I理)设A、B、I均为非空集合，且满足 AE BQ I ,则下列各式中错误的是()(A) (CIA)uB = I (B) (CI A)u (CI B) = I(C) A-(CIB)=：，(D) (CI A) - (CIB

7、) =CIB8. (05湖北卷)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=a+b|aEP,bWQ, 若P=025, Q =1,2,6,则 P+Q 中元素的个数是(B )A. 9B. 8C. 7D. 69： (2006上海理)若关于x的不等式(1+k2)xw k4+4的解集是M则对任意实常数 k , 总有()(A)2C M 0c M;(B)2更 M0更M;(C)2C M 0M;(D)2电 M0cM.三、例题分析题型一.集合的概念例1.已知非空集合 M J1,2,3,4,5,且若aCM,则6-aC M,求集合M的个数P8 变式解：= M J1,2,3,4,5,且若 a M,则 6-aC M.若1

8、CM,则5CM,反之亦然， 1CM且5CM,或1正M且5正M 同理：2CM 且 4CM,或 2正 M 且 4M 3CM 且 6-3CM, 又; M是非空集合， M个数为23-1=7例2. (07陕西12).设集合S=A0, A, % A3，在S上定义运算 为:人份丹=人，其中k为i+j被4除的余数，i, j=0,1,2,3,则满足关系式(x出x)5A=A0的x(xw S)的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1解析：因为 x二 x 二 A2=A0,x；x = Ak故AK 二 A2 =A0,k =2即xx = A2所以乂 =人或人3故选B点拨：通过新定义，考查了元素与集合的关系，同时考查了知

9、识的迁移能力变式训练：对集合 A、B,定义 AXB=x|x=mn, m= A, n B,若人=4,5,6B Y1, 2,3,则集合 AX B中的所有元素之和为( A )A. 15B. 14C. 27D. -14提示：AX B =3,2,1,4,5题型二.集合间的关系判定与应用例3.含有三个实数的集合可表示为a,b,l=a2,a+b,0,求a2006 + b2007的值.,aa =a +bb一=0、a解：由题意知：a r 0且 a 01 ,故 a # a2,41=a2b = 0,a = 1.2006. 200720062007(a b = (-1)0=1例4 (06江苏卷)若A、B、C为三个集合

10、，D) A(A) ACC(B) CCA【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解。【正确解答】因为 AE A|JB且C0|B1C A|JB =C0|B由题意得A1C所以选A【解后反思】对集合的子、交、并、补运算，以及集合之间的关系要牢固掌握。本题考查三个抽象集合之间的关系，可以考虑借助与文氏图。变式训练：已知集合 A= &y,x + y,xy, B= &2 + y2 ,x2 - y2,0% A=B ,求x, y的值。题型三；集合的基本运算例 5(07 年安徽)若 AxW z|2 W2。<8 , B = x R | log2 x»1,则 A

11、c (CR B)的元素个数为(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【解析】C AxWZ2M22j<8 = 0,1,r 一 一，、1B =x = R |log2 x|>1 =x|x >2或0 <x <-,Ac(Cr B)=0,1,其中的元素个数为 2,选Co【说明】 考查了补集、交集的运算.变式训练.已知集合 A=xx<a, B=x1<x<2,且AU(CRB)=R,则实数a的取值范围是()A. aW 1 B. a <1C. a > 2 D. a >2题型四：集合思想的应用例6 .( 04上海)记函数f(x) =/2-仁3的定义域

12、为 A ,x 1g(x) =lg( x -a 1)(2a -x)(a <1)的定义域为 B。(1)求 A; (2)若BE A ,求实 数a的取值范围。【解】(1)23 >0,得1>0, x<1 或 x>1 即 A=(巴1)U1,+ x 1x 1oo)(2)由(x a- 1)(2a x)>0,得(x a1)(x 2a)<0. a<1,； a+1>2a, . B=(2a,a+1). BIA, . .2 a> 1 或 a +1<- 1,即 a>1 或 a0 2,而 a <1,21 <a <1或a<-2,故

13、当BIA时，实数a的取值范围是(一巴-2)U 1 ,12 2变式训练.已知集使A=勺y2 -(a2 +a +1)y + a(a2 +1) 01,1 o 5 B=Jyy=-x -x + -,0<x<3>, A A B=(|),求头数 a 的取值氾围.221五.课堂练习1 .设集合M=a,b,则满足M U NUa,b,c的集合N的个数为( )A. 1B. 4C. 7D. 82 .设S为全集，Bu Au S,则下列结论中不正确的是()A. CSA 二 CSB B. Ab = B C. A(CSB)=®D. (CsA)Rb=6 (04山东)3,已知集合 A=x|x 25x+

14、6=0,B=x|mx+1=0, 且 A U B=A ,则实数 m 组成的集合4 .设集合 P=a,b,c,d , Q=A|A 星P,则集合Q的元素个数 5 .定义 AB=x|x CA 且 xB,若 M=1,2,3,4,5 , N=2,3,6,则 N-M 等于( )A. MB. N五、作业1 .若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题A=B=I.中与命题AEB等价的有A. 1 个 B . 2 个 CC. 1,4,5D. 6AC B=A;AJ B=B; Ac (CI B )=巾； ( )3个 D . 4个2.集合 M= y | y =,x, yw Zj的元素个数是A. 2个 B .4个 C .6个 D .8个一一一.1_ . n 1 _ -3.已知集合 M =3x|x = m + ,muZr，N=3x|x = -,n=Z 6,23P = qx| x =1+Lt W Z、，则M N P满足的关系是()2 6A. M=NuP,B.MuN=P,C.MuNuP,D.NPM4 .设集合 P=x| x2 -x -6 <0 , Q=x | x - a > 0(1)若P=Q求实数a的