高等数学 上、下册2_5 高阶导数ppt课件

1、第五节第五节 高阶导数高阶导数 如如果果函函数数( )yf x的的导导数数( )yfx仍仍是是x的的可可导导函函数数，那那么么就就称称( )fx的的导导数数为为( )f x的的二二阶阶导导数数，相相应应地地，这这时时称称( )fx为为( )f x的的一一阶阶导导数数. 二二阶阶导导数数记记为为： 22d,( ),dyyfxx或或22ddfx 类类似似地地，可可以以定定义义( )f x的的三三阶阶导导数数，四四阶阶导导数数，一一般般地地，( )f x的的 n-1 阶阶导导数数的的导导数数称称为为( )f x的的 n 阶阶导导数数. 三三阶阶导导数数的的记记号号是是33d,( ),dyyfxx或或

2、33d.dfx4n 时时的的 n 阶阶导导数数的的记记号号是是( )( )d,( ),dnnnnyyfxx或或d.dnnfx二二阶阶或或二二阶阶以以上上的的导导数数统统称称为为高高阶阶导导数数. 例例如如，自自由由落落体体的的位位置置函函数数21( )2s tgt，一一阶阶导导数数( )( )v ts tgt是是瞬瞬时时速速度度，( )()s tgtg是是加加速速度度 . 解解 因因为为4( )583,fxxx 则则 43( )(583)208fxxxx 所所以以31(1)(208)|12.xfx 例例 1 设设52( )43 ,f xxxx 求求( )fx及及(1)f . 例例 2 证证明明

3、：e sinxyx满满足足关关系系式式220.yyy 证明证明 因为因为 e sine cosxxyxx e (sincos ),xxx esincosecossin2e sinxxxyxxxxx 0 所以所以 22yyy 2e cos2esincos2e sinxxxxxxx 0 故故e sinxyx满足关系式满足关系式 220.yyy 例例3 求求正正弦弦函函数数sinyx的的n 阶阶导导数数. 解解 (sin )cosyxxsin()2x, sin()cos()22yxx sin(2),2x cos(2)2yx sin(3 ),2x 由此类推，可以得到由此类推，可以得到 ( )( )(s

4、in )sin()(1,2,3,.)2nnyxxnn 用类似的方法，可得用类似的方法，可得 ( )(cos )cos()(1,2,3,.)2nxxnn 例例 4 求求对对数数函函数数ln(1)(1)yxx的的 n 阶阶导导数数. 解解 11(1) ,1yxx 2(1) ,yx ( 3)( 1)( 2)(1),yx (4)( 4)( 1)( 2)( 3)(1).yx 由此类推，可得由此类推，可得 ( )( )(1)( )(1)!(ln(1)( 1)(1)nnnnnyxx (1)(1,2,.).xn 注注 0! 1,因因此此，这这个个结结果果1n 时时也也成成立立. 例例5 求求函函数数21( )(1,5)65f xxxx的的n阶阶导导数数. 内容小结内容小结高阶导数的求法高阶导数的求法作业作业P98 2(3), (4), 3(2), 4, 5(2)(1)