【三维设计】（新课标）2016届高考数学大一轮复习 第八章 解析几何精品讲义 理（含解析）

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。【三维设计】（新课标）2016届高考数学大一轮复习 第八章 解析几何精品讲义 理（含解析）【三维设计】（新课标）2016届高考数学大一轮复习 第八章 解析几何精品讲义 理（含解析）第八章解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础盘查一直线的倾斜角与斜率(一)循纲忆知1在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式(二)小题查验1判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)过点M(a，

2、b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是45°()(3)倾斜角越大，斜率越大()答案：(1)×(2)×(3)×2(人教A版教材习题改编)若过两点A(m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m_.答案：23直线xcos y20的倾斜角的范围是_解析：设直线的倾斜角为，依题意知，kcos ；cos 1,1，k，即tan .又0，)，.答案：基础盘查二直线的方程(一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系(二)小题查验1判断正误(1)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0

3、k(xx0)表示()(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离()(4)若直线在x轴，y轴上的截距分别为m，n，则方程可记为1()答案：(1)×(2)(3)×(4)×2(人教A版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_答案：x13y503过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点

4、，设直线方程为1，即xya.则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案：4x3y0或xy10|(基础送分型考点自主练透)必备知识1直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角(2)范围：0，)2直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan .(2)范围：全体实数R.(3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为kP1P2.提醒(1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x轴不垂直的直线才有斜率(2)0时k0；是锐角时k>0；是钝角时k<

5、;0.(3)已知倾斜角的范围，求斜率k的范围时注意下列图象的应用：当ktan ，时的图象如图：题组练透1若经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y等于()A1B3C0 D2解析：选B由ktan 1.得42y2，y3.2(2015·常州模拟)若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是_解析：kPQ<0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为.答案：3(2015·沈阳联考)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1，1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析：如图所示，直线l：x

6、mym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl.2或.解得0<m或m<0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数m的取值范围为m.答案：类题通法1求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在|(重点保分型考点师生共研)必备知识1点斜式过点(x0，y0)，斜率为k的直线方程为yy0k(xx0)局限性：不含垂直于x轴的直线2斜截式斜率为k，纵截距为b的直线方程为ykxb.局限性：不含垂直于x轴的直线3两点式过两点(x1，y1)，(x2，

7、y2)(x1x2，y1y2)的直线方程为.局限性：不含垂直于坐标轴的直线4截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a0，b0)的直线方程为1.局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线5一般式AxByC0(A2B20)提醒当直线与x轴不垂直时，设直线的斜率为k，则方程为ykxb；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为kyxb0.典题例析已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2，1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x

8、2y40.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知，点D的坐标为(0,2)由点斜式得直线DE的方程为y22(x0)，即2xy20.类题通法1在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件2对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用演练冲关求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程解：当斜率不存在时，所求直线方程为x50，适合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则所求直

9、线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.|(常考常新型考点多角探明)多角探明直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式相结合，命题多为客观题，归纳起来常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数几何意义相结合的问题.角度一：与基本不等式相结合的最值问题1已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求：(1)当|OA|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2|MB|2取得最小值时，直线l

10、的方程解：(1)设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)设直线l的方程为1，则1，所以|OA|OB|ab(ab) 2224，当且仅当“ab2”时取等号，此时直线l的方程为xy20.(2)设直线l的斜率为k，则k0，直线l的方程为y1k(x1)，则A，B(0,1k), 所以|MA|2|MB|221212(11k)22k2224，当且仅当k2，即k1时，|MA|2|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为xy20.角度二：与导数几何意义相结合的问题2已知曲线y，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：y，因为ex>0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)

11、，所以ex24，故y(当且仅当x0时取等号)所以当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S×2×.答案：类题通法1含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”2求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值一、选择题1直线l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A.B.C D解析：选A设直线l的斜率为k，则k.2在

12、等腰三角形AOB中，AOAB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：选D因为AOAB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kABkOA3，所以直线AB的点斜式方程为：y33(x1)3已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1 B1C2或1 D2或1解析：选D由题意可知a0.当x0时，ya2.当y0时，x.a2，解得a2或a1.4两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是()解析：选A取特殊值法或排除法，可知A正确5(2015

13、3;哈尔滨模拟)函数yasin xbcos x的一条对称轴为x，则直线l：axbyc0的倾斜角为()A45° B60°C120° D135°解析：选D由函数yf(x)asin xbcos x的一条对称轴为x知，f(0)f，即ba，直线l的斜率为1，倾斜角为135°.6(2014·安徽高考)过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D法一：如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知OP2，OA1，则sin ，所以30°，BPA60°.故直线

14、l的倾斜角的取值范围是.选D.法二：设过点P的直线方程为yk(x)1，则由直线和圆有公共点知1，解得0k.故直线l的倾斜角的取值范围是.二、填空题7若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_解析：根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab2(ab)4，从而0(舍去)或4，故ab16，当且仅当ab4时取等号即ab的最小值为16.答案：168设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_解析：b

15、为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1，0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2,2答案：2,29若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_解析：ktan ，k<0或k1.答案：，0)10一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_解：设直线的斜率为k(k0)，则直线方程为y2k(x2)，由x0知y2k2.由y0知x.由|2k2|1.得k或k2.故直线方程为x2y20或2xy20.答案：x2y20或2xy20三、解答题11已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，

16、O为坐标原点，求当·取得最小值时，直线l的方程解：设A(a,0)，B(0，b)，则a0，b0，直线l的方程为1，所以1.故··(a2，1)·(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.12.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解：由题意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直线lOA：yx，lOB

17、：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.第二节两直线的位置关系基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直(二)小题查验1判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A

18、1A2B1B20()答案：(1)×(2)×(3)2(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2xy100垂直的直线方程为_答案：x2y30基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(二)小题查验1判断正误(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，当k1k2时，l1与l2相交()(2)过l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的交点的直线方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)()答案：(1)(2)×2(人教A版教材习题改编)经过两直线2xy80与x2y10的交点，且平行于直线4x3y70的直线方程为_答

19、案：4x3y60基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(二)小题查验1判断正误(1)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为()(2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(3)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()答案：(1)×(2)(3)2(北师大版教材习题改编)两平行直线l1，l2分别过A(1,0)，B(0,5)，若l1与l2的距离为5，则l1与l2的方程分别为l1：_，l2：_.答案：y0或5x12y50y5或5x12y600|(基础送分型

20、考点自主练透)必备知识1判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2，且b1b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10.2判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k21，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1xB1yC10，l2：A

21、2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.3求两条直线的交点对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它们的交点可由求解题组练透1(2015·北京海淀区期末)已知直线l1：x2y10与直线l2：mxy0平行，则实数m的取值为()AB.C2 D2解析：选A因为直线l1：x2y10与直线l2：mxy0平行，所以0，解得m，故选A.2(2015·浙江名校联考)已知直线l1：x(a2)y20，l2：(a2)xay10，则“a1”是“l1l2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若a1，则l1：x3y20，l2：3

22、xy10，显然两条直线垂直；若l1l2，则(a2)a(a2)0，a1或a2，因此，“a1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选A.3(2015·浙江温州十校联考)过两直线2xy50和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程为_解析： 联立得交点P(1，3)设过点P且与直线3xy10平行的直线方程为3xym0，则3×13m0，解得m0.答案：3xy0类题通法1充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1·k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意2两

23、直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点3常见的三大直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.|(重点保分型考点师生共研)必备知识1两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.2点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.3两平

24、行直线间的距离公式两条平行直线AxByC10与AxByC20间的距离为d.提醒在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x，y的系数要对应相等典题例析已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在

25、，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线类题通法解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑

26、待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在演练冲关已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是_解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以两平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y30|(常考常新型考点多角探明)必备知识1中心对称(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的

27、两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求的直线方程2轴对称(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A0，x1x2)特别地，若直线l：AxByC0满足|A|B|，则P1(x1，y1)与P2(x2，y2)坐标关系为(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行多角探明对称问题是高考常考

28、内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称；(4)对称问题的应用.角度一：点关于点的对称1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程解：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.角度二：点关于线对称2已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，求点A关于直线l的对称点A的坐标解：设A

29、(x，y)，再由已知得解得故A.角度三：线关于线对称3在角度二的条件下，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解：在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.角度四：对称问题的应用4已知光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程解：作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，

30、则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.类题通法对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解一、选择题1与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为()A3x4y50B3x4y50C3x4y50 D3x4y50解析：选A与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程是3x4(y)50，即3x4

31、y50.2已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是，则满足条件的直线l的条数为()A1 B2C3 D4解析：选C由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条，又因为|AB| ，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条3(2015·广元模拟)若直线l1：x2ym0(m>0)与直线l2：xny30之间的距离是，则mn()A0 B1C1 D2解析：选A直线l1：x2ym0(m>0)与直线l2：xny30之间的距离为，n2，m2(负值舍去)mn0.4(2015·济南模拟)“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l

32、2：(m3)x2y50垂直”的()A. 充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2.m3是l1l2的充分不必要条件. 5(2015·云南统考)已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为()A11 B10C9 D8解析：选B依题意，a2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(2y，y)，故则A(4,8)，B(4,2)，|AB|10.6已知曲线1与直线y2xm有两个交点，则m的取值范围是()A(，4)(4，) B(4,4)C(，3)(3，)

33、D(3,3)解析：选A曲线1的草图如图所示由该曲线与直线y2xm有两个交点，可得m>4或m<4.二、填空题7(2015·重庆检测)已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为_解析：直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，即3x4y0，直线l1与l2的距离为.答案：8(2015·河北秦皇岛检测)直线l1：y2x3关于直线l：yx1对称的直线l2的方程为_解析：由解得直线l1与l的交点坐标为(2，1)，可设直线l2的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,

34、2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得，解得k(k2舍去)，直线l2的方程为x2y0.答案：x2y09若在平面直角坐标系内过点P(1，)，且与原点的距离为d的直线有两条，则d的取值范围为_解析：因为原点到点P的距离为2，所以过点P与原点的距离都不大于2，故d(0,2)答案：(0,2)10如图，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为_解析：从特殊位置考虑如图，点A(2,0)关于直线BC：xy2的对称点为A1(2,4)，kA1F

35、4.又点E(1,0)关于直线AC：yx2的对称点为E1(2，1)，点E1(2,1)关于直线BC：xy2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，kFD>kA1F，即kFD(4，)答案：(4，)三、解答题11已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值：(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)此种情况不存在，k20.即k1，k2都存在

36、，k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.12(2015·东营模拟)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a>1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求OMN面积取最小值时，直线l的方程解：(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截

37、距都为0，此时a20，解得a2，此时直线l的方程为xy0，即xy0；当直线l不经过坐标原点，即a2且a1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2a，解得a0，此时直线l的方程为xy20.所以直线l的方程为xy0或xy20.(2)由直线方程可得M，N(0,2a)，因为a>1，所以SOMN××(2a)××2，当且仅当a1，即a0时等号成立此时直线l的方程为xy20.第三节圆的方程基础盘查一圆的定义及标准方程(一)循纲忆知1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题(二)小题查验1判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与

38、半径()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF>0()答案：(1)(2)(3)2(人教A版教材例题改编)已知圆心为C的圆过点A(1,1)，B(2，2)且圆心C在直线l：xy10上，则圆的标准方程为_答案：(x3)2(y2)2253. (2015·金华十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB，则该圆的标准方程是_解析：依题可设圆C：(x1)2(yb)21(b0)，且2b

39、21，可解得b，所以圆C的标准方程为(x1)221.答案：(x1)221基础盘查二点与圆的位置关系(一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外)(二)小题查验1判断正误(1)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F>0()(2)已知圆的方程为x2y22y0，过点A(1,2)作该圆的切线只有一条()答案：(1)(2)×2若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_解析：因为点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，所以(1a)2(1a)2<4.即a2<1，故1<a<1.答案：(1

40、,1)|(基础送分型考点自主练透)必备知识1圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，其中(a，b)为圆心，r为半径2圆的一般方程x2y2DxEyF0.当D2E24F>0时表示圆，其中为圆心，为半径提醒方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件：题组练透1(2015·潍坊一模)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A(x2)2(y±2)23B(x2)2(y±)23C(x2)2(y±2)24 D(x2)2(y±)24解析：选D因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相切，所

41、以半径r2，设圆心坐标为(2，b)，则(12)2b24，b23，b±，选D.2(2015·温州十校联考)已知抛物线C1：x22y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B两点，交C1的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的方程为()A.x223 Bx224Cx2(y1)212 Dx2(y1)216解析：选B如图，连接AC，BD，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F，而|FA|AD|FB|为圆的半径r，于是A，而A在抛物线上，故22，r2，故选B.3圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，则圆C的方程为_解析

42、：设圆C的方程为x2y2DxEyF0，则k,2为x2DxF0的两根，k2D,2kF，即D(k2)，F2k，又圆过R(0,1)，故1EF0.E2k1.故所求圆的方程为x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圆心坐标为.圆C在点P处的切线斜率为1，kCP1，k3.D1，E5，F6.所求圆C的方程为x2y2x5y60.答案：x2y2x5y60类题通法解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程|(常考常新型考点多角探明)必备知识1与圆的几何性质有关的最值(1)记O为圆心，圆外一点A到圆上距离最

43、小为|AO|r，最大为|AO|r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆2与圆上点(x，y)有关的最值(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题多角探明与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型

44、最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等；(5)建立目标函数求最值问题.角度一：斜率型最值问题1已知实数x，y满足方程x2y24x10.求的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.如图所示，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ，解得k±.所以的最大值为，最小值为.角度二：截距型最值问题2在角度一条件下求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，

45、此时 ，解得b2±.所以yx的最大值为2，最小值为2.角度三：距离型最值问题3在角度一条件下求x2y2的最大值和最小值解：如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是274.角度四：利用对称性求范围4(2014·新课标全国卷)设点M(x0,1)，若在圆 O：x2y21上存在点N，使得OMN45°，则x0的取值范围是()A1,1 B.C， D. 解析：选A当点M的坐标为(1,1)时，圆上存在点N(1,0)，使得OMN

46、45°，所以x01符合题意，故排除B，D；当点M的坐标为(，1)时，OM，过点M作圆O的一条切线MN，连接ON，则在RtOMN中，sinOMN<，则OMN<45°，故此时在圆O上不存在点N，使得OMN45°，即x0不符合题意，排除C，故选A.角度五：建立目标函数求最值问题5设圆x2y22的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为_解析：设点A，B的坐标分别为A(a,0)，B(0，b)(a，b>0)，则直线AB的方程为1，即bxayab0，因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d，即2(a2b2)

47、(ab)24ab，所以ab4, 当且仅当ab时取等号，又|AB|2，所以|AB|的最小值为2，此时ab，即ab2，切线l的方程为1，即xy20.答案：xy20类题通法求解与圆有关的最值问题的两大规律1借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解2建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的|(重点保分型考点师生共研)必备知识1求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨

48、迹图形，再由图形求方程2常用求法：(1)定义法(2)相关点代入法提醒“轨迹”与“轨迹方程”的区别：“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围典题例析已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90°，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N

49、(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.类题通法求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式演练冲关设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点