第九章稳恒磁场3

1、1磁畴图象磁畴图象29.1.1 基本磁现象基本磁现象1、自然磁现象、自然磁现象 磁性：磁性：具有能吸引铁磁物资具有能吸引铁磁物资(Fe(Fe、CoCo、NiNi）的一种特性。）的一种特性。磁体：磁体：具有磁性的物体具有磁性的物体磁极：磁极：磁性集中的区域磁性集中的区域地磁：地磁：地球是一个大磁体。地球是一个大磁体。451501070965070，东东经经纬纬地地磁磁北北极极大大约约在在南南，西西经经纬纬地地磁磁南南极极大大约约在在北北磁极不能分离，（正负电荷可以分离开）磁极不能分离，（正负电荷可以分离开）3 地核每地核每400400年比年比地壳多转一周地壳多转一周据据 1 19 99 95 5

2、 年年 4 4 月月 3 3 日日， 中中国国教教育育报报 报报道道，兰兰州州大大学学地地质质地地 理理教教授授对对我我国国黄黄土土高高原原的的古古地地磁磁进进行行考考察察时时，证证实实了了世世界界多多国国的的 发发现现：地地磁磁的的南南北北极极曾曾经经多多次次颠颠倒倒，在在大大颠颠倒倒间间隙隙、地地磁磁的的磁磁极极 有有不不断断漂漂移移的的历历史史。现现在在的的磁磁极极正正处处在在缓缓慢慢漂漂移移期期，暂暂时时还还不不会会 对对人人类类产产生生影影响响 地球的磁极每隔几地球的磁极每隔几千年会发生颠倒千年会发生颠倒4、 磁现象起源于运动电荷磁现象起源于运动电荷I后来人们还发现磁电联系的例子有：

3、后来人们还发现磁电联系的例子有： 磁体对载流导线的作用；磁体对载流导线的作用； 通电螺线管与条形磁铁相似；通电螺线管与条形磁铁相似； 载流导线彼此间有磁相互作用；载流导线彼此间有磁相互作用；1819181918201820年丹麦物理学家奥斯年丹麦物理学家奥斯特首先发现了电流的磁效应。特首先发现了电流的磁效应。18201820年年4 4月，奥斯特做了一个实验，通月，奥斯特做了一个实验，通电流的导线对磁针有作用，使磁针电流的导线对磁针有作用，使磁针在电流周围偏转。在电流周围偏转。上述现象都深刻地说明了：上述现象都深刻地说明了： 磁现象与运动电荷之间有着深刻的联系。磁现象与运动电荷之间有着深刻的联系

4、。5 安培的分子电流假说安培的分子电流假说、磁力、磁力近代分子电流的概念：近代分子电流的概念： 轨道圆电流自旋圆电流分子电流轨道圆电流自旋圆电流分子电流 一切磁现象都起源于电流，任何物质的分子中都存在着环一切磁现象都起源于电流，任何物质的分子中都存在着环形电流（分子电流），每个分子电流就相当于一个基元磁体，形电流（分子电流），每个分子电流就相当于一个基元磁体，当这些分子电流作规则排列时，宏观上便显示出磁性。当这些分子电流作规则排列时，宏观上便显示出磁性。 18221822年安培提出了用分子电流来解释磁性起源。年安培提出了用分子电流来解释磁性起源。 磁体与磁体间的作用；磁体与磁体间的作用； 电流

5、与磁体间的作用；电流与磁体间的作用； 磁场与电流间的作用；磁场与电流间的作用； 磁场与运动电荷间的作用；磁场与运动电荷间的作用； 均称之为磁力。均称之为磁力。61、磁场、磁场1 1）磁力的传递者是磁场）磁力的传递者是磁场2 2）磁场是由运动电荷所激发，参考系是观察者）磁场是由运动电荷所激发，参考系是观察者3 3）磁场对外的重要表现）磁场对外的重要表现电流电流( (或磁铁或磁铁) )磁场磁场电流电流( (或磁铁或磁铁) )静止电荷激发静电场静止电荷激发静电场运动电荷可同时激发电场和磁场。运动电荷可同时激发电场和磁场。(1)(1)磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用；磁场对进入场中的运动

6、电荷或载流导体有磁力的作用；(2)(2)载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对载流导体作载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对载流导体作 功，表明磁场具有能量。功，表明磁场具有能量。9.1.2 磁感应强度磁感应强度磁场与电场一样、是客观存在的特殊形态的物质。磁场与电场一样、是客观存在的特殊形态的物质。7 2、磁感应强度、磁感应强度1 1）磁矩：）磁矩： 定义载流线圈的面积定义载流线圈的面积S 与线圈中的电流与线圈中的电流I 的乘的乘 积为磁矩积为磁矩( (多匝线圈还要乘以多匝线圈还要乘以线圈匝数线圈匝数)，即，即nSNIPm 式中式中N 为线圈的匝数，为线圈的匝数，n0为线圈的为线圈的法线方向

7、，法线方向，Pm与与I 组成右螺旋。组成右螺旋。 2 2）磁场方向：）磁场方向：ImP ImPB使线圈磁矩处于使线圈磁矩处于稳定平衡稳定平衡位位置时的磁矩的方向。置时的磁矩的方向。83 3）磁感应强度的大小）磁感应强度的大小mpMBmax磁感应强度的单位磁感应强度的单位1 1特斯拉特斯拉10104 4高斯（高斯（1T1T10104 4GSGS） 是试验线圈受到的最大磁力矩、是试验线圈受到的最大磁力矩、 是试验线圈的磁矩。是试验线圈的磁矩。maxMmP91、磁力线、磁力线常见电流磁力线：直电流，圆电流，通电螺线管的磁力线。常见电流磁力线：直电流，圆电流，通电螺线管的磁力线。 1 1）什么是磁力线

8、？）什么是磁力线？2 2）磁力线特性）磁力线特性9.1.3 磁通量磁通量 磁力线是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场。磁力线是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场。 任何两条磁力线在空间不相交。任何两条磁力线在空间不相交。 磁力线的环绕方向与电流方向之间遵守右螺旋法则。磁力线的环绕方向与电流方向之间遵守右螺旋法则。10 穿过磁场中某一曲面的磁力线总数，称为穿过该曲面的穿过磁场中某一曲面的磁力线总数，称为穿过该曲面的磁磁通量通量，用符号，用符号m表示。表示。 SdBdmmsB dS 2、磁通量、磁通量 q S nBds119.1.4 磁场中的高斯定理磁场中的高斯定理ssdB0这说明这说明 i)i)磁力

9、线是无头无尾的闭合曲线，磁力线是无头无尾的闭合曲线， ii)ii)磁场是无源场，磁场无磁单极存在。磁场是无源场，磁场无磁单极存在。 由于磁力线是无头无尾的闭合曲线，所以穿过任意闭合曲面由于磁力线是无头无尾的闭合曲线，所以穿过任意闭合曲面的总磁通量必为零。的总磁通量必为零。 122sin,IdlIdl rdBkr1 1）电流元的方向：）电流元的方向：为线段中为线段中 电流的方向。电流的方向。 I lId Bd r q P 9.1.5 毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律 若磁场中，电流元若磁场中，电流元 到某点到某点P的矢径为的矢径为 ，则电流元在则电流元在P点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度 的大小

10、与的大小与 成正比，与成正比，与 经过小于经过小于 的角转到矢径的角转到矢径 的的方向角的正弦成正比，与方向角的正弦成正比，与 的平方成反比，其方的平方成反比，其方向为向为 的方向。的方向。lIdrBdlIdlId180rlIdrr132 2）在（）在（SISI）制中）制中,104170AmTk170104AmT3 3）B 的方向的方向 dB Idl 与与r 组成的平面，且组成的平面，且 dB 与与dlr 同向。同向。BdPrlIdI14 整个载流导体在整个载流导体在P点的磁感应强度则是电流元在点的磁感应强度则是电流元在P点产生点产生的的 dB 之矢量和之矢量和034LLIdlrBdBr034

11、IdlrdBr电流元在电流元在P点产生的磁感应强度的矢量式为点产生的磁感应强度的矢量式为 15 由由Idlr 确定电流元在确定电流元在 P点的点的 dB 的方向的方向 将将 d B 向选定的坐标轴投影，然后分别求出向选定的坐标轴投影，然后分别求出xxdBByydBBzdBBz9.1.6 毕奥萨伐尔定律的应用毕奥萨伐尔定律的应用161、载流直导线的磁场、载流直导线的磁场 解：取电流元解：取电流元Idl ，P点对电流点对电流元的位矢为元的位矢为r，电流元在，电流元在P点产生的点产生的磁感应强度大小为磁感应强度大小为 02sin4IdldBr方向垂直纸面向里，且所有电流方向垂直纸面向里，且所有电流元

12、在元在P点产生的磁感应强度的方向点产生的磁感应强度的方向相同，所以相同，所以 02sinB4LLIdldBr17设垂足为设垂足为o, ,电流元离电流元离o点为点为l，op长为长为a，r 与与a 夹角为夹角为sincostanla2cosddlacosar 则则02sinB4LLIdldBr18LI40120sinsin4aI21cos40daI2cosdacos22cos1acosar 因为因为sincos2cosdadl 02sinB4LLIdldBr所以所以19关于关于 角的有关规定：角的有关规定：长直电流的磁场长直电流的磁场 2,221aIB2 角增加的方向与电流方向相同，则为正，反之，

13、则为负角增加的方向与电流方向相同，则为正，反之，则为负 2PoI0, 0212PoI0, 0212PoI0, 02120 半长直电流的磁场半长直电流的磁场 半长直电流：垂足与电流的一端重合，而直电流的另一段半长直电流：垂足与电流的一端重合，而直电流的另一段是无限长。是无限长。 aIB2212,021PI0I0P212、圆形电流轴线上的磁场、圆形电流轴线上的磁场22sin40rdlIdB解：解： Bd在在垂垂直直于于由由 ld和和 r组组成成的的平平面面上上。 Bd在在由由xr、组组成成的的平平面面内内，并并且且和和 r垂垂直直。 204rdlII R 0 x dB/dBqdBqrlId/dBd

14、B/0dBB由于对称性由于对称性2232023024rIRdlrIRR232220)(2xRIRBqsin4220RrdlIdlrRrIR2204232220)(2xRIRRxdBBBq2sin所以所以即即23轴线上任一点轴线上任一点P的磁场的磁场 232220)(2xRIRB圆电流中心的磁场圆电流中心的磁场 RIB20 圆电流的中心的圆电流的中心的 RIB2210 1/n 圆电流的中心的圆电流的中心的 RInB210243、载流直螺线管内部的磁场、载流直螺线管内部的磁场均匀地绕在圆柱面上的螺旋线圈均匀地绕在圆柱面上的螺旋线圈称为螺线管称为螺线管. .设螺线管的半径为设螺线管的半径为R R，总

15、长度为总长度为L L，单位长度内的匝数，单位长度内的匝数为为n.n.若线圈用细导线绕得很密，若线圈用细导线绕得很密，则每匝线圈可视为圆形线圈则每匝线圈可视为圆形线圈. .下下面计算此螺线管轴线上任一场点面计算此螺线管轴线上任一场点P P的磁感应强度的磁感应强度B.B.在距在距P P点点l l处取一小段处取一小段dldl，则该小段上有，则该小段上有ndlndl匝线圈，对点匝线圈，对点P P而言，而言，这一小段上的线圈等效于电流强度为这一小段上的线圈等效于电流强度为IndlIndl的一个圆形电流的一个圆形电流. .该该圆形电流在圆形电流在P P点所产生的磁感应强度点所产生的磁感应强度dBdB的大小

16、为的大小为2032222()R IndldBRl方向与圆电流构成右手螺旋关系方向与圆电流构成右手螺旋关系. . 25cotlR整个载流螺线管在整个载流螺线管在P P点所产生的磁感应强度点所产生的磁感应强度B B的大小为的大小为 2032222()R IndlBdBRl设螺线管轴线与从设螺线管轴线与从P P点到点到dldl处所引矢径处所引矢径r r之间的夹角为之间的夹角为，则，则 2cscdlRd 222222sinRRlrr222222cscsinRRlR即212000213222(sin)(coscos)222()R IndlBnIdnIRl26RL(1)(1)若若0BnI有式中式中 和和

17、分别表示分别表示P P点到螺线管两端的连线与轴之间的点到螺线管两端的连线与轴之间的夹角夹角. . 211A(2)(2)对长直螺线管的端点，对长直螺线管的端点， 点处磁感应强度点处磁感应强度B B的大小为的大小为012BnI无限长载流直螺线管轴线上各点的磁场是匀强磁场无限长载流直螺线管轴线上各点的磁场是匀强磁场. . 长直螺线管端点轴线上的磁感应强度恰是内部磁感应强度的长直螺线管端点轴线上的磁感应强度恰是内部磁感应强度的一半一半. . 27例例9.19.1半径为半径为R R的薄圆盘均匀带电，总电量为的薄圆盘均匀带电，总电量为q.q.令此盘绕通过令此盘绕通过盘心，且垂直于盘面的轴线匀速转动，角速度

18、为盘心，且垂直于盘面的轴线匀速转动，角速度为.求：求：(1)(1)轴轴线上距盘心线上距盘心O O为为x x的的P P点处的磁感应强度点处的磁感应强度B B；(2)(2)圆盘的磁矩圆盘的磁矩Pm.Pm.解解(1)(1)均匀带电薄圆盘绕轴线转动均匀带电薄圆盘绕轴线转动产生的磁场可以看成由半径不同的产生的磁场可以看成由半径不同的一系列同心载流圆环产生的磁场一系列同心载流圆环产生的磁场. .如如图图9.169.16所示，在圆盘上任取一半径所示，在圆盘上任取一半径为为r r，宽度为，宽度为drdr的圆环，此圆环所带的圆环，此圆环所带的电量的电量 为圆为圆盘的电荷面密度盘的电荷面密度. .当此圆环以角速度

19、当此圆环以角速度转动时，相当于一个面电流，其转动时，相当于一个面电流，其电流大小为电流大小为22,qdqrdrR 22qdIdqrdrR28该圆形电流该圆形电流dIdI在轴线上在轴线上P P点处产生的磁感应强度点处产生的磁感应强度dBdB的大的大小为小为2300223/22223/22()2()r dIqr drdBrxRrxdBdB沿沿x x轴正向轴正向. .由于各同心圆环旋转时在由于各同心圆环旋转时在P P点处产生的点处产生的dBdB方方向均相同，故均匀带电圆盘转动时在向均相同，故均匀带电圆盘转动时在P P点处产生的总磁感点处产生的总磁感应强度应强度B B的大小为的大小为322002223

20、/2222022 2()2Rqqr drRxBdBxRrxRRxB B的方向沿的方向沿x x轴正向轴正向. .29(2)(2)先求圆环的磁矩先求圆环的磁矩dPmdPm，其大小为，其大小为322mqrdPr dIdrR圆盘的总磁矩圆盘的总磁矩PmPm，可以看成是半径不同的一系列同心载，可以看成是半径不同的一系列同心载流圆环的磁矩流圆环的磁矩dPmdPm的叠加的叠加. .由于各同心载流圆环的磁矩由于各同心载流圆环的磁矩dPmdPm方向相同，故圆盘的总磁矩方向相同，故圆盘的总磁矩PmPm的大小为的大小为另外，实验室常用亥姆霍兹线圈获得均匀磁场，其结构另外，实验室常用亥姆霍兹线圈获得均匀磁场，其结构为

21、两个半径均是为两个半径均是R R的同轴圆线圈，两圆中心相距为的同轴圆线圈，两圆中心相距为a a，且，且a aR.R.可以证明，轴上中点附近的磁场近似于均匀磁场可以证明，轴上中点附近的磁场近似于均匀磁场. .32204RmmqqPdPr drRR309.2.1 安培环路定理安培环路定理在静电场中在静电场中 0LE dl那么在稳恒磁场中那么在稳恒磁场中 ?LB dl r ld d I 1、安培环路定理、安培环路定理在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B沿任一闭合回路沿任一闭合回路L的线积分，等于穿过以的线积分，等于穿过以L为周界所围面积的电流的代数和为周界所围面

22、积的电流的代数和的的0倍倍 , ,即即0iLB dlIB的环流不为零，说明磁场是非保守场，是有旋场。的环流不为零，说明磁场是非保守场，是有旋场。31 在垂直于导线的平面上任取一包围电流的闭合曲线在垂直于导线的平面上任取一包围电流的闭合曲线 L、在无限长直线电流磁场情况下验证安培环路定理、在无限长直线电流磁场情况下验证安培环路定理20002IdIsdLLB dlBcodlBrq I俯视放大图俯视放大图ldrBqdLBIL32qcosl dBl dBrdrIo2dI20/cosql dBl dBdrrIo/2dI200ll dB 当回路不包围电流时用同样方法可以证明，当回路不包围电流时用同样方法可

23、以证明，B B在该回路上的在该回路上的线积分为零。线积分为零。可见，线积分与回路包围的电流有关，与回路的形状无关。可见，线积分与回路包围的电流有关，与回路的形状无关。 Ir rd l dldBqBq33（1 1）电流正、负号的规定：）电流正、负号的规定：I与与L成右螺旋为正，反之为负成右螺旋为正，反之为负 4I 1I 2I 3I 5I L 右图，右图，I1与与L的绕向成右螺旋关系的绕向成右螺旋关系取正号、取正号、I2、I3与与L的绕向成左螺旋关的绕向成左螺旋关系取负号，系取负号，I4、I5没有穿过没有穿过L 、对、对B的的环路积分没有贡献。环路积分没有贡献。I0ILI34（2 2）正确理解安培

24、环路定律应注意的两点：）正确理解安培环路定律应注意的两点： 安培环流定律只是说安培环流定律只是说B的线积分值只与穿过回的线积分值只与穿过回路的电流路的电流 有关，而回路上各点的有关，而回路上各点的B值则与所有在值则与所有在场电流有关。场电流有关。 如果没有电流穿过某积分回路，只能说在该回如果没有电流穿过某积分回路，只能说在该回路上路上B的线积分为零，而回路上各点的的线积分为零，而回路上各点的B值不一定为值不一定为零。零。359.2.2 安培环路定理的应用安培环路定理的应用利用利用安培环流定理可以求某些具有特殊对称性的安培环流定理可以求某些具有特殊对称性的电流分布电流分布的磁场。的磁场。（1 1

25、）首先要分析磁场分布的对称性；）首先要分析磁场分布的对称性；（2 2）选择一个合适的积分回路或者使某一段积分线）选择一个合适的积分回路或者使某一段积分线上上B为常数，或者使某一段积分线路上为常数，或者使某一段积分线路上B处处与处处与dl 垂垂直；直；ilIl dB0（3 3）利用利用 求求B。 361、长直载流螺线管内的磁场分布、长直载流螺线管内的磁场分布解：由对称性知，内部磁力线平行于轴线，是一均匀场。因解：由对称性知，内部磁力线平行于轴线，是一均匀场。因 为螺线管是密绕的，没有漏磁；所以：为螺线管是密绕的，没有漏磁；所以：螺线管外部靠近螺线管外部靠近 中央部分的磁感应强度为零。中央部分的磁

26、感应强度为零。bcdaLabcdB dlB dlB dlB dlB dlBab取矩形闭合回路取矩形闭合回路abcd，按图中规定的回路绕向积分，则有按图中规定的回路绕向积分，则有 Babcdld37线圈单位长度上的匝数为线圈单位长度上的匝数为n , 则则abnIIi00nIB00BababnI所以所以382、环形载流螺线管内的磁场分布、环形载流螺线管内的磁场分布 均匀密绕在环形管上的线圈形成环形螺线管，称均匀密绕在环形管上的线圈形成环形螺线管，称为螺绕环为螺绕环.当线圈密绕时，可认为磁场几乎全部当线圈密绕时，可认为磁场几乎全部集中在管内，管内的磁力线都是同心圆集中在管内，管内的磁力线都是同心圆.

27、在同一在同一条磁力线上，条磁力线上，B的大小相等，方向就是该圆形磁的大小相等，方向就是该圆形磁力线的切线方向力线的切线方向.LLB dlBdlBL计算管内任一点计算管内任一点P的磁感应强度的磁感应强度.在环形螺线管内在环形螺线管内取过取过P点的磁力线点的磁力线L作为闭合回路，则有作为闭合回路，则有式中式中L是闭合回路的长度是闭合回路的长度.39设环形螺线管共有设环形螺线管共有N匝线圈，每匝线圈的电流为匝线圈，每匝线圈的电流为I，则闭合，则闭合回路回路L所包围的电流强度的代数和为所包围的电流强度的代数和为NI.由安培环路定理，由安培环路定理，得得0LB dlBLNI即即0NBIL当环形螺线管截面

28、的直径比闭合回路当环形螺线管截面的直径比闭合回路L的长度小很多时，的长度小很多时，管内的磁场可近似地认为是均匀的，管内的磁场可近似地认为是均匀的，L可认为是环形螺线可认为是环形螺线管的平均长度管的平均长度.所以所以 即为单位长度上的线圈匝数，即为单位长度上的线圈匝数，因此因此NnL0BnI40设载流导体为一设载流导体为一“无限长无限长”直圆柱形导体，半径为直圆柱形导体，半径为R R，电流，电流I I均匀地分布在导体的横截面上，如图均匀地分布在导体的横截面上，如图9.20(a)9.20(a)所示所示. .显然，场显然，场源电流对中心轴线分布对称，因此，其产生的磁场对柱体中源电流对中心轴线分布对称

29、，因此，其产生的磁场对柱体中心轴线也有对称性，磁力线是一组分布在垂直于轴线的平面心轴线也有对称性，磁力线是一组分布在垂直于轴线的平面上并以轴线为中心的同心圆上并以轴线为中心的同心圆. .与圆柱轴线等距离处的磁感应强与圆柱轴线等距离处的磁感应强度度B B的大小相等，方向与电流构成右手螺旋关系的大小相等，方向与电流构成右手螺旋关系. .3、“无限长无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布载流圆柱导体内外磁场的分布图图9.209.20“无限长无限长”圆柱电流的磁场圆柱电流的磁场现在计算圆柱体外任一点现在计算圆柱体外任一点P P的磁感应强度的磁感应强度. .设点设点P P与与轴线的距离为轴线的距离为r r，

30、过，过P P点沿点沿磁力线方向作圆形回路磁力线方向作圆形回路L L，则则B B沿此回路的环流为沿此回路的环流为412LLLB dlBdlBdlrB02 rBI上式说明，上式说明，“无限长无限长”载流圆柱体外的磁场与载流圆柱体外的磁场与“无限长无限长”载流载流直导线产生的磁场相同直导线产生的磁场相同. .2022LIB dlrBrR0()2IBrRr圆柱体内任一点圆柱体内任一点Q Q的磁场的磁场: : 02()2IrBrRR42例例9.2如图如图9.21所示，一无限大导体薄平板垂直于所示，一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向指向读者的电流，面电流密纸面放置，其上有方向指向读者的电流，面电

31、流密度度(即通过与电流方向垂直的单位长度的电流即通过与电流方向垂直的单位长度的电流)到处到处均匀，大小为均匀，大小为i，求其磁场分布，求其磁场分布.图图9.21无限大平面电流的磁场分布无限大平面电流的磁场分布43解无限大平面电流可看成是由无限多根平行排列解无限大平面电流可看成是由无限多根平行排列的长直电流的长直电流dI所组成所组成.先分析任一点先分析任一点P处磁场的方向，处磁场的方向，如图如图9.21(a)所示，在以所示，在以OP为对称轴的两侧分别取宽为对称轴的两侧分别取宽度相等的长直电流度相等的长直电流dI1和和dI2，则，则dI1dI2，故它们在，故它们在P点产生的元磁感应强度点产生的元磁

32、感应强度dB1和和dB2相叠加后的合磁相叠加后的合磁场场dB的方向一定平行于电流平面，方向向左的方向一定平行于电流平面，方向向左.由此可由此可知，整个平面电流在知，整个平面电流在P点产生的合磁场点产生的合磁场B的方向必然的方向必然平行电流平面向左平行电流平面向左.同理，电流平面的下半部空间同理，电流平面的下半部空间B的方向为平行电流平面向右的方向为平行电流平面向右.又由于电流平面无限大，又由于电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点故与电流平面等距离的各点B的大小相等的大小相等.44根据以上所述的磁场分布的特点，过根据以上所述的磁场分布的特点，过P点作矩形回点作矩形回路路abcda，abcdl

33、，如图，如图9.21(b)所示，其中所示，其中ab和和cd两边与电流平面平行，而两边与电流平面平行，而bc和和da两边与电流平面两边与电流平面垂直且被电流平面等分垂直且被电流平面等分.该回路所包围的电流为该回路所包围的电流为li，由安培环路定理可得由安培环路定理可得0bcdaLabcdB dlB dlB dlB dlB dlli于是于是02Blli012Bi这一结果说明，在无限大均匀平面电流两侧的磁场这一结果说明，在无限大均匀平面电流两侧的磁场是匀强磁场，且大小相等、方向相反是匀强磁场，且大小相等、方向相反.其磁感应线在其磁感应线在无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系无限远处闭合，与电流亦构成

34、右螺旋关系.459.3.1 安培定律安培定律 在在SISI制中制中 k= =1 一段电流元一段电流元Idl在磁场中所受的力在磁场中所受的力dF，其大小与电，其大小与电流元流元Idl成正比，与电流元所在处的磁感应强度成正比，与电流元所在处的磁感应强度B成正成正比，与电流元比，与电流元Idl和和B的夹角的正弦成正比，即的夹角的正弦成正比，即 sin(, )dFkBIdlIdl B dF的方向：右螺旋法则的方向：右螺旋法则BlIdFd与与方向相同方向相同BlIdFd即即46ImaxFBIBBIF 垂直纸面向内垂直纸面向内I与与B B垂直、垂直、F最大最大I与与B B平行、平行、F为零为零安培定律的积

35、分形式安培定律的积分形式 LBlIdF 这是矢量积分。一般情况下把它们分解到不同方向上，求每这是矢量积分。一般情况下把它们分解到不同方向上，求每一方向的分力，最后再求总的合力。如一方向的分力，最后再求总的合力。如 lxxdFFlyydFFlzzdFFkFjFiFFzyx47I1I2aCD9.3.2 无限长两平行载流直导线间的相互作用力无限长两平行载流直导线间的相互作用力 电流单位电流单位“安培安培” 的定义的定义 如图、导线如图、导线C和和D载有方向相同的电流，载有方向相同的电流，C、D两导线的距离为两导线的距离为a 则则D上的电流元上的电流元I2dl2 受受C的电的电流磁场流磁场B1 1的作

36、用力的作用力df2垂直于导垂直于导线线D，方向指向，方向指向CaIB2101df2的大小为的大小为22102212290sindlaIIdlIBdf导线上单位长度受力大小为导线上单位长度受力大小为 aIIdldf221022B1df2I2dl2I1dl1df1B248同理，导线同理，导线C上单位长度受力大小为：上单位长度受力大小为：aIIdldf221011方向指向导线方向指向导线D。由此可见，两导线电流方向相同时互相吸引，电流由此可见，两导线电流方向相同时互相吸引，电流方向相反时互相排斥。方向相反时互相排斥。单位长度载流导线所受力为单位长度载流导线所受力为 0 1 22I Ifa49“安培安

37、培”的定义的定义因真空中两平行长直导线电流之间单位长度所受安因真空中两平行长直导线电流之间单位长度所受安培力的大小培力的大小 aIIaIIf21721010224规定：放在真空中两条无限长的载流平行导线通有规定：放在真空中两条无限长的载流平行导线通有相等的稳恒电流，当两导线相距一米、每一根导线相等的稳恒电流，当两导线相距一米、每一根导线每一米长度受力每一米长度受力2 21010-7-7牛顿时，每根导线上的电流牛顿时，每根导线上的电流为一安培。即为一安培。即)( 110410221277021AdldfaIII50例例9.3载有电流载有电流I1的长直导线旁边有一与长直导线的长直导线旁边有一与长直

38、导线垂直的共面导线，载有电流垂直的共面导线，载有电流I2.其长度为其长度为l，近端与长，近端与长直导线的距离为直导线的距离为d，如图，如图9.25所示所示.求求I1作用在作用在l上的力上的力.0 12IBr解在解在l上取上取dl，它与长直导线距离为，它与长直导线距离为r，电流，电流I1在此在此处产生的磁场方向垂直向内、大小为处产生的磁场方向垂直向内、大小为dl受力受力 2dFI dlB 51方向垂直导线方向垂直导线l向上，大小为向上，大小为所以，所以，I1作用在作用在l上的力方向垂直导线上的力方向垂直导线l向上，大小为向上，大小为0 1 20 1 222I I dlI I drdFrr0 1

39、20 1 2ln22d lldI I drI IdlFdFrd521 1、均匀磁场对载流线圈的作用、均匀磁场对载流线圈的作用11sinFB Il111sin()sinFB IlB Il9.3.3 磁场对载流线圈的作用磁场对载流线圈的作用如图所示，设在磁感应强度为如图所示，设在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一刚性的均匀磁场中，有一刚性矩形线圈，线圈的边长分别为矩形线圈，线圈的边长分别为l1、l2，电流强度为，电流强度为I.当线圈当线圈磁矩的方向磁矩的方向n与磁场与磁场B的方向成的方向成角角(线圈平面与磁场的方向线圈平面与磁场的方向成成角，角， )时，由安培定律，导线时，由安培定律，导线bc和和d

40、a所受的安所受的安培力分别为培力分别为2q53这两个力在同一直线上，大小相等而方向相反，其这两个力在同一直线上，大小相等而方向相反，其合力为零合力为零.而导线而导线ab和和cd都与磁场垂直，它们所受的都与磁场垂直，它们所受的安培力分别为安培力分别为F2和和F2，其大小为，其大小为222FFB l如图如图9.26(b)所示，所示，F2和和F2大小相等，方向相反，但大小相等，方向相反，但不在同一直线上，形成一力偶不在同一直线上，形成一力偶.因此，载流线圈所受因此，载流线圈所受的磁力矩为的磁力矩为11221 2coscos22coscossinllMFFBIl lBISBISqqqq式中式中Sl1l

41、2表示线圈平面的面积表示线圈平面的面积. 54如果线圈有如果线圈有N N匝，那么线圈所受磁力矩的大小为匝，那么线圈所受磁力矩的大小为 sinsinmMNBISP B式中式中PmNIS就是线圈就是线圈磁矩磁矩的大小的大小.磁矩是矢量，用磁矩是矢量，用Pm表示，所以写成矢量式为表示，所以写成矢量式为mMPBM的方向与的方向与PmB的方向一致的方向一致.552BPmBPMmmax0BPm/M0 稳定平衡稳定平衡 BPm/M0 非稳定平衡非稳定平衡 磁感应强度的大小磁感应强度的大小mpMBmax磁场方向：磁场方向：使线圈磁矩使线圈磁矩处于处于稳稳定平衡定平衡位置时的位置时的磁矩的方向磁矩的方向B+ +

42、PmB+ +Pm56* *2 2、非均匀磁场对载流线圈的作用、非均匀磁场对载流线圈的作用如果平面载流线圈处在非均如果平面载流线圈处在非均匀磁场中，由于线圈上各个匀磁场中，由于线圈上各个电流元所在处的电流元所在处的B B在大小和在大小和方向上都不相同，各个电流方向上都不相同，各个电流元所受到的安培力的大小和元所受到的安培力的大小和方向一般也都不同，因此，方向一般也都不同，因此，线圈所受的合力和合力矩一线圈所受的合力和合力矩一般也不会等于零，所以线圈般也不会等于零，所以线圈除转动外还要平动除转动外还要平动. . 图图9.27非匀强磁场中非匀强磁场中 的载流线圈的载流线圈57 设一均匀磁场设一均匀磁

43、场B垂直纸面向外，闭合回路垂直纸面向外，闭合回路abcd的边的边ab可以可以沿沿da和和cd滑动，滑动，ab长为长为l，电流，电流I，ab边受力边受力 lBIF 方向向右方向向右ab边运动到边运动到a/b/位置位置时作的功时作的功 AF aaBI l aaIB SI 即即功等于电流乘以磁通量的增量。功等于电流乘以磁通量的增量。AI9.3.4 磁力的功磁力的功1 1、载流导线在磁场中运动时磁力所做的功、载流导线在磁场中运动时磁力所做的功 在匀强磁场中当电流不变时，磁力的功等于电流强度乘以在匀强磁场中当电流不变时，磁力的功等于电流强度乘以回路所环绕面积内磁通的增量回路所环绕面积内磁通的增量 即即

44、FlabcdIFa/b/B582 2、载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功、载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功 设线圈在磁场中转动微小角度设线圈在磁场中转动微小角度d时，使线圈法线时，使线圈法线n与与B之间的夹角从之间的夹角从变为变为+ d, ,线圈受磁力矩线圈受磁力矩 sin BISM 则则M作功，使作功，使减少，减少，所以磁力矩的功为负值，即所以磁力矩的功为负值，即coscosBIS d()I d(BS)I d 当线圈从当线圈从1位置角转到位置角转到2位置角时磁力矩作功位置角时磁力矩作功 21AI d B/2f2fmPdsindAM dBISd 59其中其中1、2分别是在分别是在1位置和

45、位置和2位置时通过线圈的磁通量。当位置时通过线圈的磁通量。当电流不变时，电流不变时， 2121()AI dI 在匀强磁场中，一个任意载流回路在磁场中改变位置或改变在匀强磁场中，一个任意载流回路在磁场中改变位置或改变形状时，磁力的功（或磁力矩的功）亦为形状时，磁力的功（或磁力矩的功）亦为 AI 3 3、对于变化的电流或非匀强场、对于变化的电流或非匀强场21AId21qqqMdA或或60例例9.4载有电流载有电流I的半圆形闭合线圈，半径为的半圆形闭合线圈，半径为R，放，放在均匀的外磁场在均匀的外磁场B中，中，B的方向与线圈平面平行，如的方向与线圈平面平行，如图图9.30所示所示.(1)求此时线圈所

46、受的力矩大小和方向；求此时线圈所受的力矩大小和方向；(2)求在这力矩作用下，当线圈平面转到与磁场求在这力矩作用下，当线圈平面转到与磁场B垂直垂直的位置时，磁力矩所做的功的位置时，磁力矩所做的功.图图9.30解解(1)线圈的磁矩线圈的磁矩22mPISnIR n 在图示位置时，线圈磁矩在图示位置时，线圈磁矩Pm的方的方向与向与B垂直垂直.61图示位置线圈所受磁力矩的大小为图示位置线圈所受磁力矩的大小为 磁力矩磁力矩M的方向由的方向由PmB确定，为垂直于确定，为垂直于B的方向向上的方向向上.也可以用积分计算也可以用积分计算21sin22mMP BIBR(2)计算磁力矩做功计算磁力矩做功. 22211

47、1()(0)22AIII BRIB R 00022221sincos|2mmAMdP BdP BIB Rqq qq629.4.1 洛仑兹力洛仑兹力1 1、安培力的微观本质、安培力的微观本质 安培力是运动电荷受到的磁场力的集体宏观表安培力是运动电荷受到的磁场力的集体宏观表现。现。 金属中的自由电子受到磁场力作用不断地与晶金属中的自由电子受到磁场力作用不断地与晶格发生碰撞格发生碰撞, ,把动量传递给导体把动量传递给导体, ,从宏观来看从宏观来看, ,这就这就是安培力。是安培力。63S2 2、洛仑兹力公式、洛仑兹力公式 安培定律安培定律BlIdFd从微观看从微观看, ,电流为电流为 qnvsdtdQ

48、Ivvvvvvvvvvdtdl 64Bl dqnvsFd)(Bvqnsdl)(所以所以电流元中带电粒子数电流元中带电粒子数 nsdldN 因此因此, ,每个运动电荷所受磁力为每个运动电荷所受磁力为 dFqnsdlvBfqvBdNnsdl即洛仑兹力公式为即洛仑兹力公式为 fqvB f v 和和B所组成的平面所组成的平面, ,即即 f恒恒v, ,故故洛仑兹力洛仑兹力对运动电荷不做功。对运动电荷不做功。 65vBfBfv在磁场方向和运动方向都相同时，正、负电荷在磁场方向和运动方向都相同时，正、负电荷受力方向不同受力方向不同66如果带电粒子在同时存在电场和磁场的空间运动如果带电粒子在同时存在电场和磁场

49、的空间运动时，则其所受合力为时，则其所受合力为Fq EvB（）上式称为上式称为洛仑兹关系式洛仑兹关系式，它包含：电场力它包含：电场力qE与磁与磁场力场力(洛仑兹力洛仑兹力)qvB两部分两部分.679.4.2 带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中的运动1 1、粒子速度、粒子速度 v0 0B带电粒子以初速带电粒子以初速v平行于平行于B进入磁场进入磁场 fqvB0f 此时带电粒子在磁场中仍然作匀速直线运动。此时带电粒子在磁场中仍然作匀速直线运动。 v682 2、粒子速度、粒子速度 vB fv2mvqvBR带电粒子在垂直于带电粒子在垂直于B的平面的平面内作匀速圆周运动，即有内作匀速圆周运动，

50、即有Rvf回转半径回转半径 mvRqB0vR 回转周期回转周期 22RmTvqB回转频率回转频率 mqBT21T、 与速度无关与速度无关693 3、粒子速度、粒子速度v与与B斜交斜交Bhvv/v 这时带电粒子在磁场中参与两种运动：以这时带电粒子在磁场中参与两种运动：以v速率速率在垂直在垂直B的平面内作匀速圆周运动；以的平面内作匀速圆周运动；以v速率在平行速率在平行B的方向作匀速直线运动。即为螺旋线运动的方向作匀速直线运动。即为螺旋线运动, ,若若/cosvvqsinvvq70回转半径回转半径 qBmvR回转周期回转周期 qBmT2螺距螺距 /2/vTvhqBm 这说明当同一种带电粒子以任意角度

51、进入均匀这说明当同一种带电粒子以任意角度进入均匀磁场时，只要磁场时，只要v相同，那么就有相同的螺距，而与相同，那么就有相同的螺距，而与v无关。利用这一点可对带电粒子流进行磁聚焦，无关。利用这一点可对带电粒子流进行磁聚焦，其在电子光学中有广泛的应用。其在电子光学中有广泛的应用。 71例例9.5测定离子荷质比的仪器称为质谱仪测定离子荷质比的仪器称为质谱仪.倍恩勃立倍恩勃立奇质谱仪原理如图奇质谱仪原理如图9.34(a)所示所示.离子源所产生的带电量离子源所产生的带电量为为q的离子，经狭缝的离子，经狭缝S1和和S2之间的加速电场加速，进入之间的加速电场加速，进入由由P1，P2组成的速度选择器组成的速度

52、选择器.在速度选择器中，电场强在速度选择器中，电场强度为度为E，磁感应强度为，磁感应强度为B.E，B方向如图方向如图9.34(b).从从S0射出的离子垂直射入一磁感应强度为射出的离子垂直射入一磁感应强度为B的均匀磁场中的均匀磁场中.离子进入这一磁场后因受洛仑兹力而作匀速圆周运动离子进入这一磁场后因受洛仑兹力而作匀速圆周运动.不同质量的离子打在底片的不同位置上，形成按离子不同质量的离子打在底片的不同位置上，形成按离子质量排列的线系质量排列的线系.若底片上线系有三条，该元素有几种若底片上线系有三条，该元素有几种同位素？设同位素？设d1，d2，d3是底片上是底片上1,2,3三个位置与速度三个位置与速

53、度选择器轴线间的距离，该元素的三种同位素的质量选择器轴线间的距离，该元素的三种同位素的质量m1，m2，m3各为多少？各为多少？72解如图解如图9.34(b)所示，在速度选择器中，带电量为所示，在速度选择器中，带电量为q的离子的离子受电场力受电场力feqE，同时受磁场力，同时受磁场力fmqvB，两力方向相反，两力方向相反.只只有当离子的速度满足有当离子的速度满足图图9.34EqEqvBvB或73时离子才有可能穿过时离子才有可能穿过P1和和P2两板间的狭缝，而从两板间的狭缝，而从S0射出射出.2vqvBmR离子自离子自S0进入匀强磁场进入匀强磁场B后，作匀速圆周运动后，作匀速圆周运动.设半设半径为

54、径为R，则，则式中式中B，q，v是一定的，则质量是一定的，则质量m不同的离子对应不同的离子对应不同的圆周运动半径不同的圆周运动半径R，故该元素有三种同位素，故该元素有三种同位素.又因为又因为 ，代入上式得，代入上式得EvBqBBmRE74112qBBmdE将将 分别代入，得分别代入，得2dR 222qBBmdE332qBBmdE751 1、霍耳效应、霍耳效应 实验证明：霍耳电势差实验证明：霍耳电势差 (9.43)HHIBURd9.4.3 霍耳效应霍耳效应18971897年，霍耳在实验中发现：年，霍耳在实验中发现：当有电流当有电流I I沿着垂直于沿着垂直于B B的方向通过导体时，在金属板上下两表

55、面的方向通过导体时，在金属板上下两表面M M，N N之间就之间就会出现横向电势差会出现横向电势差U UH H. . 这就是霍耳效应。这就是霍耳效应。 76 式中式中RH 称作霍耳系数称作霍耳系数 式中式中d为导体块顺着磁场方向的厚度。为导体块顺着磁场方向的厚度。 实验表明：实验表明：U与导体块的宽度与导体块的宽度a无关。无关。mfqvB、霍耳系数的微观解释、霍耳系数的微观解释设在导体内载流子的电量为设在导体内载流子的电量为q，平均定向运动速度为，平均定向运动速度为v，它在磁场中所受的洛仑兹力大小为它在磁场中所受的洛仑兹力大小为77如果导体板的宽度为如果导体板的宽度为b，当导体上、下两表面间的电

56、，当导体上、下两表面间的电势差为势差为UMUN时，带电粒子所受的电场力大小为时，带电粒子所受的电场力大小为MNeUUfqEqb由平衡条件有由平衡条件有MNUUqvBqb则导体上、下两表面间的电势差为则导体上、下两表面间的电势差为HMNUUUbvB781(9.44)HIBUnq d1(9.45)HRnq设导体内载流子数密度为设导体内载流子数密度为n，于是，于是Inqvbd，以此代，以此代入上式可得入上式可得将上式与式将上式与式(9.43)比较，得霍耳系数比较，得霍耳系数79 说明说明RH与载流子浓度与载流子浓度n成反比：成反比： 在金属导体中，载流子浓度很高，故在金属导体中，载流子浓度很高，故R

57、H，UH 在半导体中载流子浓度较低，在半导体中载流子浓度较低， RH，UH 即即在半导体中霍耳效应比金属中显著。在半导体中霍耳效应比金属中显著。载流子数浓度与单位体积内的原子数是两码事，载流子数浓度与单位体积内的原子数是两码事，不同金属有不同的自由电子数不同金属有不同的自由电子数 80 利用霍耳系数的正、负可判断半导体的类型。利用霍耳系数的正、负可判断半导体的类型。 若若RH0 0 ，为，为P型型半导体半导体 若若RH0 ，为，为n 型半导体。型半导体。 大多数金属的霍耳效应为负数，但有一些金属，大多数金属的霍耳效应为负数，但有一些金属，如如Zn,Cs (Zn,Cs (铯）铯）,Pb,Fe,P

58、b,Fe等，它们的等，它们的R RH H为正值，对这种为正值，对这种现象只能用量子力学加以说明。现象只能用量子力学加以说明。81例例9.6有一宽为有一宽为0.50 cm，厚为，厚为0.10 mm的薄片银导的薄片银导线，当片中通以线，当片中通以2A电流，且有电流，且有0.8T的磁场垂直薄片的磁场垂直薄片时，试求产生的霍耳电势差为多大？时，试求产生的霍耳电势差为多大？(银密度为银密度为10.5 g/cm3)解银原子是单价原子，每个原子给出一个自由电解银原子是单价原子，每个原子给出一个自由电子，则单位体积中的自由电子数子，则单位体积中的自由电子数n将等于单位体积中将等于单位体积中的银原子数的银原子数

59、.已知银的原子量为已知银的原子量为108,1 mol银银(0.108 kg)有有N06.01023个原子，银的密度为个原子，银的密度为10.5103 kg/m3，所以所以323283010.5 106.0 106 100.108molnNmM 82由式由式(9.44)可求出霍耳电势差可求出霍耳电势差由此可知，对于良导体，霍耳电势差是非常微小的由此可知，对于良导体，霍耳电势差是非常微小的.62819312 0.801.7 106 101.6 100.10 10HIBUVnq d83*9.4.4 磁流体发电磁流体发电原理：处于高温、高速的等离子态流体通过耐高温材料制原理：处于高温、高速的等离子态流

60、体通过耐高温材料制成的导电管时，如果在垂直于气流的方向上加上磁场，则成的导电管时，如果在垂直于气流的方向上加上磁场，则气体中的正负离子，由于受到洛仑兹力的作用，将分别向气体中的正负离子，由于受到洛仑兹力的作用，将分别向与和都相垂直的两个相反的方向偏转，结果在导体管与和都相垂直的两个相反的方向偏转，结果在导体管两侧的电极上产生电势差。两侧的电极上产生电势差。 电极发电通道导电气体NS849.5.1 回旋加速器回旋加速器在原子核物理与高能物理的研究中，常用回旋加在原子核物理与高能物理的研究中，常用回旋加速器来加速质子速器来加速质子( )、氘核、氘核( )或氦核或氦核(粒子粒子)等等带电粒子带电粒子